您的当前位置:首页正文

【优选整合】苏教版高中数学 高三二轮 专题16 圆锥曲线基本问题 教案

2024-10-18 来源:威能网


第2讲 圆锥曲线的基本问题

高考定位 圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点,多为填空题.椭圆有关知识为B级要求,双曲线的有关知识为A级要求.

真 题 感 悟

x2y2

1.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线7-3=1的焦距是________. 解析 由已知,a2=7,b2=3,则c2=7+3=10,故焦距为2c=210. 答案 210

2.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为________.

解析 双曲线x2-y2=1的渐近线为x±y=0,直线x-y+1=0与渐近线x-y=0平行,故|1-0|22两平行线的距离d=2=.由点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,得c≤

2,1+1222

故c的最大值为2. 2

答案 2 x22

3.(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线3-y=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是________.

x22

解析 由双曲线方程3-y=1知a=3,b=1,c=2,所以渐近线方程为y=

133333

±x=±3x,准线方程为x=2,所以点P,Q纵坐标的绝对值为|y0|=±×=2,又

323113

F1F2=2c=4.所以S△F1PF2=2F1F2·|y0|=2×4×2=3,则S四边形F1PF2Q=2S△F1PF2=23.

答案 23

4.(2016·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭

x2y2

圆a2+b2=

1

b

1(a>b>0)的右焦点,直线y=2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.

解析 联立方程组b

y=2,

x2y2a2+b2=1,

解得B,C两点坐标为

33bb

B-a,,Ca,,又F(c,0),

22223b→3ab→=-a-c,,FC, 则FB=-c,

2222→→

又由∠BFC=90°,可得FB·FC=0,代入坐标可得: 32b2

c-4a+4=0,①

2

c22

又因为b=a-c.代入①式可化简为a2=3,

c26

则椭圆离心率为e=a=3=3.

6

答案 3 2

2

2

考 点 整 合

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆:MF1+MF2=2a(2a>F1F2); (2)双曲线:|MF1-MF2|=2a(2ax2y2y2x2

(1)椭圆:a2+b2=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或a2+b2=1(a>b>0)(焦点在y轴上);

x2y2y2x2

(2)双曲线:a2-b2=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或a2-b2=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上). 3.圆锥曲线的几何性质

b21-a2; cb2(2)双曲线:①e=a=1+a2. ba

②渐近线方程:y=±x或y=±abx. c

(1)椭圆:e=a=4.有关弦长问题

有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.

2

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长P1P2= 1+k2|x2-x1|或P1P2=(2)弦的中点问题

有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运算.

热点一 圆锥曲线的定义和标准方程

x2y2

【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷改编)已知双曲线C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程5x2y2

为y=2x,且与椭圆12+3=1有公共焦点,则C的方程为________.

x2y2

(2)(2016·北京卷改编)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a=________;b=________.

b5

解析 (1)由题设知a=2,①

x2y2

又由椭圆12+3=1与双曲线有公共焦点, 易知a2+b2=c2=9,②

x2y2

由①②解得a=2,b=5,则双曲线C的方程为4-5=1.

b

(2)由题意知,渐近线方程为y=-2x,由双曲线的标准方程以及性质可知a=2,由c=5,c2=a2+b2,可得b=2,a=1. x2y2

答案 (1)4-5=1 (2)1 2

探究提高 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义要求PF1+PF2>F1F2,双曲线的定义中要求|PF1-PF2|<F1F2.(2)注意数形结合,画出合理草图.

x2y2

【训练1】 (1)若双曲线E:9-16=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且PF1=3,则PF2等于________.

x2y2(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程2-2=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的

m+n3m-n距离为4,则n的取值范围是________.

3

1

1+k2|y2-y1|.

解析 (1)由双曲线定义|PF2-PF1|=2a,∵PF1=3,∴P在左支上,∵a=3, ∴PF2-PF1=6,∴PF2=9.

x2y2

(2)∵方程2-2=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2m+n3m-n双曲线性质,知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距),∴焦距2c=2×2|m|=4,解得|m|=1,∴-1答案 (1)9 (2)(-1,3) 热点二 圆锥曲线的几何性质

x2y2

【例2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的

ab左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为________.

x2y2

(2)(2016·北京卷)双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=________.

amam解析 (1)设M(-c,m),则E 0,a-c,OE的中点为D,则D 0,2(a-c),又B,



mm1

D,M三点共线,所以=,a=3c,e=3.

2(a-c)a+c

(2)取B为双曲线右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方πbπ

2,∴c=OB=22,又∠AOB=4,∴a=tan4=1,即a=b.又=8,∴a=2.

1

答案 (1)3 (2)2

探究提高 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.

x2y2

【训练2】 (1)(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线m-2=1的离心率

m+4为5,则m的值为________.

x2y2

(2)(2016·山东卷)已知双曲线E:a2-b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2AB=3BC,则E的离心率是________.

4

形且边长为a2+b2=c2

c2m+m+4

解析 (1)∵c=m+m+4,∴e=a2==5,

m

2

2

2

2

∴m2-4m+4=0,∴m=2.

2b22b2

(2)由已知得AB=a,BC=2c,∴2×a=3×2c,又∵b2=c2-a2,整理得:2c2-3ac-cc2

2a=0,两边同除以a得2a-3a-2=0,即2e2-3e-2=0, 

2

2

1

解得e=2或e=-2(舍去). 答案 (1)2 (2)2

热点三 有关圆锥曲线的弦长问题

【例3】 (2015·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOyx2y22

圆2+2=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线lab2

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

c2a2

解 (1)由题意,得a=2且c+c=3,解得a=2,c=1, 则b=1,

x22

所以椭圆的标准方程为2+y=1.

(2)当AB⊥x轴时,AB=2,又CP=3,不合题意. 当AB与x轴不垂直时,

设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将AB的方程代入椭圆方程, 得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,

-k2k2±2(1+k2)2k2

则x1,2=,C的坐标为2,2,

1+2k21+2k1+2k且AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2 =(1+k2)(x2-x1)2 22(1+k2)

=. 1+2k2

5

中,已知椭的距离为3.

若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k≠0,故直线PC的方程为

2k2k1y+=-kx-1+2k2, 1+2k25k2+2

, 则P点的坐标为-2,

k(1+2k2)2(3k2+1)1+k2从而PC=.因为PC=2AB,

|k|(1+2k2)2(3k2+1)1+k242(1+k2)所以=,

|k|(1+2k2)1+2k2解得k=±1.

此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.

探究提高 (1)涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ≥0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.

x2y2

【训练3】 设椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交→=2FB→.

于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,AF

(1)求椭圆C的离心率;

15

(2)如果AB=4,求椭圆C的方程.

解 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0. (1)直线l的方程为y=3(x-c),其中c=a2-b2. y=3(x-c),

联立x2y2得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.

2+2=1,ab-3b2(c+2a)-3b2(c-2a)解得y1=,y2=.

3a2+b23a2+b2

6

→→

因为AF=2FB,所以-y1=2y2, 3b2(c+2a)-3b2(c-2a)即=2·,

3a2+b23a2+b2c2得离心率e=a=3. (2)因为AB=

1

1+3|y2-y1|,

243ab215c25所以·2=,由=,得b=24a33a, 33a+b515

所以4a=4,得a=3,b=5,

x2y2

故椭圆C的方程为9+5=1.

1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不等的常数,A>B>0时,表示焦点在y轴上的椭圆;B>A>0时,表示焦点在x轴上的椭圆;AB<0时表示双曲线.

2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义中的定值是标准方程的基础.

α

3.在椭圆焦点三角形PF1F2中,∠F1PF2=α,则S△PF1F2=c|y0|=b2·tan2.

c

4.求双曲线、椭圆的离心率的方法:法一:直接求出a,c,计算e=a;法二:根据已知

c

条件确定a,b,c的等量关系,然后把b用a,c代换,求a. 5.通径:过双曲线、椭圆的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通径长为2b2

a,过椭圆焦点的弦中通径最短.

7

因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容