2013四川数学高考试题(理科)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（理科）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

21、设集合A{xx20},，集合B{xx40}，则AB（ ）

（A）{2} （B）看不见 （C）{2,2} （D）

x2、如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ） （A）A （B）B （C）C （D）D

3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）

ABOCyD

4、设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集。若命题p:xA,2xB，则（ ） （A）p:xA,2xB （B）p:xA,2xB （C）p:xA,2xB （D）p:xA,2xB

25、函数f(x)2sin(x)(0,的值分别是（ ） （A）2,32)的部分图象如图所示，则,211π （B）2,36

O-25π1212（C）4,6 （D）4,y2

6、抛物线y4x的焦点到x122231的准线的距离为（ ）

A 、 B、xx332 C、1 D、3 7、函数y31的图像大致是（ ）

A、 B、 C、 D、

8、从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a,b，共可得到lgalgb的不同值的个数是（ ）

（A）9 （B）10 （C）18 （D）20

9、9．节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） （A）

14 （B）

12 （C）

34 （D）

78

10、设函数f(x)exa（aR，e为自然对数的底数）。若曲线ysinx上一点（xo,yo）使

xf(f(yo))yo成立，则a的取值范围是（ ）

（A）[1,e] （B）[1,1e] （C）[e,1e] （D）[0,1]

第二部分 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11、多项式xyDOABC5的展开式中，含xy项的系数是____________.

2212、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则____________。

13、设sin2sin，(2,)，则tan2的值是____________。 214、已知fx是定义在R上的偶函数，当x0时fxx4x，那么，，不等式fx25的解集是___________。

15．设P1,P2,,Pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到P1,P2,,Pn点的距离之和最小，则称点P为P1,P2,,Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点．则有下列命题：

①若A,B,C三个点共线，C在线段上，则C是A,B,C的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A,B,C,D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分12分)

17、(本小题满分12分)

在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

)cBosAsinB(3A)scin。(

5)在等比数列{an}中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项

和。 cosA(B（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）若a4

2，b5，求向量BA在BC方向上的投影。

18、(本小题满分12分)

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,,24这24个整数中等可能随机产生。 （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1,2,3)；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1,2,3)的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分） 运行 30 输出y的值 输出y的值 输出y的值 14 6 10 运行 30 输出y的值 输出y的值 输出y的值 12 11 次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数 „ 2100 次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数 7 „ 1027 „ 376 „ 697 „ 2100 „ 1051 „ 696 „ 353 当n2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。

（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望 19、(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABCA1B1C中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，

D,D1分别是线段BC,B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点。

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值 20．(本小题满分13分) 已知椭圆C：xa22CAC1A1PDBD1B1yb221,(ab0)的两

个焦点分别为F1(1,0),F2(1,0)，且椭圆C经过点P(,)．

3341（Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且

2|AQ|21|AM|21|AN|2，求点Q的轨迹方程． 21、(本小题满分14分)

x2xa,x0已知函数f(x)，其中a是实数。设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))为该函数图象上

lnx,x02的两点，且x1x2。

（Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值； （Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围。