浅谈矩阵特征值的应用

浅谈矩阵特征值的应用

摘要:矩阵特征值在很多领域都有广泛应用, 本文主要研究了其中两方面的应用：第一是通过Fibonacci数列通项和常染色体遗传问题建模研究特征值在建模中的应用，第二是通过特征值在一阶线性微分方程组的求解问题研究特征值在微分方程中应用.

关键字:Fibonacci数列,特征值,特征向量,特征多项式.

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Abstract:The theory of matrix eigenvalue has a wide range of applications in many fields. This paper will mainly probe into the applications of two of them. The first one is the application of eigenvalue in model by building the model of formula of term of the FibonacciFibonacci sequence and autosomal inheritance. The second one is the application of eigenvalue in differential equation by solving the problem of first-order linear differential equations.

Key words:fibonacci sequence,eigenvalue ,eigenvector ,characteristic polynomial

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目录

1 引言………………………………………………………4 2 矩阵特征值的相关概念…………………………………4 3 矩阵特征值的应用………………………………………4 3.1 矩阵特征值在建模中的应用…………………………4 3.1.1 Fibonacci数列通项…………………………………4 3.1.2 常染色体遗传问题…………………………………6 3.2 矩阵特征值在一阶线性常系数方程组中的应用……9 3.2.1 矩阵A特征根均为单根的情形……………………9 3.2.2 矩阵A特征根有重根的情形………………………12 结论…………………………………………………………14 参考文献……………………………………………………15 致谢…………………………………………………………16

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1 引言

矩阵特征值是高等数学的重要内容,在很多领域都有广泛应用,尤其在科学研究与工程设计的计算工程之中,灵活运用矩阵特征值能够使很多复杂问题简化.单纯的求解矩阵特征值是一件比较容易的事,但将特征值应用到其它领域就并非那么简单,也正因为此激发了本作者对矩阵特征值应用的兴趣.本文作者将简单介绍矩阵特征值在线性法建模和微分方程中的应用,通过一些实例让大家体会特征值在建模与微分方程求解中所起的作用.

2 矩阵特征值的相关概念

定义1设是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数

0,存在一个非零向量,使得

0.

那么0称为的一个特征值,而称为的属于特征值0的一个特征向量。

定义2 设A是数域P上一n级矩阵,是一个数,矩阵EA的行列式

a11EA=

a21an1a12an2a1na2n

a22ann称为A的特征多项式,其中矩阵A的特征多项式的根称为A的特征值.

3 矩阵特征值的应用

3.1 矩阵特征值在建模中的应用

在数学模型的建立过程中可能伴随着比较复杂的高次计算,而矩阵的高次计算会给我们带来很多麻烦,但我们可利用矩阵特征值及其特征值向量可将较复杂的矩阵化为简单的对角阵,从而简化计算.

3.1.1 Fibonacci数列通项

在1202年,斐波那契在一本书中提出一个问题:如果一对兔子出生一个月后开始繁殖,每个月生出一对后代,现有一对新生兔子,假定兔子只繁殖,没有死亡,

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问第K月月初会有多少兔子?

以”对”为单位,每月兔子组队数构成一个数列,这便是著名的Fibonacci数

F00,F11,Fk2Fk1Fk. 3.1.1

列Fk:0,1,2,3,5,,Fk,,函数数列满足条件

试求出通项Fk.

Fk2Fk1Fk解 由Fibonacci数列满足3.1.1式可设 . (*)

FFk1k1Fk1F1111令A=10,k=F,0=0,则(*)可写成矩阵形式 F=k0k1=Ak k1,2,3.

由3.1.2式递归可得

3.1.2

k=Ak0 k1,2,3.

于是求Fk的问题归结为求k即求Ak的问题.由

3.1.3

EA=

得A的特征值

1=

112=1

11515,2=. 3.1.4 22对应于1,2的特征向量分别为:

12X1=1,X2=1.

1设P=1

211,则=P112121.

1于是

1kA=P0k01P k21k12k1kk21

1 =

1212k121k1. kk1221所以

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Fk1k==AkFk10 1k12k1kk. 3.1.5

211 =

12将3.1.4式代入3.1.5式得:

kk11515 . Fk=5223.1.6

3.1.2 常染色体遗传问题

在常染色体遗传中,后代是在每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型,如果所考察的遗传特征是由两个基因A和a控制的,那么就可能有三种可能的基因对,分别称之为AA,Aa与aa.当一个亲体的基因型为Aa,另一个亲体的基因型也是Aa时,注意到后代均可以从Aa中等可能地得到基因A和a,于是运用概率中”对于互斥事件,概率具有可加性”以及”对于独立事件,概率具有可乘性”知

111P后代基因型为AA==,

22411111P后代基因型为Aa,

22222111P后代基因型为aa.

224 一般地,经过简单的概率运算,可以求得如表1所示的双亲基因型的结合及其后代后代基因型的概率分布表.

后代(第n代)基因型 表1 双亲体基因型及其后代基因型的概率分布 父体-母体(第n1代)基因型 AAAA 1 0 0 AAAa 1 21 20 AAaa 0 1 0 AaAa 1 41 21 4Aaaa 0 aaaa 0 0 1 AA Aa aa

1 21 2现有一种植物基因型为AA,Aa,aa,研究人员采用aa型植物与每种基因型

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植物相结合的方案,培育植物后代,求经过若干年后,这种植物任一代的三种基因型AA,Aa,aa的概率分布.

解 记an,bn,cn分别表示第n代的植物中基因型为AA,Aa,aa的植物所占的百分率,且记xn为第n代植物的基因分布:

xn=an,bn,cn, n0,1,2,,

T这里

x0a0,b0,c0

T表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布),满足a0b0c01; 若以上述百分率来估计概率,则运用全概率公式: 对于AA型,有an0an10bn10cn10,

11对于Aa型,有bn1an1bn10cn1an1bn1, nN,

2211 对于aa型,有cn0an1bn11cn1bn1cn1.

22显然

anbncnan1bn1cn1.

所以

anbncna0b0c01.

将所得到的关系式联立,有

an01bnan1bn1. 21cnbncn2于是若记

01M0010, 21120便得到第n代基因型分布的数学模型

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xnMxn1, nN.

进而有 xnM2xn2Mn1x1Mnx0, 即

xnMnx0.

它表明到第n代基因型分布可由初始分布和矩阵M确定. 对于矩阵M,由

0120011

2EM10121得矩阵M的三个特征根为

10,2,31.

从而得到特征值10,21,31对应的特征向量为 21002,1,0. 111120000011令D00,P210,运用初等变换计算P1,有

2100111P1001210=P. 111进而有

annn0n10bnxMxPDPx cn00001n1 21002111008

0100a00210b0 c11101淮阴师范学院毕业论文(设计)

00n1n1122n1n1111220a00b0. c01所以有(注意到a0b0c01)

an0n1n11bna0b0 nN. 22n1n11cn12a02b0 评注 以上两例都是利用矩阵理论来建模,将复杂的问题转化为求矩阵A的高次方问题,直接求矩阵的高次方比较麻烦,我们利用矩阵特征值及其特征向量将矩阵转化为对角阵再求其高次幂就会非常方便.

3.2 矩阵特征值在一阶线性常系数微分方程组中的应用

矩阵特征值在微分方程中也有广泛的应用,尤其在微分方程的求解方面有重

要的作用,接下来我们将从矩阵特征值在求解一阶线性微分方程组中的应用来研究矩阵特征值的作用.

一阶线性齐次常系数微分方程组

dy1dta11y1a12y2...a1nyndy2a21y1a22y2...a2nyn . dtdynan1an2...annyndt3.2.1

令

Y=y1,y2,...,ynTdydYdy1dy2,,...,n. ,

dtdtdtdtTA=aij是方程3.2.1的系数矩阵,则3.2.1写作矩阵形式为:

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dYAY. 3.2.2 dt3.2.1 矩阵A的特征根均是单根的情形

令3.2.1的解为:

Y=exX.

即

y1x1y2xx2=e. yxnn

当矩阵A可对角化时,由A的n个特征值1,2, … ,n及相应的n个线性无

关的特征向量X1,X2, … ,Xn,可求得3.2.2的n个线性无关的特解(即3.2.1的基础解系)

e1tX1,e2tX2,,entXn. 3.2.3

它们的线性组合

Y=c1e1tX1+c2e2tX2+ … +cnentXn 3.2.4

即为方程组3.2.1的一般解(其中c1,c2,...,cn为任意常数).其一般解3.2.4式写成矩阵形式为:

e1tY=X1,X2,,Xn记

e2tc1c2. 3.2.5

ntecnP=X1,X2,,Xn,diag(1,2,...,n)=P1AP.

令

e1te=e2tc1c2,=C.

cnten则方程组3.2.1一般解3.2.5式可写为:

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Y=PeC. 3.2.6

例1 求一阶常系数齐次线性方程组

51dy1yy21dt62 dy112y1y244dt的通解.

解 令

dy1y1dYdtY=y，dtdy22dt5 , A=61412. 14则方程组的矩阵形式为

dYAY. dt由特征方程

EA14561214=(1)(+

1) 12得矩阵A的特征值为1和11,从而得特征值1和对应的特征向量为 121232,=X1=X23. 1令

32P=13. 由方程3.2.1的通解表达式YPC得:

te32Y=131te12c1c. 2即

1tt12y13c1e2c2e . 1tycet3ce1212211

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评注 求解一阶常系数方程组的关键在求方程组的基本解组,当方程组

3.2.1的系数矩阵A特征根均是单根时,其基本组的求解问题,就归结为求这些

特征根所对应的特征向量.

3.2.2 矩阵A特征值有重根的情形

引理12 设1,2,,m是矩阵A的m个不同的特征根,它们的重数分别为

k1,k2,,km.那么,对于每一个i,方程组3.2.1有ki个形如

Y1xP1xeix,Y2xP2xeix,,YkixPkixeix

的线性无关解,这里向量Pjxj1,2,,kj的每一个分量为x的次数不高于

ki1的多项式.取遍所有的ii1,2,,m就得到3.2.1的基本解组.

如果i是3.2.1的ki重特征根,则方程组3.2.1有ki个形如

YxR0R1xRki1xki1eix

的线性无关解,其中向量R0,R1,,Rki1由矩阵方程

AiER0R1AiER12R2 AERiki2ki1Rki1AiEkiR00所确定.取遍所有的ii1,2,,m,则得到3.2.1的一个基本解组. dx1dtx2x3dx 例2 求解方程组2x1x3.

dtdx3xx12dt解 系数矩阵为

011A101.

110由矩阵特征方程210,得特征根为12,231.12对应的

2解是

1Y1xe2x1.

112

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下面求231所对应的两个线性无关解.由引理2,其解形如

YxR0R1xex,

并且R0,R1满足

AER0R1. 2AER00由于

111333AE111,AE2333.

111333那么由AER00可解出两个线性无关量:

2111,0. 01将上述两个向量分别代入AER0R1中,均得到R1为零向量.于是

231对应的两个线性无关解是:

11xxY2xe1,Y3xe0.

10所以方程组的通解为:

111YxC1e2x1C2ex1C3ex0.

101 评注 求解一阶线性常系数方程组的基本解组,当矩阵特征值有重根时,我

们用引理2来求解.

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结论

矩阵特征值是高等数学的重要类容,在很多领域都有广泛应用,本文研究了其在线性代数法建模与一阶线性微分方程组中的应用.通过以上实例,我们得出矩阵特征值无论是在建模还是在微分方程中的应用,其主要作用是将矩阵对角化,进而可以对矩阵进行高次运算,从而简化计算的复杂度.同时,也正由于矩阵特征值这一特性,使其在工程设计,动力学等很多方面都得以广泛应用.

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参考文献

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