2013年四川高考数学理科试卷(带详解)

数 学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．设集合A{x|x20}，集合B{x|x40}，则AIB （ ） A.{2} B.{2} C.{2,2} D. 【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算. 【难易程度】容易. 【参考答案】A 【试题解析】

2QA{xx+2=0}，A{2}.QB{xx240},B{2,2}.AIB{2}.故选

A.

2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是 （ ）

第2题图

A.A B.B C.C D.D 【测量目标】复平面.

【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置. 【难易程度】容易 【参考答案】B

【试题解析】设za+bi(a,bR)，且a0,b0，则z的共轭复数为abi,其中

a0,b0，故选B.

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 （ ）

第3题图

A B C D

第3题图

【测量目标】平图形的直观图和三视图. 【考查方式】给出三视图判断其直观图. 【难易程度】容易. 【参考答案】D

【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D. 4．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p:xA,2xB，则（ ） A.p:xA,2xB B.p:xA,2xB

C.p:xA,2xB D.p:xA,2xB 【测量目标】全称量词与存在量词. 【考查方式】给出全称命题求存在命题. 【难易程度】容易. 【参考答案】D

【试题解析】命题p是全称命题：xA,2xB，则p是特称命题：xA,2xB.故选D.

5．函数f(x)2sin(x),(0,ππ)的部分图象如图所示，则,的值分别22是 （ ）

第5题图

A.2,

ππππ B.2, C.4, D.4, 3663【测量目标】函数yAsin(x)的图象及其变化. 【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数. 【难易程度】中等. 【参考答案】A

35π32π5Tπ()π,Tππ2.由图象知当xπ41234125πππ时，2π+=2kπ+（kZ）,即2kπ(kZ)..故选A.

12233【试题解析】Qy1的渐近线的距离是 （ ） 6．抛物线y4x的焦点到双曲线x3222A.

31 B. C.1 D.3

22【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质. 【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程，求距离. 【难易程度】中等. 【参考答案】B

【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），则焦点到渐近线的距离

31033或d2. d12222(3)(1)(3)12x37．函数yx的图象大致是 （ ）

31 A B C D

第7题图

310【测量目标】函数图象的判断.

【考查方式】给出函数解析式判断函数图象. 【难易程度】中等. 【参考答案】C

x3【试题解析】由310得x0,函数yx的定义域{xx0},可排除A，当x23164时，y=1，当x=4时，y，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0,)上是单调增

80x函数，两者矛盾，故选C.

8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a,b，共可得到lgalgb的不同值的个数是 （ ） A.9 B.10 C.18 D.20 【测量目标】排列组合及其应用.

【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合. 【难易程度】中等. 【参考答案】C

2【试题解析】从1，3,5，7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数A520,但

lg1lg3lg3lg9,lg3lg1lg9lg3，所以不同值的个数为202=18，故选C.

9．节日里某家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A.

1137 B. C. D. 4248【测量目标】几何概型.

【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型. 【难易程度】较难. 【参考答案】A

【试题解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x,y,则

0剟x4,0剟y4，而事件发生的概率为xy„2，可行域如图阴影部分所示，有几

1422(22)32何概型得P. 424第9题图

10．设函数f(x)exxa（aR，e为自然对数的底数）．若曲线ysinx上存在

(x0,y0)使得f(f(y0))y0，则a的取值范围是 （ ） 1] C.[1,e1] D.[e1,e1] A.[1,e] B.[e-1，11【测量目标】函数零点的应用.

【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围. 【难易程度】较难. 【参考答案】A 【试题解析】

由已知点(x0,y0)在曲线

ysinx上，得y0sinx0,y0[0,1],即存在

y0[0,1]，使f(f(y0))y0成立，则点A(y0,f(y0)),A(f(y0),y0)都在的图象上，又

f(x)exxa在[0,1]上单调递增，所以(xAxA)(yAyA)厖0,[f(y0)y0][y0f(y0)]0,[f(y0y0)2]„0f(y0)y0，所以f(x)x在[0,1]上有解，aexxx2,x[0,1]，令

(x)exxx2,x[0,1],(x)在[0,1]上单调递增，又

(0)1,(1)e,(x)[1,e],即a[1,e].

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．二项式(xy)的展开式中，含xy的项的系数是_________．（用数字作答） 【测量目标】二项式展开式.

【考查方式】求二项式展开式中的某一项. 【难易程度】简单. 【参考答案】10

32323【试题解析】T4C5xy10xy,故填10.

523uuuruuuruuur12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则_________．

【测量目标】平面向量的四则运算.

【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数. 【难易程度】简单. 【参考答案】2

uuuruuuruuur【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得ABADAC.又O是AC的中点，

uuuruuuruuuruuuruuurAC2AO,AC2AO,ABADAO,2.

13．设sin2sin，(,π)，则tan2的值是_________． 【测量目标】二倍角公式.

【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值. 【难易程度】中等. 【参考答案】3 【

试

题

解

析

】

由

题

意

得

π2cos12而

(,π)π2，

24ππ,tan2=tanπ=tan3 333214．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x…0时，f(x)x4x，那么，不等式

f(x2)5的解集是________ ．

【测量目标】解不等式.

【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集. 【难易程度】较难. 【参考答案】7x3

【试题解析】设x0,则x0.Q当x…0时，f(x)x4xf(x)x4x故f(x)22x24x,x…0为在定义域上的偶函数f(x)2,由f(x)5得x5或x5，所以

x+4x,x0f(x)5得5x5,由f(x2)5,得7x3,所以不等式的解集为7x3.

15．设P在平面内的所有点中，若点P到P1,P2,L,Pn为平面内的n个点，1,P2,L,Pn点的距离之和最小，则称点P为P1,P2,L,Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点．则有下列命题：

①若A,B,C三个点共线，C在线AB上，则C是A,B,C的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A,B,C,D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号） 【测量目标】考查新定义.

【考查方式】给出新定义的含义，根据新定义解题. 【难易程度】较难. 【参考答案】①④

【试题解析】CA+CBAB当且仅当点C在线段AB上等号成立，所以点C是中位点，故①为真命题. ②③为假命题，若P为点A，C,则点P在线段AC上，若点P是B,D 的中位点，则点P在线段BD上，所以若点P是A,B,C,D的中位点，则p是AC，BD的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故④是真命题.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{an}中，a3a18，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和． 【测量目标】等差数列的性质.

【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n项和. 【难易程度】中等.

【试题解析】设该数列公差为d,前n项和为Sn.由已知,可得

2a12d8,a13da1da18d.

所以a1d4,dd3a10,（步骤1）

解得a14,d0,或a11,d3,即数列an的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.

23n2n所以数列的前n项和Sn4n或Sn（步骤2）.

217．(本小题满分12分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

AB3cosBsin(AB)sinBcos(AC)． 25（Ⅰ）求cosA的值；

ruuuruuu（Ⅱ）若a42，b5，求向量BA在BC方向上的投影． 2cos2【测量目标】正弦定理和余弦定理.

【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理. 【难易程度】中等.

AB3cosBsinABsinBcosAC,得 253, cosAB1cosBsinABsinBcosB53即cosABcosBsinABsinB,

533则cosABB,即cosA. (步骤1)

5534由,得, cosA,0AπsinA55bsinA2ab由正弦定理,有,所以,sinB. a2sinAsinBπ由题知ab,则AB,故B.

42322根据余弦定理,有425c25c,

5解得c1或c7(舍去). （步骤2）

ruuuruuuruuu2故向量BA在BC方向上的投影为BAcosB. （步骤3）

218．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,,24这24【试题解析】由2cos2个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1,2,3)； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）

运行 … 输出y的值 输出y的值 输出y的值 为2的频数 为3的频数 … … … … 运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值 为2的频数 为3的频数 … … … 次数n 为1的频数 次数n 为1的频数 当n2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；

（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望．

第18题图

【测量目标】选择结构的程序框图.

【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。 【难易程度】较难

【试题解析】.变量x是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.

当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P31； 21; 31. （步骤1） 6当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. （步骤2）

（3）随机

输出y的值 输出y的值 输出y的值 变量可

能饿取值为1的频率 为2的频率 为3的频率 为0,1,2,3. 甲 故的

乙 分布列为

所以

E()084211+2+3=1 279927即的数学期望为1. （步骤3）

19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABCA1B1C中，侧棱AA1底面ABC，

ABAC2AA1，BAC120o，D,D1分别是线段BC,B1C1的中点，P是线段AD的

中点．

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值．

第19题图

【测量目标】二面角平面角的基本知识. 【考查方式】给出几何体的相关性质求相关知识. 【难易程度】较难.

【试题解析】如图,在平面ABC内,过点P做直线l//BC,因为l在平面A1BC外, 第19题图

BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知, l//平面A1BC.

由已知,ABAC,D是BC的中点,所以,BCAD,则直线lAD.

因为AA1平面ABC,所以AA1直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l平面ADD1A1. （步骤1）

解法一:

连接A1P,过A作AEA1P于E,过E作EFA1M于F,连接AF. 由知,MN平面AEA1,所以平面AEA1平面A1MN. 所以AE平面A1MN,则A1MAE. 所以A1M平面AEF,则A1MAF.

故AFE为二面角AA1MN的平面角(设为). （步骤2）

oo设AA11,则由ABAC2AA1,BAC120,有BAD60,AB2,AD1.

又P为AD的中点,所以M为AB的中点,且AP在Rt△AA1P中, A1P1,AM1, 25;在Rt△A1AM中, AM2. 12AA1gAPAA1gAM11从而,AE,AF, A1PAM521所以sinAE2. AF522152所以cos1sin1. 55故二面角AA1MN的余弦值为解法二:

15. （步骤3） 5uuuruuuuruuur设AA11.如图,过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以AE1,AD11,AA1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合).

第19题图

则A10,0,0,A0,0,1.

因为P为AD的中点,所以M,N分别为AB,AC的中点,

3131故M2,2,1,N2,2,1,

uuuurruuuur31uuu所以A1M2,2,1,A1A0,0,1,NM3,0,0. （步骤1）

设平面AA1M的一个法向量为n1x1,y1,z1,则

uuuuuruuuurn1A1M,n1gA1M0，故有 uuuur即uuurn1A1A,n1gA1A031x1y1z10,从而2 2z10.取x11,则y13,所以n11,3,0. （步骤2）

设平面A1MN的一个法向量为n2x2,y2,z2,则

31uuuuuruuuurx,y,zgn2A1M,n2gA1M0,2,2,10,222故有 uuuuur即uuuurn2NM,n2gNM0,x,y,zg3,0,00,22231xy2z202，从而2 23x20取y22,则z21,所以n20,2,1.（步骤3）

设二面角AA1MN的平面角为,又为锐角,

1,3,0g0,2,115n1gn2则cos.

n1gn252g515. （步骤4） 5x2y220．(本小题满分13分) 已知椭圆C：221,(ab0)的两个焦点分别为

ab41F1(1,0),F2(1,0)，且椭圆C经过点P(,)．

33（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且

故二面角AA1MN的余弦值为

211，求点Q的轨迹方程．

|AQ|2|AM|2|AN|2【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题. 【考查方式】给出椭圆方程求动点的轨迹方程. 【难易程度】较难.

【试题解析】2aPF1PF2所以，a2. 又由已知，c1, 所以椭圆C的离心率e4141(1)2()2(1)2()222， 3333c2 (步骤1) a2x2由知椭圆C的方程为2y21.

设点Q的坐标为(x,y).

(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1),(0,1)两点，此时Q点坐标为

35) （步骤2） 5(2) 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.

因为M,N在直线l上，可设点M,N的坐标分别为(x1,kx12),(x2,kx22),，则 (0,22. 又AM(1k2)x12,AN(1k2)x2222AQx2+（y-2）(1k2)x2

2由

2AQ21AM21AN2，得

211，即

(1k2)x2(1k2)x12(1k2)x22212(x1x2)22x1x2 ① 22222xx1x2x1x1x2y21中，得 将ykx2代入2(2k21)x28kx60 ② （步骤3）

3222由8k42k160,得k.

28k6由②可知x1x22 ,x1x222k12k1182代入①中并化简，得x ③ 210k3y222因为点Q在直线ykx2上，所以k，代入③中并化简，得10(y2)3x18.

x66332,0)U(0,). 由③及k，可知0x,即x(22223566)满足10(y2)23x218，故.x(,) 又(0,2522由题意，Q(x,y)在椭圆C内部，所以1„y„1 （步骤4）

222又由10(y2)3x183x有

13599). (y2)2[,)且1„y„1，则y(,22554135)（步骤5）

25x22xa,x021．(本小题满分14分)已知函数f(x)，其中a是实数．设

lnx,x022所以点Q的轨迹方程是10(y2)3x18，其中y(,2A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点，且x1x2．

（Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值； （Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围． 【测量目标】不等式的综合应用.

【考查方式】给出函数解析式回答在各种条件下的问题. 【难易程度】较难.

【试题解析】函数f(x)的单调递减区间为(,1)，单调递增区间为[1,0),(0,)（步骤1）

由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f(x2)，

故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有f(x1)f(x2)1.（步骤2） 当x0时，对函数f(x)求导，得f(x)2x2. 因为x1x20，所以(2x12)(2x22)1， 所以(2x12)0,(2x22)0.

1（步骤3） [(2x12)(2x22)]…(2x12)(2x22)1

231当且仅当(2x12)(2x22)1，即x1且x2=时等号成立.

22所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为1（步骤4）

因此x2x1当x1x20或x2x10时，f(x1)当x10时，函数f(x)f(x2),，故.x10x2

的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为

yx122x1a2x12xx1，即y2x12xx12a

当x20时，函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为

ylnx211(xx2)，即ygxlnx21. （步骤5） x2x212x12①x2两切线重合的充要条件是 lnx1x2a②21由①及x10x2知，1x10.

121x12ln(2x12)1. 由①②得，ax1+ln2x12121(1x10)，设h(x1)x1ln（步骤6）

2x1210. 则h(x1)2x1x11所以h(x1)(1x10)是减函数. 则h(x1)h(0)ln21， 所以aln21.

又当x1(1,0)且趋近于1时，h(x1)无限增大，所以a的取值范围是(ln21,). 故当函数f(x)的图像在点A,B处的切线重合时，a的取值范围是(ln21,).（步骤7）