二阶常系数线性微分方程的解法

数学科学学院 信息与计算科学

指导老师

摘要：在线性微分方程中，若未知函数与未知函数各阶导数的系数都是常数，则称它为常系数线性微分方程，他在工程技术中经常用到。下面主要讨论二阶常系数线性微分方程的解法，所用方法可以推广到一般高阶常系数线性微分方程，但在这里我们不做过多的描述。 关键词：二阶，常系数，奇次，非奇次，特征方程，特征根，通解。

1.二阶常系数线性微分方程 1.1二阶常系数次齐线性微分方程

1.2二阶常系数非齐次线性微分方程 正文：

1.1常系数齐次线性微分方程

为了说明问题简单起见，先来考虑二阶常系数线性方程

'''yayby0， （1）

x为待定参数。其中a,b为常数.我们推测，方程有形如e的指数解，于是以ye x代入方程（1）进行试探，得出(2ab)ex0。因e x0，故ye x是方程（1）的解的充要条件是，为二次方程

2ab0， （2）

的根。有鉴于此，称（2）为方程(1)的特征方程，而称（2）的根为特征根。设是方程（2）的两个根，下面分三种情况进行讨论讨论

1.1.1 【 改为编号（1），因为这不是标题二是分情况讨论】 1,2是互异实根，

则e1x与e2x是方程（1）的两个线性无关的解，于是（1）的通解为（顶到左端）yc1e1xc2e2x.

1.1. 2 【改为（2）】 12是二重实根，则y1ex是方程（1）的一个解。

1,2今用降阶法求出另一特解。作特解uv'(yex)，推出u'(a2)u0。因是重根，故必a20,从而u'0.取u1,既得方程（1）的特解y2xex。于是（1）的通解为y(c1c2x)ex.

1.1.3 【改为（3）】 设1i与2i是一对共轭复根，（该行要写满）

i带入(代入)方程得22ab30.

（退后两个汉字距离）利用以上等式容易验明y1excosx与y2exsinx都是方程（1）的解。且因

y1与y2不成比例，故方程（1）的通解为

yex(c1cosxc2sinx).(公式要居中)

我们由以上讨论结果可以得到下面的图表 特征方程2ab0的根 d2ydy微分方程2aby0的通解 dxdxyc1e1xc2e2x有不相等的实根12 有相等的实根 有共轭复根1i与2i

d2ydy例1 解方程223y0.

dxdx y(c1c2x)ex. yex(c1cosxc2sinx) 解：特征方程为2230,即（-3）（+1）=0，它的两个根是

13，21，所以方程的通解为yc1e3xc2e1x. 注：这是方程有两个不相等的实根，解法如上面所叙述。

d2ydydy例2 解方程244y0,|x02,y|x00.

dxdxdx20，它有两个相等的实根：解：特征方程为2440即（-2）（去掉）

122，所以方程的通解为yc1e2xc2xe2x.

以条件y|x00代入得c10,既有yc2xe2x，再以条件于是所求的特解为

y2xe2x。（。改为.）

dy|x02,代入得c22，dx注：这是方程有两个相等的实根，解法如上面所叙述。

d2ydy例3 解方程2413y0.

dxdx解：特征方程为24130。(公式后用.)它的根为23i，所以方程的通解为

ye2x(c1cos3xc2sin3x).

注：这是方程有共轭复根，解法如上面所叙述。

(缩进两个汉字的距离)前面我们说过以上（如上所述）求解常系数线性微分方程的方法可以推广到一般高阶常系数线性微分方程。

（0）=2，y'(0)0，y''(0)1例4 求方程y'''y''2y0的通解及满足初值条件y的特解。

解：首先求特征根。因

322(31)(21)

(1)(21)(1)(1) (1)(222)

2(1)(1)1

故特征根为11,2,31i,于是原方程的通解为yc1exex(c2cosxc3sinx). 求导后得

y'c1exex(c3c2)cosx(c2c3)sinx；(有逗号不用分号，)

y''c1exex(2c3cosx2c2sinx)；（用.号不用分号）

于是由条件得y(0)=2,y'(0)0,y''(0)1得c11,c21,c30.于是所求特解为 yexexcosx.

1.2 二阶常系数非齐次线性微分方程一级标题2（见后面修改意见）

如同上面一样，我们仍然首先（改为下面我们）考虑二阶常系数非齐次线性方程，a,b为常系数（去掉）

‘’‘yaybyf(x),

（3）

其中a,b为常数。因对应的齐次方程（1）的通解问题已彻底解决，故目前的关键问题是求出方程（3）的一个特解。为此，仍可以使用某种特定函数法，下面就几种特殊类型予以说明。

1.2.1（1） f(x)Pm(x)ex,Pm(x)是m次多项式。 我们以

yQ(x)e ， （4）

*x（具有编号的公式必须单独占一行）为待定解进行试探。以（将）（4）带入（代入）方程（3）经整理后得

'''2 Q(x)(a2)Q(x)(ab)Q(x)Pm(x). （5）

分三种情况考虑。

1.2.1.1（a） 若a()不是特征方程2ab0的根，即2ab0,要使（5）式成立，可令Q(x)为一个m次多项式Qm(x)b0xmb1xm1...bm1xbm带入（5）式，确定未知函数bi(i0,1,2,...,m)，并得到所求特解y*Qm(x)ex. 1.2.1.2(b) 若是特征方程2ab0的单根，即

2ab0,但a20，（5）式成为

Q''(x)(a2)Q'(x)Pm(x)， （6）

要使上式成立，Q'(x)必须是m次多项式，Q(x)是m+1次多项式，且Q(x)的数项值是多少不影响上式成立，故取常数项为零，令Q(x)xQm(m),带入（6）确定

Qm(x)的系数bi(i0,1,2,...)，并得到特解y*xQm(x)ex.

1.2.1.3 (c) 若

是特征方程

2ab0的重根，

2ab0,但(且)a20，（5）式成为 Q''(x)Pm(x),

此时Q(x)应为m2此多项式，可令Q(x)x2Qm(x),即Q(x)的常数项及一次幂系数都取为0.容易确定Qm(x)的系数，并得到特解

y*x2Qm(x)ex.

从上面分析综合可以得出如下结论：f(x)Pmex时，方程（3）有形如如下的特解

y*xkQm(x)ex. （7）

其中Qm(x)为m次多项式，k按a（）不是方程特征方程的根、是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次取为0，1或2. 例5 求方程y''y4xex的通解 解

：

从210得特征根，11，21，因此方程y''y0的通

c1exc2exf(x)4xex属于情形I(m=1,=1)是单重特征根，取k1，依式（7）

写出方程的待定特解

y*(b0xb1x)ex.

将上式带入原方程，化解(简化后)得到

4b1x2(b0b1)4x.

由此得b11,b01,于y*(x2x)ex，故所求方程通解为

yc1exc2ex(x2x)ex.

1.2.2(2) f(x)exP(x)cosxQ(x)sinx,Q(x)为多项式，最高次数为m。以

y*xkexA(x)cosxB(x)sinx， （8） 为带定解，其中A(x)与B(x)均是m次待定多项式，当i是特征方程

2ab0的根时取k1，否则取k0。A(x)与B(x)的系数如同情形I一样确定。

d2y例6 求方程2yexsin2x的通解。

dx解：特征方程为r210,其根为r11,r21.于是对应的齐次方程的通解为

Yc1exc2ex.

由于1+2i不是特征根，所以令特解为

YAexsin2xBexcos2x.

~于是可以带入原方推出

dy(A2B)exsin2x(2AB)excos2x,从而推出dx~exsin2x(4A4B)excos2xexsin2x. （-4A-4B）因此有

4A4B1， 4A4B0.~111解得A,B.于是原方程的一个特解是y(exsin2xexcos2x).所以

888原方程特解(通解)为

1Y(y)c1exc2ex(exsin2xexcos2x).

8d2y例7 求方程29y2cos3xx的通解。

dxd2y解：29y0的特征方程为290，它的根为13i,23i,于是对应的

dx齐次方程的通解为

Yc1cos3xc2sin3x

为求原方程的特解，利用定理可以知道，我们只需要分别求出方程

d2y9y2cos3x， （9） （7.1） 2dxd2y9yx， （10） （7.2） dx2的特解，然后相加即可。

考虑方程（7.1）（9），3i是特征方程的根，所以令它的特解为 yx(Acos3xBsin3x). 此时

dy（6B-9Ax）cos3x+(-6A-9Bx)sin3x, 2dxdy（6B-9Ax）cos3x+(-6A-9Bx)sin3x, dx2~2~2~

代入（7.1）（9）整理得

6Bcos3x-6Asin3x=2cos3x.

~11所以得B,A0.于是方程（7.1）（9）的一个特解为y1xsin3x，直接观察

33~x可以知道y2是方程（7.2）（10）的一个解。因此得到原方程的一个特解为

9~~~1x yy1y2xsin3x.

39最后得到原方程的通解为

~1x yYyc1cos3xc2sin3xxsin3x.

39我们知道，对于一般线性微分方程，并无普遍有效的解法。对于常系数线性微分方程，特别是二阶常系数微分方程，则已有很完善的解法。这类解法的特点是：预定方程的解具有某一特定的表达式，需要确定的只是该表达式中的若干待定系数。而为确定这些参数，我们需要熟练的掌握常系数微分方程的不同类型及其相适应的特殊解法。

参考文献：

无正昌 蔡燧林 《微积分学》下册 高等教育出版社 2008年2月 华中科技大学数学系 《微积分学》上册 高等教育出版社 2008年6月

修改意见：

（1）论文题目必须是小二号黑体，你现在用的是宋体；作者单位信息不全，应该写为

“数学科学学院信息与计算科学专业2007级X班 任聪 20071115205”，而且这部分内容应该是宋体四号（注意不加粗）；指导老师信息也是错的，应该为指导教师且为楷体4号；参考文献格式不对，即参考文献之后没有“：”号，参考文献内容宋体5号；参考文献用[1],[2],….等排号；参考文献中人名，题目，出版社等之间要用规定的标点符号（请参考范文进行修改）。

（2）论文层次结构不够合理，只要取两个一级标题，即 1. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 而且一级标题为黑体小四号左端顶起。 （3）论文整篇采用1.5倍行距。

(4) 其余修改内容见文章当中给出的修改。