函数的性质

函数的性质

一，函数的奇偶性

1，判定方法：（1）求定义域并验证是否关于原点对称。（2）求fx。

（3）根据fx与fx的关系定论

例；（1）fxx11x （2）fxlgxx21 1x2x2,x1lg1x （3）fx2 （4）fx0,x1

x22x2,x1 2，常见的几种奇偶性函数；（1）fxaxax；（奇）（2）fxaxax；（偶）

a2x1axax （3）fx2x（奇）

a1axax 3,有关性质及结论：

（1）图像性质：fx为奇函数图像关于原点对称；fx为偶函数图像关于y轴对称；给出y轴右边的图像，根据函数的奇偶性，你会画y轴左边的图像吗？亲 （2）函数yfxa为奇函数fxafxa函数yfxa的图像关于原点对称函数yfx的图像关于a,0对称

（3）函数yfxa为偶函数fxafxa函数yfxa的图像关于y轴对称函数yfx的图像关于xa对称

（4）单调性判定；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数则相反 （5）运算性质；在两个函数公共定义域内：

奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇偶=奇；奇奇=偶；偶偶=偶 对于复合函数yfgx，“有偶则偶，同奇为奇”

例；（1）函数ysinx1的奇偶性是 （2）函数ycosx1的奇偶性是 （3）函数yxaaxx的奇偶性是 （3）函数ycossinx的奇偶性是

2 （4）函数yaxbx1在a,b1上是偶函数，则a ；b

1

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（6）常数函数fxc一定是偶函数，（c0时，同时又是奇函数）； 一次函数

fxkxb为奇函数b0；二次函数fxax2bxc为偶函数b0

（7）若x0是奇函数定义域内的元素，则函数的图像一定过原点。即f00 （8）若fx为偶函数，则fxfxfxfx （9）奇函数的最大值+最小值=0

（10）若可导的函数fx是偶（奇函数）那么fx的f'x是奇（偶函数）

例1,设fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx2x2x，则f1 2．已知fx为偶函数，gx为奇函数，且fxgx1，则fx x1 3.若fxx5ax3bx8，且f210，则f2 4.已知fx在0,2增函数，且fx2是偶函数，试比较f,f1,f的大小 5.若函数fxxxa为偶函数，则实数a=

27252 6.若函数fxx为奇函数，则实数a

2x1xaR

上的奇函数

7.已知定义在

fx和偶函数gx满足

fxgxaxax2,a0,a1，若g2a，则f2

2x1sinx 8.设函数fx的最大值为M，最小值为m。则M+m= x21变式：求f3f2f3f2

'' 9.已知fxln19x23x1,则flg2flg1 22 10.（14年湖北）已知fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx3x.则函

数gxfxx3的零点的集合

A,1,3 B,3,1,1,3 C,27,1,3 D,27,1,3

11.（14湖南）若fxlne3x1ax是偶函数，则a

2

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12：(15新II-12)设函数fxln1x1,则使得fxf2x1成立的x的1x2取值范围是 A.,1 B.,1， C.二；函数图像自身的对称性。

13131111, D,,，

3333 (1)若函数yfx满足fxfx。则fx的图像关于 对称 （2）若曲线yfx满足fxfx，则曲线fx关于 对称 （3）若函数yfx满足fxfx。则fx的图像关于 对称 （4）若函数yfx满足f2axfx。则fx的图像关于 对称 （5）若函数yfx满足faxfbx。则fx的图像关于 对称 （6）若函数yfx满足f2axfx或faxfax。则fx的图像

关于 对称

例；（1）如果yfx的图像与函数y32x的图像关于原点对称，则fx （2）定义在R上的函数yfx满足fxfx，f1xf1x，

则f2014

（3）定义在R上的函数fx为偶函数。满足fxf2x且在1,2上是减函数，则fx=

A;在2,1上，在3,4上 B;在2,1上，在3,4上 C;在2,1上，在3,4上 D;在2,1上，在3,4上 (4)设fxsinx2cos2x1 （1）求fx的最小正周期，

6844 （2）若函数ygx与yfx的图像关于直线x1对称，求当x0,时，

3 gx的最大值

(5)用mina,b表示实数a,b两数中的最小值。若函数fxminx2,xc满足

2f1xfx1，则函数fx在2,2上的值域为

3

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注；两个函数图像间的对称不在细讲！

（1）yfx与yfx （2）yfx与yfx（3）yfx与yfx （4）yfax与yfax （5）yfx与yf2ax（6）两个函数关于yx或yx对称的

例:求yf1x与yf1x关于 对称，yfx1与yf1x关于 对称 例：（15新I-12）设函数yfx的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且

f2f41,则a A.1 B.1 C.2 D.4

三；函数的周期性：

1． 定义：设函数yfx,xI,如果存在非零实数T，使得对于任意的xI,都有

fxfxT则称fx为周期函数，T是fx的周期。

说明：（1）若T是函数的一个周期，则kTkz,且k0也是它的周期。

（2）对周期函数fx如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期。

2.结论：（1）若fx满足fxfxa或fxfxa，则T=a （2）若fx满足faxfbx或faxfbx，则Tab （3）若fx满足fxfxa或fxcc或fx

fxafxa(c0)，则T=2a

(4)若直线xa和xb均是函数fx图像的对称轴，则fx为周期函数。则T2ab (5)若点a,0和b,0均是函数fx图像的对称中心，则fx为周期函数。则T2ab (6)若点a,0和直线xb分别是fx的一个对称中心和一条对称轴，则T4ab (7)原函数是周期为T的周期函数,那么它的导函数也是周期为T的周期函数.

例；（1）设fx是定义在R上的奇函数：f32,且对一切xR.都有fxfx2 则f25 f24 4

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（2）已知定义在R上的奇函数fx满足fxfx4且f30，则方程fx0 在(0,10)上的实根个数至少 个

5x,0x2，则f9 f7.5 （3）已知fx的周期是5且fx5x,x02 （4）设fx是R上的偶函数，它的图像关于直线x2对称。且当x2,2时， fxx21,则当x6,2时，fx

（5）（14年全国）奇函数fx的定义域为R。若fx2为偶函数，且f11, 则f8f9

（6）设gx是定义在R上，以1为周期函数，若函数fxxgx在区间0,1上的值域为2,5，则fx在区间0,3上的值域为

(7)定义在R上的可导函数fx是以4为周期的周期函数,且图象关于直线x1对称,则f5= ' 练习；（高考试题汇集）

（1） 设函数fxx1xa的图像关于直线x1对称，则a的值为 （2） 设函数fx是定义在R上的奇函数，若当x0,时，fxlgx，则满足

fx0的x取值范围

（3） 若fx满足fxfx213,若f12.则f99

x（4） 设fx为定义域在R上的奇函数，当x0时，fx22xb，则f1

（5） 已知函数yfx的周期为2，当x1,1时，fxx，那么函数yfx的

2图像与函数ylgx的图像的交点共 个

3（6） 已知fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，fxxx，

则函数yfx的图像在区间0,6上与x轴的交点的个数为

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（7） 设fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，

ax1,1x013其中a,bR,若ff,则a3b fxbx2,0x122x1（8） 已知定义域为R的函数fx在8,上为减函数，且函数yfx8为偶函数。

A;f6f7 B;f6f9 C;f7f9 D;f7f10

（9） 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在区间0,上单调递增，若实数a满

足flog2aaflog12f1，则a的取值范围

2 A;1,2 B;0, C;,2 D;0,2 22（10）(14安徽)若函数fxxR是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为

11x1x,0x12941，则ffxf

46sinx,1x2（11）（14江苏）已知fx是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3时，

fxx22x1。若函数yfxa在区间3,4上有10个零点（互不相同）， 2则实数a的取值范围是

(12)(15山东)设函数fx3x1,x1fa则满足的a的取值范围 ffa2x2,x122A.,1 B.0,1 C., D.1, 33四：函数的单调性

（ 一）；单调性定义及结论；

（1） 给定区间D上的函数fx，若对于任意的x1,x2D,当x1x2时，都有

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fx1fx2，则fx为区间D上的增函数

（2） 给定区间D上的函数fx，若对于任意的x1,x2D,当x1x2时，都有

fx1fx2，则fx为区间D上的减函数；

（3）

fx1fx20x1x2fx1fx20fx在a,b上增 x1x2fx1fx20x1x2fx1fx20fx在a,b上减， x1x2fx1fx2为函数yfx图像上任意两点x1,fx1，x1x2（4）

其几何意义是；

x1,fx1连线的斜率，斜率都大于零,yfx为增，斜率都小于零,yfx为减

（5） 函数的单调区间为定义域的子区间，求函数单调区间必须先求其定义域 （6） 由于用定义证明的单调性是充要条件，因此由fx是增（减函数）得；

fx1fx2x1x2x1x2

（7） 奇函数在其对称区间上的单调性相同：偶函数在其对称区间上的单调性相反， （8） 若函数fx为增（减函数），则fx为减（增函数）

（9） yfx为增（减函数）ygx为增（减函数）则fxgx仍为增（减）

（10） yfgx是定义在M上的函数，若fx与gx的单调性相同，则其复合函

数yfgx为增函数，若fx与gx的单调性相反，则其复合函数

yfgx为减函数，

（二）运用导数求函数的单调性分三步；

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f'x0,（1）求导数fx （2）判断fx在所给区间的正负 （3）判断'

fx0''题型一。比较大小

（1） 下列大小关系正确的是

0.30.3A;0.4330.4log4 B;0.43log30.4 4 C;log40.30.4330.4 D;log40.330.40.43

（2） 若aln2ln3ln5,b,c 则 235A;abc B;cba C;cab D;bac

ab11 （3）已知实数a,b,满足等式，下列五个关系式：10,0ba

2320,ab0 30,0ab 40,ba0 50,ba其中不能成立的式子有

A;1个 B；2个 C；3个 D；4个

（4）设0a1，且函数fxloga，则下列各式中成立的是 x1111A;f2ff, B;ff2f,

34431111C;ff2f, D;fff2,

3443（5）已知alog23.6,blog4,clog4 则a,b,c的大小关系 1c5log30.33.23.6（6） 已知a5log23.4

b5log43.6

则a,b,c的大小关系 8

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（7）设alog3,blog5,clog7，则a,b,c的大小关系

61014 (8)(15山东)设a0.60.6,b0.61.5,c1.50.6则a,b,c的大小关系 （9）（15北京）设an是等差数列.下列结论中正确的是

A.若a1a20,则a2a30 B.若a1a30，则a1a20

C.若0a1a2，则a2题型二；函数单调性的判定及求法 （1）已知a1,fxlogaa1a3 D.若a10，则a2a1a2a30

3x25x2的单调增区间是 单调减区间

（2）函数y2xx2单调减区间是

fxfx0x （3）若函数fx为奇函数，且在0,内是增函数，又f20则的解集为

A;2,00,2 B;,20,2 C;,22, D;2,02,

（4）（14新2）若函数fxkxlnx在区间1,单调递增，则k取值范围是

（5）（14湖南）若0x1x21，则

A;ex2ex1lnx2lnx1 B;ex2ex1lnx2lnx1

C;x2ex1x1ex2 D;x2ex1x1ex2

'(6) 函数fx的定义域为R，f12，对于任意xR,fx2,则fx2x4的解集为

（理）变式（15福建）若定义在R上的函数fx满足f01,其导数f'x满足

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f'xk1,则下列结论中一定错误的是

A.fk1111111 C.f D.f  B.fk1k1kkkk1k1k1'(7)已知函数fx的导函数为fx，满足xf'x2fx1,且f11，则函数x2efx的最大值为 A,0 B,e C, D,2e

2（理）(8)（15新I-12)设函数f' x是奇函数fxxR的导函数,f10,当x0时，

xf'xfx0,则使得fx0成立的x的取值范围是

A.,10,1 B.1,01, C.,11,0 D.0,11,

由此俺联想了很多；f'xgxfxg'x0yfxgx

f'xgxfxg'x0yfx

gxxfx0yfxx

e f'题型三；根据函数的单调性求参数的的值或取值范围

x（1）设a0且a0，函数fxloga 的解集

22x3有最小值，则不等式logax10

2x1x0 （2）函数fx在R上单调增，则a的取值范围 2axa2,x0ax21,x0 （3）函数fx2在,上单调；则a的取值范围 axa1e,x0

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2xa,x1（理）（4）（15北京）设函数fx

4xax2a,x1①若a1,则fx的最小值为

②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是

(5)（15安徽）函数fxax3bx2cxd的 图象如图所示，则下列结论成立的是

A.a0,b0,c0,d0 B.a0,b0,c0,d0

C.a0,b0,c0,d0 D.a0,b0,c0,d0

2xb（4）已知定义域是R的函数fxx1是奇函数。

2a22 1求a,b的值，2若对于任意的tR，不等式ft2tf2tk0恒成立，

00求k的取值范围。

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（5）设fx1312xx2ax 32210若fx在,上存在单调增区间，求a的取值范围

320当0a2时，fx在1,4上的最小值为

题型四；抽象函数的单调性及应用。 已知定义在

R

上的函数fx对任意的实数x1,x2满足关系

16，求fx在该区间上最大值。 3fx1x2fx1fx22，且x0时，都有fx2。

证明：fx在R上为增函数

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