2011年浙江高考理科数学试题及解析

数 学（理科）

选择题部分（共50分）

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么 柱体的体积公式

P(AB)P(A)P(B) Vsh

如果事件A,B相互独立，那么 其中s表示柱体的底面积，h表示柱体的高

1P(AB)P(A)P(B) 锥体的体积公式 Vsh

3一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x,x0（1）设函数f(x)2，若f(a)4，则实数a

x,x0（A）4或2 （B）4或2 （C）2或4 （D）2或2 （2）把复数z的共轭复数记作z,i为虚数单位，若z=1+i,则(1z)z （A）3i （B）3i （C）13i （D）3 （3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

（4）下列命题中错误的是 ．．

（A）如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 （B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 （C）如果平面⊥平面，平面⊥平面，l，那么l⊥平面 （D）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）（浙江省）

x2y50（5）设实数x、y是不等式组2xy70，若x、y为整数，则3x4y的最小值是

x0,y0（A）14 （B）16 （C）17 （D）19 （6）若02，31，则cos() 0，cos()，cos()4232432（A）

33536 （B） （C） （D） 3399（7）若a、b为实数，则“0ab1”是“a11或b”的 ba（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

x2y2y221有公共的焦点，C2的一条渐近（8）已知椭圆C1:221（a>b>0）与双曲线 C2:xab4线与以C1 的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1 恰好将线段AB三等分，则 （A）a2131222 （B）a13 （C）b （D）b2 22（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。若将其随机地并排摆放到书架的

同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A）

1234 （B） （C） （D） 555522（10）设a,b,c为实数，f(x)(xa)(xbxc),g(x)(ax1)(cxbx1)。记集合

S{x|f(x)0,xR},T{x|g(x)0,xR}.若|S|，|T|分别为集合S,T的元素个数，

则下列结论不可能的是 ．．．

（A）|S|1 且 |T|0 （B）|S|1 且 |T|1 （C）|S|2 且 |T|2 （D）|S|2 且 |T|3

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

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（11）若函数f(x)x2xa为偶函数，则实数a 。 （12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值为 （13）若二项式(xa6)(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为xB，若B4A，则a的值是 。

（14）若平面向量,满足a1,行四边形的面积为

1，且以向量,为邻边的平

1，则与的夹角的取值范围是 。 22，得到乙、丙两公司3（15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为

面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试的公司个数。若P(X0)221，则随机变量X的数学期望E(X) . 1216.设x,y为实数，若4xyxy1，则2xy的最大值是 .

x2y21的左、右焦点，点A,B在椭圆上，若F1A5F2B，则点A的坐标17.设F1,F2分别为椭圆3是 .

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）（本题满分14分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知

1sinAsinCpsinBpR,且acb2.

45（Ⅰ）当p,b1时，求a,c的值；

4(Ⅱ) 若角B为锐角，求p的取值范围。

（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（a∈R），设数列的前n项和为Sn，

111，，成等比数列。 a1a2a4（Ⅰ）求数列an的通项公式及Sn； （Ⅱ） 记An＝

11111111+++…+, Bn＝+ ++… +，当n≥2时，试比较An与BnS1S2S3a1a2a22Sna2n12011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）（浙江省）

的大小。

（20）（本题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2 （Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

2（21）（本题满分15分）已知抛物线C1:x＝y，圆C2:x(y4)1的圆心为点M。

22（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆

C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直

线l垂足于AB，求直线l的方程.

（22）（本题满分14分）设函数f(x)＝(xa)lnx，a∈R

（Ⅰ）若x＝e为yf(x)的极值点，求实数a；

（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0,3e]，恒有f(x)≤4e成立. 注：e为自然对数的底数。

222011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）（浙江省）

2011年浙江省高考数学理科参考答案

1、 2、 3、 4、

解析：此题考察分段函数求值问题，直接代入计算即可，属简单题，选B。 解析：此题考察复数的运算以及共轭复数的定义，属简单题。选A。

解析：考察三视图还原直观图，由正视图排除A、B，由俯视图可排除C，故选D。简单题。 解析：考察线面的平行与垂直关系，紧扣线面平行与垂直的判定与性质，不难选出D错。属简单题。

5、 解析：考察线性规划及最值问题，与一般求值问题不同的是要注意定义域的取值范围，X与Y均

取整数，画出区域，不难看出在（4，1）处取到最小值。故选B。属中档题。

解析：考察三角函数求值，和差化积公式的运用。在这里先将6、

再利用不等式的性质求出(2拆成()- ()，442)、()角的范围进而求出sin()、sin()的值，

442442最后余弦的和差化积公式计算出结果C。属中档题。

117、 解析：考察充分必要性，由0＜ab＜1知a、b同号且均不为0，同正可得a＜，同负可得b＞，

ba故充分性成立；而由a＜或b＞1b1并不能推出a、b同号，故必要性不能成立，选A.属中档题。 a8、 解析 ：考察圆锥曲线相关综合知识，考察学生的分析能力和计算能力。首先画出示意图，由已

知条件可知a-b=5，以双曲线的一条渐进线y=2x为例，由图形的对称性可知y=2x与椭圆

22x2y2C1:221(a＞b＞0)、圆x2y2a2在第一象限的交点横坐标之比为1:3，即

aba2(a25)a2:1:3，求出a211，故b21，选C。属中档题。 25a55229、 解析：考察排列组合的限制条件排列问题，此类问题可用先分类后再排的方法解决。以A1、A2表

示语文，B1、B2表示数学，C表示物理，第一类：先排A1、A2，有A2种，C排A1、A2中间，

2222这样有4个空位可以插入B1、B2，有A4种，故有A2A4=24种；第二类，先排A1、A2，有A22种，C不排A1、A2中间，A1、A2中间只能排B1或B2，剩下两个可以排在一起或排在两端，有

11C2A22（A22+C2A22）=24种，故概率为（24+24）/A55=2/5,选B。属较难题。

10、 解析：此题属于分类讨论型的题目，可采用逐个检验法进行排除。A在a=b=0，c≥0下成立；B

b4c0下成立；b4c0下成立；在a0，C在a0，D必须在b4c0和b4c0同时成立下才成立，故不可能。选D。属难题。

22222011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）（浙江省）

11、 解析：考察偶函数的判定。利用f(x)= f(x)即可得a=0；或由偶+偶=偶也可得。属简单题。 12、 解析：考察程序框图的循环与判断，属简单题，k=5。 13、 解析：考察二项式展开的通式Tr1Cxr66r(1)rarxr2Cxr636r2(1)rar，由题意知r=4时是r=2

时的4倍，得a=2。属简单题。

14、 解析：考察平行四边形的面积公式与解三角不等式以及向量夹角的范围0， 由S=|α||β|sin=

115，|α|≤1，|β|≤1可得sin1，故。属简单题。 226615、 解析：考察相互独立事件的概率计算及离散型随机变量的概率分布列和期望的计算公式。由

11121211得p=，故P(X1)(1p)C2p(1p)，P(X0)(1p)(1p)2312333152112P(X2)C2p(1p)p2，P(X3)p2，

3312361515 所以E(X)12+3=。属简单题。

312632216、 解析1：设2x+y=t，则y=t-2x代入4xyxy1中有6x3txt10

22将它看作一个关于x的二次方程，则由判别式大于等于0，可得

22210t10，2x+y的最大值为10。

555332xy22222解析2：14xyxy(2xy)(2x)y(2xy)()

2222可解得2x+y的最大值为（利用不等式） 10。

5(3t)246(t21)0解得17、 解析：考察圆锥曲线的坐标运算。可设A(xA,yA)，B（xB,yB）, F1（2，0），

xA62x2yAF2（2，0）xy21解得xA=0，，由F，yB=，将A、B代入1A5F2B，可得B=

535故A(0,1).属中档题。

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