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目标：在本章，我们简要地研究另一种非欧几里德几何，就是球面几何。

在这里，我们只研究球体表面而不是实心封闭的球。理解球面上的一个点比较简单，但是如何理解一条直线呢？试想在球面上的两点，这两点间的最短距离不在球面上。然而，在球面上存在最短距离，这就是大圆的一个部分（这个大圆把球面平均分为两份）。赤道和地球上的经线就是这些大圆。研究球面几何的诀窍就是把自己想象成一个生活在球体内部，一点儿也不关心外面世界（二维）的微小的生灵（如果你愿意的话可以是一只小虫子）。球面几何是一个非常近似于欧几里德几何的微几何，但是当此几何在球面的大部分领域时，其表现的大不相同。

试想球面三角形ΔABC，记ΔABC的补也是球面上的一个三角形。

CAB

图5.1：一个球面三角形

球面几何的假设：

排除那些对径点，这种情况下就会有很多这样的 1 在特定直线上的两点，

点在直线上。

2 有一个特定的长度C，如果使得一条直线延伸至长度C，它们重合。这个长度C就是球体的周长。因此，直线是无限的，但也是仍然有限。

3 以任意中心和半径都可以绘出一个圆，倘若半径小于c。注意，圆的周

2长随着半径的增加而增加直到半径等于c，当半径大于c， 圆的半径

44随半径缩小而缩小直到缩小成半径为c的一个点。 24 所有直角都是相等的。这是一个关于空间统一性的命题，球面也有此性质。一个真命题有关空间统一性定理就是“边角边”（SAS）这在欧几里德几何和球面几何（在球面几何上的微何）上是成立的，但在足球上

的几何则相反。

5 所有线都满足以下两点： 满足：

欧几里德几何中的一些命题，在微几何中成立，但在宏观几何中不成立。例如。命题1应改为诸如：“小于一定长度的直线，以该直线为一边存在一个等边三角形，但如果小于这个长度就不存在这个三角形了。”下列的练习就要求你决定这个长度。

作业5.0.1

1 就圆的周长C而言，球面几何上最大可能的等边三角形的边长是多少？用图形解释为什么。得出这个最大的等边三角形，它有什么奇怪的地方。画出一个缩略图。

另一个命题，从欧几里得几何证明看，它在微几何的球面几何里是成立的，但在宏观几何里则不成立，也就是命题16：“三角形的一个外角大于任意一个内对角”。

2 在球面几何中下面哪些欧几里得命题是正确的？ （一）命题4：边角边同余定理。

（二）命题5：等腰三角形的两底角相等。 （三）命题8：边边边同余定理。

（四）命题17：一个三角形的两个内角之和始终小于180◦ （五）命题26：角边角同余定理。

（六）命题27：内错角相等，两直线平行。

（七）命题48：在一个直角三角形中，斜边的平方等于其他两边的平方和。

面积和过剩：

测量欧几里德几何与球面几何的差距，最定量的结果是：

定理5.0.1 在一个半径为R的球面上，如果一个三角形的面积为A，内角和为S，则

2AR(S180)180公式中的S -180被称为三角形的过剩。根据定理5.0.1，面积/过剩在

所有三角形中都相等，等于R2。

180定理5.0.1的推论 三角形的内角和相等当且仅当它们的面积相等。特别指出没

有“相似不全等的三角形”存在。因此在球面几何中，角角角定理是成立的。

证明:定义一个球面上两个大圆半弧所组成的扇形角度θ，它同样在半球上成立。



C1C2图5.2：一个扇形角度θ

定义球面度为一个1度的半月形的面积的一半。注意：一个为度半月形的面积为2*球面度和球体的面积为720球面度。现在我们将计算出三角形ΔABC的面度角α，β，γ。

请注意，720球面度=2*S（ΔABC的）+2*（180-α）+2·（180 -β）+2·（180-γ）。因此，S（ΔABC的）=（α+β+γ-180）球面度。但是球体的表面积为4R2。

R2R2因此一个球面度和S（ABC）的=(S180)，其中S=α+β+γ

180180作业5.0.2

1 在球面几何上，三角形ABC中，D是BC边上除B和C外的点，如果三角形ABD的内角和为181°，三角形ACD的内角和是182°，那么三角形ABC的内角和为多少？给出证明!

2 给出半径为R的球面上四边形的内角和与面积的推导公式。

3 球面上的等边ΔABC的过剩等于3180，如果L，M和N分别是ΔABC三边的中点，证明： 并且LMN， 和ΔAMN过剩等于。

B

MLANC图5.3：作业第3题

4 一位摄影师去承担狩猎。从营地，他/她向南走一英里路，然后向东一英里，然后涉猎了一头熊，后又行了一英里多，又回到了营地。问，熊是什么颜色？

参考书目

《平面与球面几何的体验》，普伦蒂斯厅，新泽西州，1 戴维W亨德森，1996年。 《自然和数学的力量》，普林斯顿大学学报，sity出版社，新泽2 唐纳德戴维斯，

西州，1993年。

《高校几何一个发现方法》，哈珀柯林斯，1994年。 3 大卫三凯，

《几何道路》，Prentice Hall出版社，新Jeresy， 4 欧共体华莱士＆科幻以西，

1992。