2013四川高考数学(理科)答案及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学

理工农医类(四川卷) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的．

1．(2013四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2

－4＝0}，则A∩B＝( )． A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D．

2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数

的点是( )． A．A B．B C．C D．D

3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．

4．(2013四川，理4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x∈A,2x∈B，则( )． A．p：x∈A,2xB B．p：xA,2xB C．p：xA,2x∈B D．p：x∈A,2xB 5．(2013四川，理5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)0,π2π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．

πA．2，3

πB．2，6

πC．4，6

πD．4，3

．(2013四川，理6)抛物线y2

＝4x的焦点到双曲线x2

－y263＝1的渐近线的距离是( )．

13A．2 B．2 C．1 D．3

1

x37．(2013四川，理7)函数yx的图象大致是( )．

31

8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共

可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )． A．9 B．10 C．18 D．20

9．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次

闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．

1137A．4 B．2 C．4 D．8

10．(2013四川，理10)设函数f(x)＝exxa(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )． A．[1，e] B．[e－1－1,1] C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1] 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

523

11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)的展开式中，含xy的项的系数是__________．(用

数字作答)

AB＋AD＝λAO，12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

则λ＝__________.

13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π，则tan 2α的值是__________． 22

14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－4x，那么，

不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．

15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，

若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题： ①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9

的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．

2

17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且2cos2AB3cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝， 25(1)求cos A的值；

(2)若a42，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．

18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；

(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了

输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分) 运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值 次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 3

乙的频数统计表(部分) 运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值 次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)

的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大； (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期

望．

4

19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面

ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平

面ADD1A1；

(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．

5

x2y220．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C：221(a＞b＞0)的两个

ab41焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P,.

33(1)求椭圆C的离心率；

(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且

211，求点Q的轨迹方程．

|AQ|2|AM|2|AN|26

x22xa,x0,21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝其中a是实

lnx,x0,数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2. (1)指出函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值； (3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

7

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (四川卷)

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的． 1． 答案：A

解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}， ∴A∩B＝{－2}．故选A． 2． 答案：B

解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称． 3． 答案：D

解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D． 4． 答案：D 5． 答案：A

3T5ππ3π， 412342π5π5π,2代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，sin1，∴T＝π，则ω＝＝2，再将点 126π5ππ令＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

62π解得，φ＝2kπ－，k∈Z，

3ππ又∵φ∈,，则取k＝0，

22π∴φ＝.故选A．

3解析：由图象可得，6． 答案：B

解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y3x，即3x－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离

d|30|3. 227．

答案：C

解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，

y＝

31x3

＝＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3－1远远大于x的值且都为正，故1123x3→0且大于0，故排除D，选C． x318． 答案：C

8

解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，

(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，

(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a－lg b＝lg事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lga，其中基本ba的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，b故选C． 9． 答案：C

解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4,0≤y≤4；而所

求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，

由图示得，该事件概率PS阴影1643.

S正方形164

10．

答案：A

解析：由题意可得，y0＝sin x0∈[－1,1]， 而由f(x)＝exxa可知y0∈[0,1]， 当a＝0时，f(x)＝exx为增函数， ∴y0∈[0,1]时，f(y0)∈[1，e1]．

∴f(f(y0))≥e1＞1.

∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))＝y0成立，故B，D错；

当a＝e＋1时，f(x)＝exxe1，当y0∈[0,1]时，只有y0＝1时f(x)才有意义，而

f(1)＝0，

∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故C错．故选A． 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用

铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：10

解析：由二项式展开系数可得，xy的系数为C5＝C5＝10.

23

3212．答案：2

解析：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＋AD＝AC＝2AO，

9

∴λ＝2.

13．答案：3

解析：∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α.

1π,π，∴cos α＝.

2232∴sin α＝1cos.

2312

∴sin 2α＝，cos 2α＝2cosα－1＝.

22sin2∴tan 2α＝＝3. cos2又∵α∈14．答案：(－7,3)

2

解析：当x≥0时，令x－4x＜5，解得，0≤x＜5.

又因为f(x)为定义域为R的偶函数，则不等式f(x＋2)＜5等价于－5＜x＋2＜5，即－7＜x＜3；故解集为(－7,3)． 15．

答案：①④

解析：由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不

例外，故①正确；

对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，

则|PA|＋|PB|＋|PC|＝

3|AB|＝32，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜32，2故②错；

对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋

|CB|＋|CD|，故③错；

对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一

点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，

同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|， 则得，

10

|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|， 故O为梯形内唯一中位点是正确的．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列公差为d，前n项和为Sn.

2

由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)＝(a1＋d)(a1＋8d)．

所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为

4，公差为0，或首项为1，公差为3.

3n2n所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝.

217．

AB3cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝，得[cos(A－B)＋1]cos 253B－sin(A－B)sin B－cos B＝，

53即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝.

533则cos(A－B＋B)＝，即cos A＝.

5534(2)由cos A＝，0＜A＜π，得sin A＝，

55ab由正弦定理，有， sinAsinBbsinA2所以，sin B＝. a2π由题知a＞b，则A＞B，故B.

43222根据余弦定理，有(42)＝5＋c－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．

52故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝.

2解：(1)由2cos218．

解：(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝所以，输出y的值为1的概率为

为

1； 21； 31. 611，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率231. 6(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：

输出y的值 输出y的值 输出y的值 为1的频率 为2的频率 为3的频率 11

甲 乙 1027 21001051 2100376 2100696 2100697 2100353 2100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.

812P(ξ＝0)＝C，

33270303124P(ξ＝1)＝C，

33913122221P(ξ＝2)＝C3，

339112P(ξ＝3)＝C3， 33327故ξ的分布列为

3021ξ 0 P 1 2 3 842 27998421所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.

279927即ξ的数学期望为1.

19．

解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，

1 27因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC． 由已知，AB＝AC，D是BC的中点， 所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD． 因为AA1⊥平面ABC， 所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交， 所以直线l⊥平面ADD1A1. (2)解法一：

连接A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF. 由(1)知，MN⊥平面AEA1， 所以平面AEA1⊥平面A1MN.

所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE. 所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.

故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．

设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.

12

又P为AD的中点，

1，AM＝1， 25所以，在Rt△AA1P中，A1P＝；在Rt△A1AM中，A1M＝2.

2AA1AP1从而AE， A1P5AAAM1AF1.

A1M2所以M为AB中点，且AP＝所以sin θ＝

AE2. AF522152所以cos θ＝1sin1. 55故二面角A－A1M－N的余弦值为

15. 5解法二：设A1A＝1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以A1E，A1D1，

y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)． A1A的方向为x轴，

则A1(0,0,0)，A(0,0,1)． 因为P为AD的中点，

所以M，N分别为AB，AC的中点．

3131,,1，N222,2,1. 313，0,0)． 所以A＝M12,2,1，A1A＝(0,0,1)，NM＝(故M设平面AA1M的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

n1A1M,n1A1M0,则即 n1A1A,n1A1A0,31x,y,z,,10,111故有 22x1,y1,z10,0,10,31x1y1z10,从而2 2z0.1取x1＝1，则y1＝3， 所以n1＝(1，3，0)．

设平面A1MN的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

13

n2A1M,nAM0,则即21

nNM0,2n2NM,31x,y,z,,10,222故有 22x2,y2,z23,0,00,31x2y2z20,从而2 23x0.2取y2＝2，则z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)． 设二面角A－A1M－N的平面角为θ， 又θ为锐角， 则cos θ＝

n1n2

|n1||n2|＝1,3,00,2,115. 52515. 5故二面角A－A1M－N的余弦值为20．

解：(1)由椭圆定义知，

41412a＝|PF1|＋|PF2|＝1122，

3333所以a2. 又由已知，c＝1.

2222c12. a22x22

(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y＝1.

2所以椭圆C的离心率e设点Q的坐标为(x，y)．

(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为

350,2. 5(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.

因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，

222222

则|AM|＝(1＋k)x1，|AN|＝(1＋k)x2.

22222

又|AQ|＝x＋(y－2)＝(1＋k)x. 由

211，得 222|AQ||AM||AN|211，

1k2x21k2x121k2x2214

211x1x222x1x2即222.① 22xx1x2x1x2x22将y＝kx＋2代入＋y＝1中，得

2(2k＋1)x＋8kx＋6＝0.②

由Δ＝(8k)－4×(2k＋1)×6＞0，得k＞由②可知，x1＋x2＝

2

2

2

2

2

3. 28k6，x， 1x2＝222k12k1182代入①中并化简，得x.③

10k23因为点Q在直线y＝kx＋2上，

y222

，代入③中并化简，得10(y－2)－3x＝18. x663322

由③及k＞，可知0＜x＜，即x∈2,0∪0,2. 223522又0,2满足10(y－2)－3x＝18， 566故x∈2,2.

所以k由题意，Q(x，y)在椭圆C内， 所以－1≤y≤1.

又由10(y－2)＝18＋3x有(y－2)∈,2

2

2

99且－1≤y≤1， 54135则y∈,2. 2516635所以，点Q的轨迹方程为10(y－2)－3x＝18，其中x∈2,2，y∈2,25.

2

2

21．

解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)， 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1. 当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2. 因为x1＜x2＜0，

所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1. 所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0. 因此x2－x1＝

1[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥[2x12]2x22＝1，当且仅当－(2x1＋2)231＝2x2＋2＝1，即x1且x2时等号成立．

22所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.

(3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2. 当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x12＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x15

－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x1＋a.

当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝

＝

2

1(x－x2)，即yx21·x＋ln x2－1. 2x两切线重合的充要条件是

122x12,① x2lnx21x1a.②由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0. 由①②得，a＝x1＋ln2

2

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－1＝x1－ln(2x1＋2)－1.

2x12设h(x1)＝x1－ln(2x1＋2)－1(－1＜x1＜0)， 则h′(x1)＝2x1－

1＜0. x11所以，h(x1)(－1＜x1＜0)是减函数． 则h(x1)＞h(0)＝－ln 2－1， 所以a＞－ln 2－1.

又当x1∈(－1,0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大， 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．

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