年 龄 问 题
教学目标:
本讲主要学习三种类型的年龄问题:
1、理解掌握可以转化为和差问题的年龄问题; 2、理解掌握可以转化为和倍问题的年龄问题; 3、理解掌握可以转化为差倍问题的年龄问题. 4、理解特殊形式的年龄问题,解决实际问题。
本章内容主要围绕年龄问题进行展开分析,通过本章知识的学习,要求同学们能熟练运用和差、和倍、差倍的知识以及图示法计算有关年龄问题.
知识点讲解: 根据以上题目,我们得出年龄问题的三大规律: 1、 两人的年龄差是不变的; 2、 两人年龄的倍数关系是变化的量;
3、 随着时间的推移,两人的年龄都是增加相等的量. 解答年龄问题的一般方法是:
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄, 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差.
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【例1】 姐姐、妹妹二人的年龄和是33岁,四年后姐姐比妹妹大5岁.那么
今年姐姐和妹妹各是多少岁?
分析:四年后姐姐比妹妹大5岁,意味着今年姐姐比妹妹大5岁,由于今年二人的年龄和是33岁,所以用和差问题的方法:姐姐的年龄:(33+5)÷2=19(岁), 妹妹的年龄:(33-5)÷2=14(岁)
前铺:小傲爸爸妈妈现在的年龄和是72岁;五年后,爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁? 分析: 五年后,爸比妈大6岁,即爸妈的年龄差是6岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁,他们的年龄差是6岁,求二人各是几岁”的和差问题。所以爸爸年龄:(72+6)÷2=39(岁),妈妈的年龄:39-6=33(岁)
【例2】 甲、乙、丙三人平均年龄为42岁,若将甲的岁数增加7,乙的岁数
扩大2倍,丙的岁数缩小2倍,则三人岁数相等,丙的年龄为多少岁?
分析:甲增加7岁后,三人总年龄是42×3+7=133岁,并且这时丙是甲的2倍,
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甲是乙的2倍,丙是乙的4倍,所以这时乙的年龄是
(42×3+7)÷(1+2+4)=(42×3+7) ÷7=19 (岁),所以丙的年龄是19×4=76(岁)
[巩固] 今年甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是64岁,甲21岁时,乙17岁;今年甲18岁,丙的年龄是丁的3倍.问丁今年的年龄? 分析:由“甲21岁时,乙17岁”可以推知甲比乙大4岁,因此当甲18岁时,乙就是14岁.由于甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是64岁,甲,18岁,乙14岁,故丙和丁的年龄和就是64-14-18=32(岁).因为丙的年龄是丁的3倍,剩下的问题是个和倍问题.以丁的年龄作为1倍量,丙的年龄就是3倍量,从而两个人的年龄和32岁,就是4倍量,因此1倍量的大小即丁的年龄是:32÷4=8(岁).
【例3】 姐姐与妹妹3年后的年龄和是33岁,妹妹今年的年龄等于两人的年
龄差,姐姐今年多少岁?
分析:今年姐姐和妹妹的年龄和是:33-(3×2)=27(岁),妹妹今年的年龄等于两人的年龄差,实际上姐姐是妹妹年龄的2倍,也就是姐妹二人的年龄和是妹妹今年年龄的3倍,所以,妹妹的年龄是: 27÷3=9(岁),姐姐今年是:27-9=18(岁).
[拓展]哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍,哥哥当年的年龄与弟弟现在的年Word文档
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龄相同,哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁.问:哥哥现在多少岁? 分析:假设弟弟当年年龄是1份,那么哥哥现在的年龄就是3份,因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同,因为弟弟当年年龄,弟弟现在年龄(=哥哥当年年龄),哥哥现在年龄这三个数是等差的,所以弟弟现在年龄(=哥哥当年年龄)就刚好是2份,那么兄弟现在的年龄和是3+2=5份,一份就是30÷5=6,哥哥现在是6×3=18岁.
【例4】 兄弟俩都有点傻,以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大.有
一天,哥哥对弟弟说:“再过3年我的年龄就是你的2倍.”弟弟说:“不对,再过3年我和你一样大.”这时他们俩各几岁?
分析:通过“弟弟说:‘不对,再过3年我和你一样大.’”知道哥哥比弟弟大3岁,再通过“哥哥对弟弟说:‘再过3年我的年龄就是你的2倍.’”哥哥现在比弟弟大6岁,这样得出弟弟是6岁,哥哥是6+3=9岁.
[拓展] 甲对乙说:“我在你这么大岁数的时候,你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说:“我到你这么大岁数的时候,你的岁数是我今年岁数的2倍减7.”问:甲、乙二人现在各多少岁? 分析: 从已知条件中可以看出甲比乙年龄大,甲乙年龄差这是一个不变的量.甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”,意思是说几年以前.这几年就是甲乙的年龄差.因此,甲整句话可理解为:乙今年的岁数,减去年龄差,正好是甲今年岁数Word文档
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的一半.即,乙今-年龄差=甲今的一半 (1) 乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”,意思是说几年后.因此,乙整句话可理解为:甲今年的岁数,加上年龄差,正好是乙今年岁数的2倍减去7.即 甲今+年龄差=2×乙今-7 (2) 把甲乙的对话用下图表示为: 由(1)得甲今=2×乙今-2×年龄差 (3) 由(2)得 甲今=2×乙今-7-年龄差 (4) 由(3)(4)年龄差=7(岁) 从上图不难看出,甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍,1倍相当于2个年龄差,2倍相当于4个年龄差,乙现在的年龄相当3个年龄差.乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等,所以乙几年后相当4个年龄差.甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差,正好是7岁,从而得出年龄差是7岁.乙现在年龄: 7×3=21(岁),甲现在年龄: 7×4=28(岁)
【例5】 三名男青年王强、张胜、李明和三名女青年芳芳、丽丽、蓉蓉这
六个人是三对兄妹,哥哥比妹妹都大5岁,王强比芳芳大1岁,王强与丽丽的
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年龄和为48岁,张胜与丽丽的年龄和为52,他们六人中各对兄弟妹分别是谁和谁?(只写出答案,不列式)
分析:由于哥哥比妹妹大5岁,两人年龄之和一定是奇数,所以王强与丽丽又不是兄妹,张胜与丽丽也不是兄妹.又因为王强只比芳芳大一岁,因而也不是兄妹,所以王强与蓉蓉是兄妹,从而张胜与芳芳是兄妹,剩下李明与丽丽是兄妹.用图表法解释如下:
【例6】 全家4口人,父亲比母亲大3岁,姐姐比弟弟大2岁.四年前他
们全家的年龄和为58岁,而现在是73岁.问:现在各人的年龄是多少?
分析:73-58=15≠4×4,我们知道四个人四年应该增长了4×4=16岁,但实际上只增长了15岁,为什么呢?是因为在4年前,弟弟还没有出生,那么弟弟今年应该是几岁呢?我们可以这样想:父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁,15-12=3,3就是弟弟的年龄!那么很快能得到姐姐是3+2=5岁,父母
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今年的年龄和是73-3-5=65岁,根据和差问题,就可以得到父亲是(65+3)÷2=34岁,母亲是65-34=31岁.
【例7】 今年小华9岁,爸爸33岁,那么再过多少年小华的岁数是爸爸岁
数的一半?
分析:今年小华比爸爸小33-9=24岁,那么小华永远比爸爸小24岁.几年后小华是爸爸岁数的一半时,
即爸爸年龄是小华的2倍时,爸爸仍比小华大24岁.这是个差倍问题.以小华的年龄作为1倍量,爸爸年龄是2倍量,所以爸爸比小华大的岁数也是1倍量,即1倍量代表着24岁.所以小华24岁时年龄是爸爸年龄的一半,因此再过24-9=15(年)小华的岁数是爸爸的一半.
[拓展]妈妈今年35岁,恰好是女儿年龄的7倍,多少年后,妈妈的年龄恰好是女儿的3倍? 分析:女儿今年的年龄35÷7=5(岁),母女年龄差是:35-5=30(岁),当妈妈的年龄是女儿的3倍时,女儿的年龄是:30÷(3-1)=15(岁),所以要经过:15-5=10(年)
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【例8】 今年是1996年。父母的年龄和是78岁,兄弟的年龄和是17岁。
4年后,父亲的年龄是弟弟的4倍,母亲的年龄是哥哥的3倍。那么,当父亲的年龄是哥哥的年龄的3倍时是公元多少年?
分析:4年后,父母的年龄和是78+8=86岁,兄弟的年龄和是17+8=25岁,4倍弟弟年龄+3倍哥哥的年龄=86=3倍兄弟年龄和+弟弟年龄=25×3+弟弟年龄,所以弟弟年龄是86-25×3=11岁,那么哥哥25-11=14岁,父亲11×4=44岁,母亲14×3=42岁。
以上计算都是4年后的情况,所以,今年父亲40岁,母亲38岁,哥哥10岁,弟弟7岁。
当父亲年龄是哥哥年龄的3倍的时候,父亲,哥哥,年龄差是哥哥年龄的2倍,那时哥哥是(40-10)÷2=15岁,那么,5年以后1996+5=2001年
【例9】 2001年父亲的年龄是姐姐和妹妹年龄之和的4倍,2007年,父
亲的年龄是姐姐和妹妹年龄之和的2倍,问:父亲出生在哪一年?
分析:父亲在2007年的年龄应该是4线段再加6岁,而兄弟二人在2007年的年龄之和是1线段再加上2×6=12(岁),它是父亲年龄的一半,也就是2线段再加3岁,由:1段+12岁=2段+3岁,可以推知1段是9岁,所以父亲2001
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年的年龄是:9×4=36(岁),他出生于:2001-36=1965(年)
【例10】 今年爷爷78岁,三个孙子的年龄分别是27岁、23岁和16岁.经
过多少年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和?
分析:观察每过一年,爷爷的年龄与三个孙子年龄和的差的变化.相等时的图示所示:
三个孙子的年龄和是27+23+16=66(岁),跟爷爷的差距是78-66=12 (岁).由于每过一年,三个孙子的年龄和增大3岁,而爷爷年龄增大1岁.因此每过一年,爷爷和三个孙子年龄和的差就缩小2岁.这样由于他们的差距一共是12岁,所以12÷2=6(年).
【例11】 女儿今年12岁,妈妈对女儿说:“当你有我这么大岁数时,我已
经60了!”问:妈妈12岁时,时哪一年? 分析:母女年龄差是(60-12)÷2=24 2009-24=1985
答:妈妈12岁是1985年。
【例12】 “重阳节”那天,延龄茶社来了25位老人品茶,他们的年龄恰好是
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25个连续自然数,两年以后,这25位老人的年龄之和正好是2000,其中年龄最大的老人今年多少岁?
分析:两年之后,这25位老人的平均年龄为2000÷25=80(岁),其中年龄最大的老人为80+12=92(岁),年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90(岁).
课后练习:
1. 小明今年(1995)的年龄是他出生那年的年份的数字之和,问:他今年多少岁?
分析:19ab年,11a+2b=85.1+9+7+4=21(岁)
2. 父亲今年44岁,儿子今年16岁,当父亲的年龄是儿子的8倍时,父子的年龄和是多少岁?
分析:此题关键要抓住年龄差不变,当父亲的年龄是儿子的8倍时,儿子的年龄是一份,父亲的年龄是8份,他们的年龄差是8-1=7份,因为他们的年龄差始终保持不变,年龄差是44-16=28岁,所以一份是28÷7=4,即儿子的年龄是4岁,父亲的年龄是4×8=32时,父亲的年龄是儿子的8倍,此时他们的年龄和是4+32=36岁.
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3.
学生问老师多少岁,老师说:“当我像你这么大时,你刚3岁;
当你像我这么大时,我已经39岁了.”求老师与学生的年龄.
分析:老师的这句话表示3,学生年龄,老师年龄,39这4个数是一个等差数列,即学生年龄-3=老师年龄-学生年龄=39-老师年龄,我们可以先求出这个差是多少:(39-3)÷3=12,所以学生年龄是3+12=15岁,老师年龄是15+12=27岁.
4. 小红、小橙、小黄、小绿四人今年分别是16,12,11,9岁.问:多少年前,小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍?
分析:现在小红、小橙的年龄和是16+12=28岁,小黄、小绿的年龄和是11+9=20岁,他们和的年龄差是28-20=8岁,当小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍时,他们的年龄差是1份,即8岁,此时小红、小橙的年龄和是2×8=16岁,小黄、小绿的年龄和是8岁,又因为每一组是两个人,所以往前推(28-16)÷2=6年,即6年前,小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍.
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5. 6年前,母亲的年龄是儿子的5倍,6年后母子年龄和是78岁.问:母亲今年多少岁?
分析:6年后母子年龄和是78岁,可以求出母子今年年龄和是78-6×2=66 (岁).6年前母子年龄和是66-6×2=54(岁).又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍,可以求出6年前母亲年龄,再求出母亲今年的年龄. 母子今年年龄和: 78-6×2=66(岁), 母子6年前年龄和: 66-6×2=54(岁), 母亲6年前的年龄: 54÷ (5+1)×5=45(岁), 母亲今年的年龄: 45+6=51(岁).
6. 爸爸今年30岁,儿子小明和小强分别是5岁和6岁,再过几年小明和小强的年龄和与爸爸的年龄相等?
分析:两个儿子的年龄和是5+6=11岁,爸爸比他们的年龄和大30-11=9岁,每过一年两个儿子的年龄和比爸爸的年龄增加2-1=1岁,所以要过9年,小明和小强的年龄和才能与爸爸的年龄相等.
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7.三个人年龄之和是80岁,最小的一个20岁,他与最大的人年龄之和比其它两人年龄之和小8岁,那么这三个人的年龄各是多少?
分析:最小的一个与最大的人年龄之和比第二大的与最大的年龄之和小8岁,也就是说最小的人比年龄在中间的人小8岁,所以,年龄在中间的人的年龄是:20+8=28(岁),最大的人的年龄就是: 80-20-28=32(岁)
8. 今年小宁9岁,妈妈33岁,那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半?
分析:今年小宁比妈妈小33-9=24岁,那么小宁永远比妈妈小24岁.几年后小宁是妈妈岁数的一半时,即妈妈年龄是小红的2倍时,妈妈仍比小宁大24岁.这是个差倍问题.以小红的年龄作为1倍量,妈妈年龄是2倍量,所以妈妈比小宁大的岁数也是1倍量,即1倍量代表着24岁.所以小宁24岁时年龄是妈妈年龄的一半,因此再过24-9=15(年)小宁的岁数是妈妈的一半.
9.女儿今年12岁,妈妈对女儿说:“当你有我这么大岁数时,我已经60了!”
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问:妈妈12岁时,时哪一年? 分析:母女年龄差是(60-12)÷2=24 2009-24=1985
答:妈妈12岁是1985年。
10.甲,乙,丙,丁四人现在的年龄和是64岁,甲21岁时,乙是17岁;甲是18岁时,丙的年龄是丁的3倍。丁现在的年龄是多少岁? 分析:(64-18-14)÷(3+1) ==32÷8 ==8(岁)
11.小明与爸爸的年龄和是52岁,小明年龄的4倍比爸爸的年龄小2岁,小明与爸爸的年龄相差几岁?
分析:把小明的年龄看成是一份,那么爸爸的年龄是四份多2,根据和倍关系:
小明的年龄是:(52-2)÷(4+1)=10(岁), 爸爸的年龄是:52-10=42(岁),
小明与爸爸的年龄差是:42-10=32(岁).
12. “重阳节”那天,延龄茶社来了25位老人品茶,他们的年龄恰好是25个连续
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自然数,两年以后,这25位老人的年龄之和正好是2000,其中年龄最大的老人今年多少岁?
分析:两年之后,这25位老人的平均年龄为2000÷25=80(岁),其中年龄最大的老人为80+12=92(岁),年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90(岁).
13.今年,祖父的年龄是小明年龄的6倍。几年后,祖父的年龄是小明的5倍。又过几年以后,祖父的年龄将是小明年龄的四倍。祖父今年是多少岁?
分析:祖父的年龄是小明的6,5,4倍的时候,年龄差为5,4,3倍小明的年龄,由于年龄差不变。5,4,3的最小公倍数(最小公倍数)为60,所以年龄差为60的倍数,而实际情况中年龄差只能是60.
今年,年龄差是小明年龄的5倍,所以小明的年龄是60÷5=12岁,爷爷的年龄是
12×6=72岁。
14.叔叔比小华大20岁,明年叔叔的年龄是小华的3倍,今年小华多少岁?
分析:因为明年叔叔毕小华仍然大20岁,于是明年小华是20÷(3-1)=10(岁) 所以小华今年是10-1=9(岁)
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15.四个人年龄和是77岁,最小的是10岁,他与最大的年龄之和比另外二人年龄和大7岁,那么最大的岁数是多少? 分析:(77+7)÷2=42
所以最大的岁数是42-10=32(岁)。
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