石峰区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 设i是虚数单位，则复数

2i在复平面内所对应的点位于（ ） 1i，则

p为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． 设命题p：A．C．

B． D．

3． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）

A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 4． 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线A．﹣2 B．2 5． 双曲线A．

C．﹣4 D．4

的渐近线方程是（ ） B．

C．

﹣

=1的右焦点重合，则p的值为（ ）

D．

6． 与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是（ ）

7． 数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（ ） A．2n﹣1

B．﹣3n+2

C．（﹣1）n+1（3n﹣2）

A．若x∉A，则y∉A B．若y∉A，则x∈A C．若x∉A，则y∈A D．若y∈A，则x∉A

D．（﹣1）n+13n﹣2

8． 命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（ ） A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 9． 复数

的虚部为（ ）

D．2i

，

），则它的直角坐标为（ ）

A．﹣2 B．﹣2i C．2

10．已知点M的球坐标为（1，

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A．（1，，） B．（，，） C．（，，） D．（

，，）

11．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ ） A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假

12．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ） A．ann2n1 B．anD．p假q假

n(n1)n(n1) C．an D．ann21 22二、填空题

13．过椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则

椭圆的离心率为 ．

14．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈ ．

．

15．已知a[2,2]，不等式x2(a4)x42a0恒成立，则的取值范围为__________. 16．△ABC中，

17．已知a= 18．

（

，BC=3，

，则∠C=

cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是 ．

如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当

2

2

四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________．

三、解答题

19．已知椭圆C：的右顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

N两点，MN、ON的斜率依次成等比数列，（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、且直线OM、求△OMN面积的取值范围．

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+=1（a＞b＞0）与双曲线

2

﹣y=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆

20．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10

经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b （1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；

（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？

21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

n

（Ⅱ）从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，

记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

22．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA平 面ABCD，M为PA中点，N为BC中点．

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（1）证明：直线MN//平面ABCD；

（2）若点Q为PC中点，BAD120，PA3，AB1，求三棱锥AQCD的体积．

23．（本题满分15分）

11d（d为常数， nN*），则称xn为调和数列，已知数列an为调和数xn1xn11111列，且a11，15.

a1a2a3a4a5若数列xn满足：

（1）求数列an的通项an；

2n（2）数列{}的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得Sn2015？若存在，求出n的取值集合；若不存

an在，请说明理由.

【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.

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24．已知函数f（x）=lg（x2﹣5x+6）和（1）求集合A，B； （2）求集合A∪B，A∩B．

的定义域分别是集合A、B，

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石峰区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】因为

所以，对应的点位于第二象限 故答案为：B 【答案】B

2． 【答案】A

【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，故答案为：A 3． 【答案】A 【解析】

p为：

。

考

点：斜二测画法． 4． 【答案】D

【解析】解：双曲线

﹣

=1的右焦点为（2，0），

即抛物线y2=2px的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D．

【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

5． 【答案】B

【解析】解：∵双曲线标准方程为

，

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其渐近线方程是整理得y=±x． 故选：B．

=0，

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．

6． 【答案】D

【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可． 与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是若y∈A，则x∉A． 故选D．

7． 【答案】C

【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）

n+1

﹣2，故通项公式an=（﹣1）（3n﹣2）．

n+1

，绝对值为3n

故选：C．

8． 【答案】D 故选D． 否定方法、形式．

9． 【答案】C 【解析】解：复数故选；C．

=

=

=1+2i的虚部为2．

22

【解析】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a+b≠0”；

【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的

【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．

10．【答案】B

【解析】解：设点M的直角坐标为（x，y，z）， ∵点M的球坐标为（1，∴x=sin

cos

=，y=sin

，sin

）， =

，z=cos

=

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∴M的直角坐标为（，故选：B．

，）．

【点评】假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影．这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，

11．【答案】B 【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真， 若“非p”为真，则p为假， ∴p假q真， 故选：B．

【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．

12．【答案】C 【解析】

试题分析：可采用排除法，令n1和n2，验证选项，只有an考点：数列的通项公式．

n(n1)，使得a11,a23，故选C． 2二、填空题

13．【答案】

【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，∵∠F1PF2=60°， ∴

=

， b2=

22

（a﹣c）．

．

）或（﹣c，﹣），

即2ac=∴∴e=

e2+2e﹣或e=﹣

=0， （舍去）．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．

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14．【答案】 [﹣1，3] ．

22

【解析】解：∵函数y=sinx﹣2sinx=（sinx﹣1）﹣1，﹣1≤sinx≤1，

22

∴0≤（sinx﹣1）≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）﹣1≤3． 2

∴函数y=sinx﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．

故答案为[﹣1，3]．

【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．

15．【答案】(,0)(4,) 【解析】

，2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴上方试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2，2]，即可，设关于的函数yf(x)x2(a4)x42a(x2)ax24x4对任意的a[-2当a-2时，yf(a)f(2)x2(24)x440，即f(2)x26x80，解得x2或x4；当a2时，yf(2)x2(24)x440，即f(2)x22x0，解得x0或x2，∴的取值范围是

{x|x0或x4}；故答案为：(,0)(4,)．

考点：换主元法解决不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简

，2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围. 16．【答案】 【解析】解：由根据正弦定理

=

，a=BC=3，c=得：

，

sinC==，

又C为三角形的内角，且c＜a， ∴0＜∠C＜则∠C=

．

，

故答案为：

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【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．

17．【答案】 240 ．

【解析】解：a=

（

cosx﹣sinx）dx=（

sinx+cosx）

=﹣1﹣1=﹣2， •2r•x12﹣3r，

•24=240，

2626

则二项式（x﹣）=（x+）展开始的通项公式为Tr+1=

2

6

令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x﹣）展开式中的常数项是故答案为：240．

【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

18．【答案】

【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9. 圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，

∴四边形PACB的周长为2（PA＋AC） ＝2PC2－AC2＋2AC＝2

PC2－9＋6.

当PC最小时，四边形PACB的周长最小． 此时PC⊥l.

∴直线PC的斜率为1，即x－y－3＝0，

x＋y－5＝0由，解得点P的坐标为（4，1），

x－y－3＝0

由于圆C的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA，PB分别与x轴平行和y轴平行， 即∠ACB＝90°，

119

∴S△ABC＝AC·BC＝×3×3＝. 222

9

即△ABC的面积为. 2

9答案： 2

三、解答题

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19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为（2，0），即a=2，c=∴椭圆方程为：

．…

，b=1，…

，所以椭圆的离心率

，

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2） 联立

222

消去y并整理得：（1+4k）x+8kmx+4（m﹣1）=0…

则于是

，

…

又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列． ∴

由m≠0得：

…

2222222

又由△=64km﹣16（1+4k）（m﹣1）=16（4k﹣m+1）＞0，得：0＜m＜2 2

显然m≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，

直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） … 设原点O到直线的距离为d，则

∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．

20．【答案】

【解析】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7， ∴

=10，

且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12， 因此

，

，

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故（0≤t≤24）

（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即∴

，

解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z 又0≤t≤24

当k=0时，1≤t≤5；

当k=1时，13≤t≤17；

故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）． 注意由题中条件求出周期，最大最小值等．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）依题意得：

∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1． 即an=2n﹣1； （Ⅱ）由已知得，

．

【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式

，解得．

23n+1

∴Tn=b1+b2+…+bn=（2﹣1）+（2﹣1）+…+（2﹣1）

=（22+23+…+2n+1）﹣n=．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．

22．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

1. 8试题解析：（1）证明：取PD中点R，连结MR，RC，

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∵MR//AD，NC//AD，MRNC∴MR//NC，MRAC， ∴四边形MNCR为平行四边形，

1AD， 2∴MN//RC，又∵RC平面PCD，MN平面PCD， ∴MN//平面PCD．

（2）由已知条件得ACADCD1，所以SACD所以VAQCDVQACD3， 4111SACDPA． 328

考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式. 23．【答案】（1）an1，（2）详见解析. n第 13 页，共 14 页

n8时S872922112015，…………13分

∴存在正整数n，使得S*n2015的取值集合为n|n8,nN，…………15分

24．【答案】

【解析】解：（1）由x2﹣5x+6＞0，即（x﹣2）（x﹣3）＞0， 解得：x＞3或x＜2，即A={x|x＞3或x＜2}， 由g（x）=

，得到﹣1≥0，

当x＞0时，整理得：4﹣x≥0，即x≤4； 当x＜0时，整理得：4﹣x≤0，无解，

综上，不等式的解集为0＜x≤4，即B={x|0＜x≤4}； （2）∵A={x|x＞3或x＜2}，B={x|0＜x≤4}， ∴A∪B=R，A∩B={x|0＜x＜2或3＜x≤4}．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

第 14 页，共 14 页

当