二次函数压轴题1
1. (2022·四川省乐山市)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于
点A（-1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC=2． （1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示𝑂𝑄的值，并求𝑂𝑄的最大值．
𝑃𝑄
𝑃𝑄
2. (2022·浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长
为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． （1）①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
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3. (2022·湖南省邵阳市)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两
点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值． 4. (2022·湖南省衡阳市)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线
位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值； （3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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5. (2022·江苏省苏州市)如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图
象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数； （2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上， 始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
6. (2022·0）B-4）山东省泰安市)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，，（0，，
其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C． （1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N． ①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标；
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②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
7. (2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=4．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值； ②若NP=2BP，令T=𝑎2+
1
165
3
c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−𝑎，x1x2=𝑎”．此关系通常被称为“韦达定理”．
𝑏
𝑐
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8. (2022·湖南省怀化市)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A
（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F． （1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
9. (2022·甘肃省武威市)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=4（x+3）（x-a）与x
轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）． （1）求此抛物线的表达式；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长； （3）连接BD．
①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标； ②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值．
1
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10. (2022·2）B两点．云南省)已知抛物线y=-x2-√3x+c经过点（0，，且与x轴交于A、设
k是抛物线y=-x2-√3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-√3x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和． （1）求c的值； （2）直接写出T的值； （3）求
𝑘4
𝑘8+𝑘6+2𝑘4+4𝑘2+16
的值．
11. (2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图
象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
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12. (2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标； （2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
13. (2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围． 14. (2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形
的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）在隧道截面内（含边界）修建“
”型或“
”型栅栏，如图2、图3中粗线
段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“
”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横
坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“
”型和“
”型两种设计
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方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
15. (2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，
与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称． （1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求𝐴𝑁的最大值．
𝑃𝑁
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16. (2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c
经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17. (2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过
A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C． （1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
P是抛物线上位于第一象限的一个动点，（3）在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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18. (2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、
B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）． （1）求抛物线的解析式；
E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（2）如图1，（0，-2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限B、N位于直线AM的同侧，内，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．
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参考答案
1.解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1， ∵∠AOC=90°， ∴tan∠OAC=𝑂𝐴=2， ∴OC=2OA=2， ∴点C（0，-3），
设二次函数的解析式为：y=a（x+1）•（x-2）， ∴a•1×（-2）=-2， ∴a=1，
∴y=（x+1）•（x-2）=x2-x-2； （2）设点P（a，a2-a-2），
𝑂𝐶
如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E， ∵B（2，0），C（0，-2）， ∴直线BC的解析式为：y=x-2， ∴当y=a2-a-2时，x=y+2=a2-a， ∴PE=a2-a-a=a2-2a， ∴S△PBC=2PE•OC，
∵抛物线的对称轴为直线y=2，CD∥x轴，C（0，-2）， ∴点D（1，-2）， ∴CD=1，
∴S△BCD=2𝐶𝐷⋅OC， ∴2PE•OC=2𝐶𝐷•OC， ∴a2-2a=1，
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1
11
1
1
∴a1=1+√2（舍去），a2=1-√2， 当x=1-√2时，y=a2-a-2=a-1=-√2， ∴P（1-√2，-√2），
如图2，当点P在第一象限时， 作PE⊥x轴于E，交直线BC于F， ∴F（a，a-2）
∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a， ∴S△PBC=2𝑃𝐹⋅OB=2CD•OC， ∴a2-2a=1，
∴a1=1+√2，a2=1-√2（舍去），
当a=1+√2时，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+√2-2=√2， ∴P（1+√2，√2），
综上所述：P（1+√2，√2）或（1-√2，-√2）； （3）如图3，
1
1
作PN⊥AB于N，交BC于M， ∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2）， ∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t， ∵PN∥OC， ∴△PQM∽△OQC，
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∴𝑂𝑄=
𝑃𝑄
𝑃𝑀−𝑡2+2𝑡1
==-2(𝑡𝑂𝐶2
𝑃𝑄
−1)2+2，
1
1
∴当t=1时，（𝑂𝑄）最大=2．
2.解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
−9+3𝑏+𝑐=0
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：{，
𝑐=3𝑏=2
解得：{；
𝑐=3（2）∵AP⊥PM， ∴∠APM=90°， ∴∠APB+∠CPM=90°， ∵∠B=∠APB+∠BAP=90°， ∴∠BAP=∠CPM， ∵∠B=∠PCM=90°， ∴△MCP∽△PBA， ∴𝐴𝐵=𝑃𝐵，即𝑃𝐶𝐶𝑀
3−𝑚𝑛
=𝑚， 3
∴3n=m（3-m），
∴n=-3m2+m=-3（m-2）2+4， ∵-3＜0，
∴当m=2时，n的值最大，最大值是4．
3
3
11
1
3
3
3.解：在直线y=2x+2中，
当x=2时，y=2， 当y=0时，x=-1，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y=ax2+bx+c， 𝑎−𝑏+𝑐=0{𝑐=2， 9𝑎+3𝑏+𝑐=0𝑎=−3
解得{𝑏=4，
𝑐=2
∴抛物线的解析式为y=-3x2+3x+2；
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2
4
32
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP， 又∵四边形OPDE为正方形， ∴DP=OP=AO=1，
此时点P的坐标为（1，0）， ②当△AOB≌△CPD时，OB=DP， 又∵四边形OPDE为正方形， ∴DP=OP=OB=2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）； （3）如图，
点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动， ∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0）， ∴CD′′的最小值为1．
4.解：（1）当x=0时，y=-2，
∴C（0，2）， 当y=0时，x2-x-2=0， （x-2）（x+1）=0， ∴x1=2，x2=-1，
∴A（-1，0），B（2，0），
设图象W的解析式为：y=a（x+1）（x-2）， 把C（0，2）代入得：-2a=2， ∴a=-1，
∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；
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（2）由图象得直线y=-x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况： ①当直线y=-x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；
②当直线y=-x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，
-x+b=-x2+x+2， x2-2x+b-2=0，
Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0， ∴b=3，
综上，b的值是2或3；
（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°， ∴△BOC是等腰直角三角形， 如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
∵PN∥y轴， ∴P（1，0）；
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如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
当y=2时，x2-x-2=2， x2-x-4=0，
1+171−17
∴x1=√，x2=√，
2
2
1+17
∴P（√，0）；
2
如图4，当∠MCN=90°时，△OBC∽△CMN，
∴CN的解析式为：y=x+2， ∴x+2=x2-x-2，
∴x1=1+√5，x2=1-√5（舍）， ∴P（1+√5，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（
1+√172
，0）或（1+√5，0）．
5.解：（1）当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0，
解方程，得x1=-1，x2=2m+1，
第16页，共38页
∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（-1，0），B（2m+1，0）， 当x=0时，y=2m+1， ∴C（0，2m+1）， ∴OB=OC=2m+1， ∵∠BOC=90°， ∴∠OBC=45°；
（2）如图1中，连接AE．
∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2， ∴D（m，（m+1）2），F（m，0）， ∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1， ∵A，B关于对称轴对称， ∴AE=BE，
∴∠EAB=∠OBC=45°，
∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF， ∵EF∥OC，
∴tan∠ACE=𝐶𝐸=𝐶𝐸=𝑂𝐹=m+1， ∴
𝑚+1𝑚
𝐴𝐸𝐵𝐸𝐵𝐹
=m+1，
∴m=1或-1， ∵m＞0， ∴m=1；
（3）如图，设PC交x轴于点Q．
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当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°， ∵∠ACQ=75°， ∴∠CAO＜60°， ∴2m+1＜√3，
3−1∴m＜√，
2
3−1
∴0＜m＜√．
2
6.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B（0，-4），
∴c=-4，
∵对称轴为直线x=1，经过A（-2，0）， −=1∴{2𝑎， 4𝑎−2𝑏−4=0
1𝑎=
2， 解得{
𝑏=−1
∴抛物线的解析式为y=2x2-x-4；
（2）①如图1中，
1
𝑏
设直线AB的解析式为y=kx+n， ∵A（-2，0），B（0，-4）， −2𝑘+𝑛=0 ∴{，𝑛=−4
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𝑘=−2解得{，
𝑛=−4
∴直线AB的解析式为y=-2x-4， ∵A，C关于直线x=1对称， ∴C（4，0）， 设N（m，0）， ∵MN⊥x轴， ∴M（m，-2m-4）， ∴NC=4-m， ∵MN=3NC， ∴2m+4=3（4-m）， ∴m=5，
∴点M（5，-5）；
②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，-2t-4），则点N（t，0），
8
36
8
∵四边形MPNQ是正方形， ∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=2MN， ∴PQ∥x轴， ∴E（t，-t-2）， ∴NE=t+2，
∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2， ∴P（2t+2，-t-2），
∵点P在抛物线y=2x2-x-4上， ∴2（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2， 解得t1=2，t2=-2，
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1
1
1
1
∵点P在第四象限， ∴t=-2舍去， ∴t=2，
∴点M坐标为（2，-5）．
1
1
7.解：（1）当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，
把x=1，y=1代入得， 1=1+3+c， ∴c=-3；
（2）①由ax2+bx+c=0得， x1=−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎
，x2=−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐2−4𝑎𝑐2𝑎
，
∴AB=x2-x1=√𝑏𝑎
，
𝑏
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
∵抛物线的顶点坐标为：（-2𝑎，∴AE=
𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎
），
，OM=2𝑎，
𝑏
∵∠BAE=90°， ∴tan∠ABE=𝐴𝐵=4， ∴𝑏
2−4𝑎𝑐
𝐴𝐸3
4𝑎
÷
√𝑏2−4𝑎𝑐3
=4， 𝑎
∴b2-4ac=9； ②∵b2-4ac=9， ∴x2=
−𝑏+32𝑎
，
∵OP∥MN， ∴𝐵𝑃=∴2𝑎：
𝑏𝑁𝑃
𝑂𝑀𝑂𝐵
， =2，
−𝑏+32𝑎
∴b=2， ∴22-4ac=9， ∴c=-4𝑎， ∴T=𝑎2+
1
165
c=𝑎2-5
1
⋅4𝑎
5165
=𝑎2-𝑎=（𝑎-2）2+4，
141
第20页，共38页
∴当𝑎=2时，T最小=4， 即a=2时，T最小=4．
1
1
8.解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），
𝑎−2+𝑐=0∴{， 9𝑎+6+𝑐=0𝑎=−1解得{，
𝑐=3
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3， 令x=0，可得y=3， ∴C（0，3），
𝑏=3
设直线BC的解析式为y=kx+b，则{，
3𝑘+𝑏=0𝑘=−1 ∴{，𝑏=3
∴直线BC的解析式为y=-x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，-m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC=3， ∴∠OBC=45°， ∵PF∥AB，
∴∠PFE=∠OBC=45°， ∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大， ∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC
第21页，共38页
=2×3×3×m-2×3×3 （-m2+2m+3）+2×=-m2+m
23
23
9
111
=-2（m-2）2+4， ∵-2＜0，
∴m=2时，△PBC的面积最大，面积的最大值为4，此时PE的值最大， 3√2×PE=4， ∵2×
3∴PE=√，
2
3366
∴△PEF的周长的最大值=√+√+√=√3+√，此时P（2，4）；
2
2
2
2
3
15
1
9
3
9
3
39
（3）存在．
理由：如图二中，设M（1，t），G（m，-m2+2m+3）．
当BC为平行四边形的边时，则有|1-m|=3， 解得m=-2或4，
∴G（-2，-5）或（4，-5），
当BC为平行四边形的对角线时，2（1+m）=2（0+3）， ∴m=2， ∴G（2，3），
综上所述，满足条件的点G的坐标为（-2，5）或（4，-5）或（2，3）．
1
1
第22页，共38页
9.解：（1）∵抛物线y=4（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，
∴4（4+3）（4-a）=0， 解得a=4，
∴y=4（x+3）（x-4）=4x2-4x-3， 即抛物线的表达式为y=4x2-4x-3；
（2）在y=4（x+3）（x-4）中，令y=0，得x=-3或4， ∴A（-3，0），OA=3， ∵OC=OB=4， ∴C（0，4）， ∵AE=1，
∴DE=AE•tan∠CAO=AE⋅𝑂𝐴=1×3=3，OE=OA-AE=3-1=2， ∴E（-2，0）， ∵DE⊥x轴， ∴xP=xD=xE=-2，
∴yP=4（-2+3）（-2-4）=-2， ∴PE=2，
∴DP=DE+PE=3+2=6；
（3）①如下图，连接DG交AB于点M，
4317
31
3𝑂𝐶
44
1
1
1
1
1
1
1
1
∵△BCD与BFG关于x轴对称， ∴DG⊥AB，DM=GM，
设OM=a（a＞0），则AM=OA-OM=3-a， MG=MD=AM•tan∠CAO=3（3-a）， ∴G（-a，3（a-3）），
第23页，共38页
4
4
∵点G（-a，3（a-3））在抛物线y=4（x+3）（x-4）上， ∴4（-a+3）（-a-4）=3（a-3）， 解得a=3或3（舍去）， ∴G（-3，-9）；
②如下图，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，连接EQ，CQ，
4
204
1
4
41
∵AE=CD，
∴△AEQ≌△CDB（SAS）， ∴EQ=BD，
∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ， 过点C作CH⊥AQ，垂足为H， ∵OC⊥OB，OC=OB=4， ∴∠CBA=45°，BC=4√2，
-∠CAB-∠EAQ=180°-∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°∵∠CAH=180°， AC=√𝑂𝐴2+𝑂𝐶2=√32+42=5，AH=CH=√2AC=5√2，
2
2
HQ=AH+AQ=AH+BC=5√2+4√2=13√2，
2
2
∴CQ=√𝐶𝐻2+𝐻𝑄2=√(5√2)2+(13√2)2=√97，
2
2
即BD+CE的最小值为√97．
10.解：（1）把点（0，2）代入抛物线y=-x2-√3x+c中得：c=2；
3（2）由（1）知：y=-x2-√3x+2=-（x+√）2+4，
2
3∴顶点的坐标为（-√，4），
2
11
11
∵使S=m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积， ∴其中一个点M就是抛物线的顶点， 2+4=-4； ∴T=-4×
第24页，共38页
11
11
11
（3）当y=0时，-x2-√3x+2=0， x2+√3x-2=0，
∵k是抛物线y=-x2-√3x+c与x轴交点的横坐标，即x=k是x2+√3x-2=0的解， ∴k2+√3k-2=0， ∴k2=2-√3k，
∴k4=（2-√3k）2=4-4√3k+3k2=4-4√3k+3（2-√3k）=10-7√3k， ∵k8+k6+2k4+4k2+16
=（10-7√3k）2+（2-√3k）（10-7√3k）+2（10-7√3k）+4（2-√3k）+16 =100-140√3k+147k2+20-24√3k+21k2+20-14√3k+8-4√3k+16 =164-182√3k+168（2-√3k） =500-350√3k， ∴=𝑘4
𝑘8+𝑘6+2𝑘4+4𝑘2+16
10−7√3𝑘 50(10−7√3𝑘)1
=50．
11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），
𝑎−𝑏+2=0
∴{， 9𝑎+3𝑏+2=0𝑎=−3
解得：{4，
𝑏=3
∴该二次函数的表达式为y=−3x2+3x+2； （2）存在，理由如下： 如图1，当点P在BC上方时， ∵∠PCB=∠ABC， ∴CP∥AB，即CP∥x轴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵y=−3x2+3x+2， ∴抛物线对称轴为直线x=-∵C（0，2）， ∴P（2，2）；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0）， 则OD=m，DB=3-m，
第25页，共38页
43
2
24
24
2×(−)
23
=1，
∵∠PCB=∠ABC， ∴CD=BD=3-m，
在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2， ∴22+m2=（3-m）2， 解得：m=6， ∴D（6，0），
𝑘+𝑑=0
设直线CD的解析式为y=kx+d，则{6，
𝑑=2
12
𝑘=−5
解得：{，
𝑑=2∴直线CD的解析式为y=−5x+2， 𝑦=−𝑥+2
5
联立，得{， 224
𝑦=−𝑥+𝑥+2
3
3
12
12
5
5
5
𝑥2=5𝑥1=0
解得：{（舍去），{214， 𝑦1=2𝑦2=−
25
22
∴P（5，-25），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（5，-25）；
（3）由（2）知：抛物线y=−3x2+3x+2的对称轴为直线x=1， ∴E（1，0），
设Q（t，−3t2+3t+2），且-1＜t＜3， 设直线AQ的解析式为y=ex+f，则{𝑒=−3𝑡+2解得：{， 2
𝑓=−𝑡+2
322
4
2
4
22
214
22214
−𝑒+𝑓=0
24，
𝑡𝑒+𝑓=−𝑡2+𝑡+2
3
3
∴直线AQ的解析式为y=（−3t+2）x-3t+2， 当x=1时，y=-3t+4， ∴M（1，-3t+4），
同理可得直线BQ的解析式为y=（-3t-3）x+2t+2， 当x=1时，y=3t+3， ∴N（1，3t+3），
第26页，共38页
4
44
4
22
4
4
22
∴EM=-3t+4，EN=3t+3， ∴EM+EN=-3t+4+3t+3=3， 故EM+EN的值为定值3．
16
4
4
416
444
12.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：
m-4=0， 解得m=4，
∴y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；
x+m-4的顶点为（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x+（m-2）（∵m＞2， ∴2-m＜0， ∴∵
2−𝑚2
2
2−𝑚2
，−𝑚2+8𝑚−20
4
），
＜0，
=-4（m-4）2-1≤-1＜0，
1
−𝑚2+8𝑚−20
4
∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，其顶点为（-2，当x=0时，B（0，c）， 将（-2，𝑏
4𝑐−𝑏24
𝑏
4𝑐−𝑏24
），
）代入y=-x-2得：
4𝑐−𝑏2𝑏
=-2， 24
∴c=
𝑏2+2𝑏−8
4
，
∵B（0，c）在y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴OB=-c=-𝑏2+2𝑏−8
4
，
过点A作AH⊥OB于H，如图：
第27页，共38页
∵A（-1，-1）， ∴AH=1， 在△AOB中， S△AOB=OB•AH=×（-22∵-8＜0，
∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为8， 答：△AOB面积的最大值是8．
9
9
1
1
1
𝑏2+2𝑏−8
4
1=-b2-b+1=-（b+1）2+， ）×8488
1119
13.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：
a（1+1）2-4=0， 解得a=1，
∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；
答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；
（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），
-4+m）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，， 而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m）， 把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得： 12+2×1-3=4-m， 解得m=4， 答：m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）
2
-4，
∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上， ∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4， r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，
第28页，共38页
∵当t＞6时，s＞r， ∴s-r＞0，
∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0， 整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0， （9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0， （6-2n）（12-2t）＞0， ∵t＞6， ∴12-2t＜0， ∴6-2n＜0， 解得n＞3，
∴n的取值范围是n＞3．
14.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入， （-6）2a+8=2， 解得：a=-6，
∴抛物线对应的函数表达式为y=-6x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，-6m2+8）， ∴P1P2=P3P4=MN=-6m2+8，P2P3=2m，
∴l=3（-6m2+8）+2m=-2m2+2m+24=-2（m-2）2+26， ∵-2＜0，
∴当m=2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-2m2+2m+24，l的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27， ∵-3＜0，
∴当n=3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1=3，P2P3=9，
第29页，共38页
1
1
1
1
1
11
1
1
令-6x2+8=3， 解得：x=±√30，
∴此时P1的横坐标的取值范围为-√30+9≤P1横坐标≤√30， 方案二：设P2P1=n，则P2P3=
18−2𝑛2
1
=9-n，
9
81
∴矩形P1P2P3P4面积为（9-n）n=-n2+n=-（n-2）2+4， ∵-1＜0，
∴当n=2时，矩形面积有最大值为4， 此时P2P1=2，P2P3=2， 令-6x2+8=2， 解得：x=±√21，
∴此时P1的横坐标的取值范围为-√21+2≤P1横坐标≤√21．
9
1
99
9
9
81
15.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，
∴F（5，3），
∵直线y=-x+2与x轴交于点M， ∴M（2，0），
设直线MF的解析式为y=kx+b， 2𝑘+𝑏=0则有{，
5𝑘+𝑏=3𝑘=1解得{，
𝑏=−2
∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；
（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．
第30页，共38页
∵抛物线的对称轴x=-−2=2，点M（2，0）， ∴点M值抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2， ∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称， ∴P，Q关于直线x=2对称， ∴2=
𝑥1+𝑥22
4
，
∴x1+x2=4；
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．
∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5， ∴A（-1，0），B（5，0），
设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5）， ∵PT∥AM，
第31页，共38页
∴𝐴𝑁=𝐴𝑀=3（t-（t2-4t-3）=-3（t-2）2+12， ∵-3＜0，
∴𝐴𝑁有最大值，最大值为12．
𝑃𝑁
37
1
𝑃𝑁𝑃𝑇11537
16.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，
−1−𝑏+𝑐=0得{， 𝑐=3𝑏=2
解得：{，
𝑐=3
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵y=-（x-1）2+4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1， 如图，设CD=t，则D（1，4-t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t， ∴P（1+t，4-t），
把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得： -（1+t）2+2（1+t）+3=4-t， 整理得t2-t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=1， ∴P（2，3）；
（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置， ∴E点坐标为（1，-1），
∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），
连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小，
第32页，共38页
设直线PF的解析式为y=kx+n， 2𝑘+𝑛=3∴{， −𝑘+𝑛=−1𝑘=
3
解得：{1，
𝑛=3
∴直线PF的解析式为y=3x+3， ∴点M的坐标为（0，3）．
4𝑎−2+𝑐=0
（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax2+x+c中得：{17.解：
𝑐=4
𝑎=−
2； 解得：{
𝑐=4
（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-2x2+x+4， 设直线AB的解析式为：y=kx+b， −2𝑘+𝑏=0𝑘=2 则{，解得：{，𝑏=4𝑏=4∴AB的解析式为：y=2x+4， 设直线DE的解析式为：y=mx， ∴2x+4=mx， ∴x=𝑚−2， 当x=3时，y=3m， ∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC， ∴2•3•（-3m）=2•4•2−𝑚， ∴9m2-18m-16=0， ∴（3m+2）（3m-8）=0，
1
1
4
4
1
1
1
4
1
4
第33页，共38页
∴m1=-3，m2=3（舍）， ∴直线DE的解析式为：y=-3x； （3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况： 设P（t，-2t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，
1
2
28
∵四边形BPGF是矩形， ∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，
∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°， ∴∠PBH=∠OFB=∠CGF， ∵∠PHB=∠FCG=90°， ∴△PHB≌△FCG（AAS）， ∴PH=CF，
∴CF=PH=t，OF=3-t， ∵∠PBH=∠OFB，
∴𝐵𝐻=𝑂𝐹，即−1𝑡2+𝑡+4−4=3−𝑡，
2
𝑃𝐻𝑂𝐵
𝑡
4
解得：t1=0（舍），t2=1， ∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，
第34页，共38页
同①可得：NG=FM=3，OF=t-3， ∵∠OFB=∠FPM， ∴tan∠OFB=tan∠FPM， ∴𝑂𝐹=𝑃𝑀，即𝑡−3=−1𝑡2+𝑡+4，
2
𝑂𝐵𝐹𝑀4
3
1+2011−201
解得：t1=√，t2=√（舍），
4
4
201−11
∴F（√，0）；
4
综上，点F的坐标为（2，0）或（√
201−114
，0）．
18.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．
1−𝑏+𝑐=0∴{， 𝑐=−3𝑏=−2 ∴{，𝑐=−3
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．
第35页，共38页
由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F， ∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长， 令y=0，则x2-2x-3=0， 解得x=-1或3， ∴B（3，0）， ∴OB=OC=3，
∴△BOC是等腰直角三角形， ∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0）， ∴D2（1，-3）， ∵D，D1关于x轴的长， ∴D1（0，2），
∴D1D2=√𝐷2𝐶2+𝐷1𝐶2=√52+12=√26， ∴△DEF的周长的最小值为√26．
（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM． ∴S△ABM=2d， 又∵S△AMN=2d， ∴S△ABM=S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等， ∵B，N在AM的同侧， ∴AM∥BN，
设直线BN的解析式为y=kx+m， 𝑚=−3则有{，
3𝑘+𝑚=0
第36页，共38页
𝑘=1∴{， 𝑚=−3
∴直线BC的解析式为y=x-3， ∴设直线AM的解析式为y=x+n， ∵A（-1，0），
∴直线AM的解析式为y=x+1，
𝑦=𝑥+1𝑥=1𝑥=4由{，解得{或{， 2𝑦=0𝑦=5𝑦=𝑥−2𝑥−3∴M（4，5）， ∵点N在射线BC上， ∴设N（t，t-3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．
∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），
∴AM=5√2，AN=√(𝑡+1)2+(𝑡−3)2，MN=√(𝑡−4)2+(𝑡−8)2， ∵△AMN是等腰三角形，
当AM=AN时，5√2=√(𝑡+1)2+(𝑡−3)2， 解得t=1±√21，
当AM=MN时，5√2=√(𝑡−4)2+(𝑡−8)2， 解得t=6±√21，
当AN=MN时，√(𝑡+1)2+(𝑡−3)2=√(𝑡−4)2+(𝑡−8)2， 解得t=2， ∵N在第一象限， ∴t＞3，
第37页，共38页
7
∴t的值为2，1+√21，6+√21，
∴点N的坐标为（2，2）或（1+√21，-2+√21）或（6+√21，3+√21）．
7
1
7
第38页，共38页
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