全国高考1卷理科数学试题及答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 第I卷

一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A{1,2,3,4,5}， B{(x,y)|xA,yA,xyA}， 则B中所含元素的个数为

（A） 3 （B） 6 （C） 8 （D） 10

（2）将2名教师， 4名学生分成2个小组， 分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小

组有1名教师和2名学生组成， 不同的安排方案共有

（A） 12种 （B） 10种 （C） 9种 （D）8种 （3）下面是关于复数z2的四个命题 1ip1：|z|2 p2: z22i p3:z的共轭复数为1i p4 ：z的虚部为1

其中真命题为

(A ) p2 , p3 （B） p1 , p2 （C） p2， p4 （D） p3, p4

x2y2（4）设F1,F2是椭圆E:221(ab0)的左、右焦点， P为

ab直线x3a上的一点， F2PF1是底角为30的等腰三角形， 则 2E的离心率为

1234(A) (B) (C) (D)

2345

（5）已知{an}为等比数列， a4a72， a5a68， 则a1a10

(A) 7 (B) 5 (C) 5 (D) 7 （6）如果执行右边的程序图， 输入正整数N(N2)

和实数a1,a2,...,aN输入A,B,则 (A)AB为a1,a2,...,aN的和 （B）

AB为a1,a2,...,aN的算式平均数 2第 1 页 共 13 页

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（C）A和B分别是a1,a2,...,aN中最大的数和最小的数 （D）A和B分别是a1,a2,...,aN中最小的数和最大的数

（7）如图， 网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某

几何体的三视图， 则此几何体的体积为

（A）6 (B)9 （C）12 （D）18 （8）已知0， 函数f(x)sin(x)在,单调递减， 则的取值范围 4215131(A) [,] (B) [,] (C) (0,] (D)(0,2]

24242

（9）等轴双曲线C的中心在原点， 焦点在x轴上， C与抛物线y16x的准线交于A,B两点，

2 |AB|43， 则C的

实轴长为

（A）2 （B）22 （C）4 （D）8 （10）已知函数f(x)1， 则yf(x)的图像大致为

ln(x1)x

（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上， ABC是边长为1的正三角形， SC为O的直径， 且SC2， 则此棱锥的体积为

(A)

2322 (B) (C) (D) 6632第 2 页 共 13 页

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（12）设点P在曲线y1xe上， 点Q在曲线yln(2x)上， 则|PQ|的最小值为 2 (A)1ln2 (B)2(1ln2) (C)1ln2 (D)2(1ln2)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题， 考试依据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分。

（13）已知向量a,b夹角为45°， 且|a|1,|2ab|10， 则b____________.

xy1,xy3,（14）设x,y满足约束条件则zx2y的取值范围为__________.

x0,y0,（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成， 元件1或元件2正常工作， 且元件

正常工作， 则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布

N(1000,502)， 且各个元件能否正常工作互相独立， 那么该部件的使用寿命超过1000小

时的概率为_________________.

n(16)数列an满足an1(1)an2n1， 则an的前60项和为________.

三、解答题：解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边， acosC3asinCbc0. （Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a2， ABC的面积为3， 求b,c.

（18）（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花， 然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完， 剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花， 求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，

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nN）的函数解析式;

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝）， 整理得下表： 日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花， X表示当天的利润（单位：元）， 求X的分布列、数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花， 你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

（19）（本小题满分12分） 如图， 直三棱柱ABCA1B1C1中， ACBC棱AA1的中点， DC1BD。 （1） 证明：DC1BC；

（2） 求二面角A1BDC1 的大小.

（20）（本小题满分12分）

21AA1， D是2A1C1B1DCAB设抛物线C：x2py(p0)的焦点为F， 准线为l， A为C上一点， 已知以F为圆心， FA为半径的圆F交l于B,D两点.

（1） 若BFD90， ABD的面积为42， 求p的值及圆F的方程；

（2） 若A,B,F三点在同一直线m上， 直线n与m平行， 且n与C之有一个公共点， 求坐标

原点到m,n距离的比值.

（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)满足f(x)f(1)ex11f(0)xx2.

2（1） 求f(x)的解析式及单调区间； （2） 若f(x)12xaxb， 求(a1)b的最大值. 2ADE

请考生在第22、23、24题中任选一道作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲 如图， D,E分别为ABC边AB,AC的中点， 直线DE交

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BC全国高考1卷理科数学试题及答案

ABC的外接圆于F,G两点， 若CF//AB， 证明：

（Ⅰ）CDBC； （Ⅱ）BCD∽GBD

（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

x2cosC已知曲线1的参数方程式（为参数）， 以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴

y3sin建立坐标系， 曲线C2的极坐标方程式2.正方形ABCD的顶点都在C2上， 且A,B,C,D依逆时针次序排列， 点Ａ的极坐标为2,（Ⅰ）求点A,B,C,D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为C1上任意一点， 求|PA||PB||PC||PD|的取值范围.

（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数f(x)|xa||x2|

（Ⅰ）当a3时， 求不等式f(x)3的解集； （2）若f(x)|x4|的解集包含[1,2]求a的取值范围.

2222. 2第 5 页 共 13 页

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2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一．选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 在每小题给同的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）【解析】选D x5,y1,2,3,4， x4,y1,2,3， x3,y1,2， x2,y1共10个 （2）【解析】选A

12 甲地由1名教师和2名学生：C2C412种

（3）【解析】选C z22(1i)1i 1i(1i)(1i) p1:z（4）【解析】选C

2， p2:z22i， p3:z的共轭复数为1i， p4:z的虚部为1

32c3 a4 F2PF1是底角为30的等腰三角形PF2F2F12(ac)2ce（5）【解析】选D

a4a72， a5a6a4a78a44,a72或a42,a74 a44,a72a18,a101a1a107 a42,a74a108,a11a1a107

（6）【解析】选C （7）【解析】选B

该几何体是三棱锥， 底面是俯视图， 高为3 此几何体的体积为V（8）【解析】选C

设C:xya(a0)交y16x的准线l:x4于A(4,23)B(4,23) 得：a2(4)2(23)24a22a4 （9）【解析】选A

222116339 322592(x)[,] 不合题意 排除(D)

444351(x)[,] 合题意 排除(B)(C)

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3)2， (x)[,][,] 2424422315 得：,

2424224（10）【解析】选B

另：(x 1xg(x)01x0,g(x)0x0g(x)g(0)0g(x)ln(1x)xg(x) 得：x0或1x0均有f(x)0 排除A,C,D （11）【解析】选A

ABC的外接圆的半径r36， 点O到面ABC的距离dR2r2 33 SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2d26 3 此棱锥的体积为V113262 SABC2d33436 另：V13排除B,C,D SABC2R361xe与函数yln(2x)互为反函数， 图象关于yx对称 2（12）【解析】选A 函数y1xex112 函数yex上的点P(x,ex)到直线yx的距离为d 222 设函数g(x)1x11ln2 exg(x)ex1g(x)min1ln2dmin222 由图象关于yx对称得：PQ最小值为2dmin

二．填空题：本大题共4小题， 每小题5分。 （13）【解析】b_____32

2(1ln2)

2ab10(2ab)104b4bcos4510b32

(14) 【解析】zx2y的取值范围为 [3,3]

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约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)

则zx2y[3,3]

（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 3 82 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,50) 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p1 23 42超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P11(1p) 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2p1p（16）【解析】{an}的前60项和为 1830 3 8 可证明：bn1a4n1a4n2a4n3a4n4a4n3a4n2a4n2a4n16bn16 b1a1a2a3a410S1510151514161830 2三、解答题：解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。 （17）【解析】（1）由正弦定理得：

acosC3asinCbc0sinAcosC3sinAsinCsinBsinC sinAcosC3sinAsinCsin(aC)sinC 3sinAcosA1sin(A30)12

A3030A60 （2）S1bcsinA3bc4 2 a2b2c22bccosAbc4 解得：bc2（l fx lby）

18.【解析】（1）当n16时， y16(105)80 当n15时， y5n5(16n)10n80

得：y10n80(n15)(nN)

(n16)80 （2）（i）X可取60， 70， 80

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P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7 X的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 EX600.1700.2800.776 DX1620.1620.2420.744 （ii）购进17枝时， 当天的利润为

y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4

76.476 得：应购进17枝

（19）【解析】（1）在RtDAC中， ADAC 得：ADC45

同理：A1DC145CDC190 得：DC1DC,DC1BDDC1面BCDDC1BC （2）DC1BC,CC1BCBC面ACC1A1BCAC

取A1B1的中点O， 过点O作OHBD于点H， 连接C1O,C1H AC11B1C1C1OA1B1， 面A1B1C1面A1BDC1O面A1BD OHBDC1HBD 得：点H与点D重合 且C1DO是二面角A1BDC1的平面角 设ACa， 则C1O2a， C1D2a2C1OC1DO30 2 既二面角A1BDC1的大小为30

（20）【解析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角， 斜边BD2p

点A到准线l的距离dFAFB2p SABD421BDd42p2 2 圆F的方程为x2(y1)28

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2x0p （2）由对称性设A(x0,)(x00)， 则F(0,)

2p222x0x0p2)px03p2 点A,B关于点F对称得：B(x0,p2p2p23pp3p22xpx3y3p0 得：A(3p,)， 直线m:y2223px2x333pp x2pyyyxp切点P(,)

362pp332 直线n:yp33p3(x)x3yp0 63363p3p:3。 2612xf(x)f(1)ex1f(0)x 2坐标原点到m,n距离的比值为（21）【解析】（1）f(x)f(1)ex1f(0)x 令x1得：f(0)1 f(x)f(1)ex1x 得：f(x)exx

12xf(0)f(1)e11f(1)e 212xg(x)f(x)ex1x 2 g(x)e10yg(x)在xR上单调递增 f(x)0f(0)x0,f(x)0f(0)x0 得：f(x)的解析式为f(x)exxx12x 2 且单调递增区间为(0,)， 单调递减区间为(,0) （2）f(x)12xaxbh(x)ex(a1)xb0得h(x)ex(a1) 2 ①当a10时， h(x)0yh(x)在xR上单调递增 x时， h(x)与h(x)0矛盾

②当a10时， h(x)0xln(a1),h(x)0xln(a1)

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全国高考1卷理科数学试题及答案

得：当xln(a1)时， h(x)min(a1)(a1)ln(a1)b0 (a1)b(a1)(a1)ln(a1)(a10) 令F(x)xxlnx(x0)；则F(x)x(12lnx) F(x)00x 当x 当a2222e,F(x)0xe

e时， F(x)maxe 2e 2e1,be时， (a1)b的最大值为

请考生在第22,23,24题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

（22）【解析】（1）CF//AB， DF//BCCF//BD//ADCDBF CF//ABAFBCBCCD （2）BC//GFBGFCBD

BC//GFGDEBGDDBCBDCBCD

（23）【解析】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,GBD

3),(2,5411),(2,),(2,) 636 点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)

x02cos(为参数) （2）设P(x0,y0)；则y3sin0 tPAPBPCPD4x24y240 5620sin[56,76]（lfxlby）

（24）【解析】（1）当a3时， f(x)3x3x23

22222x2x32x3 或或

3x2x33xx23x3x23 x1或x4

（2）原命题f(x)x4在[1,2]上恒成立

xa2x4x在[1,2]上恒成立

2xa2x在[1,2]上恒成立

3a0

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