山东科技大学601数学分析2012考研真题

一、求下列极限（每题5分，共15分）

1xx2xnn2limxxln(1)limxx1x； x11、； 2、2limnf()n。 3、曲线yf(x)与ysinx在原点相切，计算n二、计算导数与微分（每题5分，共15分）

xcos4tdy1f(x)24(n)ysintf(x)； dxx11、，计算； 2、设，求

2du(x)lnxv(x)cos2x3、设，，求(uv)。

三、证明题（第一题7分，第二题8分，共15分）

limf(x)limf(x)f(x)(,)x1、设在上可导，且=x，证明：存在(,)，使得

f'()0。

2、设f(x)C(,)，且f(f(x))x，证明：存在(,)，使得f()。

四、计算不定积分与定积分（每题5分，共15分）

131、

x(x8)dx； 2、记

Inlnnxdx，给出In的递推公式并计算I3；

3、计算

20cosxdxsinxcosx。

五、定积分应用（第一题7分，第二题8分，共15分）

1、求0ysinx,0x所围平面图形绕y轴旋转所得立体的体积。 2、求心形线ra(1cos)(a0)绕极轴旋转所得旋转曲面的面积。

六、证明下列各题（每小题10分，共20分）

2u2u202221、证明：函数uln(xa)(yb)(a,b为常数）满足拉普拉斯方程xy。

a2、 设正项级数na收敛，证明2n亦收敛；试问反之是否成立?

七、求解下列各题（每小题10分，共20分）

1、求函数

22(xy)sinf(x,y)0,1x2y2;x2y20x2y20在点(0,0)的偏导数数值, 判断偏导函

fx,y)在点(0,0)是否可微？ 数在(0,0)是否连续, 函数（222222xyz200xyz2、求球面与锥面所截出的曲线的点(6, 8, 10)处的切线与法平

面方程。

八、求解下列各题（每小题10分，共20分）

1、应用格林公式计算曲线积分AB(exsinymy)dx(excosym)dy，其中m为常数，AB

22xyax上半部的路线。 (a,0)(0,0)为由到经过圆

2、应用高斯公式计算曲面积分

2xdydz2yS22dzdx3z2dxdy222xyz，其中S是锥面与

平面z1所围空间区域(0z1)的表面，方向取外侧。

九、计算含参量积分（10分）

从等式

baexy3xeeaxebxe6xdydx0xx出发, 计算含参变量积分的值。

1t0t2十、计算题（5分）求极限

limf(x,y)dxdyD222D:xytf(x,y)，其中函数在区域上

连续，且f(0,0)0。