改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法

改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法

王秋萍，王梦娜，王晓峰

西安理工大学理学院，西安710054

摘

要：在分析灰狼优化算法不足的基础上，提出一种改进的灰狼优化算法（CGWO），该算法采用基于余弦规律变

化的收敛因子，平衡算法的全局搜索和局部搜索能力，同时引入基于步长欧氏距离的比例权重更新灰狼位置，从而加快算法的收敛速度。对8个经典测试函数进行仿真实验，结果表明CGWO算法的求解精度更高，稳定性更好。最后以预测谷氨酸菌体生长浓度为例，利用CGWO算法估计Richards模型的参数，以均方根误差和平均绝对误差作为评价指标，与PSO算法、GA算法和VS-FOA算法的结果进行比较，CGWO算法可以有效地估计Richards模型中的参数。关键词：灰狼优化算法；收敛因子；Richards模型；参数估计文献标志码：A

中图分类号：TP301.6

doi：10.3778/j.issn.1002-8331.1808-0117

王秋萍，王梦娜，王晓峰.改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法.计算机工程与应用，2019，55（21）：60-65.WANGQiuping,WANGMengna,WANGXiaofeng.Improvedgreywolfoptimizerwithconvergencefactorandpropor-tionalweight.ComputerEngineeringandApplications,2019,55（21）：60-65.

ImprovedGreyWolfOptimizerwithConvergenceFactorandProportionalWeight

WANGQiuping，WANGMengna，WANGXiaofeng

FacultyofSciences,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710054,China

Abstract：Onthebasisofanalyzingtheinsufficiencyofgreywolfoptimizer,animprovedgreywolfoptimizationalgo-rithm（CGWO）isproposed.Theproposedalgorithmadoptstheconvergencefactorbasedonthevariationofcosinelawtomaintainabetterbalancebetweenglobalsearchandlocalsearch,andtheweightbasedontheEuclideandistanceofthesteplengthisintroducedtoacceleratetheconvergencerateofthealgorithm.Thesimulationexperimentsarecarriedoutoneightbenchmarkfunctions,theexperimentalresultsshowthattheCGWOalgorithmismoreaccurateandmorestable.Finally,thepredictionofthegrowthconcentrationofglutamicacidbacteriaistakenasanexample,andtheparametersoftheRichardsmodelareestimatedbyCGWOalgorithm.Theroot-mean-squareerrorandthemeanabsoluteerrorareusedasevaluationindexes.ComparedwiththeresultsofPSOalgorithm,GAalgorithmandVS-FOAalgorithm,theCGWOalgorithmcaneffectivelyestimatetheparametersoftheRichardsmodel.

Keywords：greywolfoptimizer;convergencefactor;Richardsmodel;parameterestimation

1引言

热点之一，并且在非线性模型的参数估计中得到了很好Richards模型[1]是一个包含四个参数的非线性回归

的应用。

方程，通过时间变量的变化来准确地描述生物的生长过2014年，澳大利亚学者Mirjalili等[3]提出了一种新型程。该模型以其参数具备的合理实际意义和对多样性智能优化算法，称为灰狼优化算法（GreyWolfOptimizer，增长过程的描述能力很强而受到广泛应用[2]。但该模型GWO），并对该算法在寻找最优解方面的优良性能进行带有四个未知参数，参数估计较为复杂。近年来群智能了验证。算法的优点主要是结构简单、需要设置的参数优化算法得到了快速发展，成为国际上优化领域的研究

少和在实验编码中容易实现等。目前，GWO算法在许

基金项目：国家自然科学基金（No.61772416）。

作者简介：王秋萍（1964—），女，博士，教授，研究领域为预测技术与决策分析，智能计算，灰色预测模型，E-mail：wqp566@sina.com；

王梦娜（1994—），女，硕士研究生，研究领域为智能优化算法及应用；王晓峰（1966—），女，博士，教授，研究领域为智能计算，统计学习与图像认证。

收稿日期：2018-08-06

修回日期：2018-09-25

文章编号：1002-8331（2019）21-0060-06

CNKI网络出版：2019-01-02,http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20181227.1758.036.html

王秋萍，等：改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法2019，55（21）61

多领域得到了广泛的应用，如属性简约[4]、特征选择[5]、子，随着迭代次数线性从2线性递减到0。

经济负荷分配问题[6]和表面波分析[7]。然而，灰狼优化种群中其他灰狼的位置由α、β和δ的位置共同算法存在求解精度不高和收敛速度较慢等不足，对此，决定：

研究学者提出了诸多改进方法，常见的有两类：第一类ì是改进收敛因子，例如，文献[8]提出采用正弦曲线、对ïDα=|C1⋅Xα-X|，X1=Xα-A1∙Dα

ï

数曲线、正切曲线、余弦曲线和二次曲线的非线性策略íïDβ=|C2⋅Xβ-X|，X2=Xβ-A2∙Dβ（5）

ï调整收敛因子来避免算法陷入局部最优，但是寻优精度îDδ

=|C3⋅Xδ-X|，X3=Xδ-A3∙D

δ并不是特别理想。文献[9]提出一种非线性递减收敛因X(t+1)=X1

+X子更新公式以平衡算法的全局搜索能力和局部搜索能32+X3

（6）

力，取得了较好的结果。第二类是改进位置更新公式，2.2改进灰狼优化算法（CGWO）

文献[10]提出利用位置矢量差来跳出局部最优，但由于2.2.1基于余弦规律变化的收敛因子算法迭代后期灰狼之间的位置矢量差很小，对灰狼位置由文献[3]可知，当|A|＞1时，灰狼群体将扩大搜索的扰动能力一般。文献[11]在基本GWO算法的基础上范围寻找猎物，即全局搜索，收敛速度快；当|A|＜1时，考虑了PSO算法中的个体记忆功能，增强了算法的局部灰狼群体将收缩搜索范围对猎物进行攻击，即局部搜搜索能力。

索，收敛速度慢。因此，A的大小与GWO算法的全局基于以上学者对GWO算法的研究经验可知，找到搜索和局部搜索能力有很大关系。由公式（3）可以看一种简单且高效的改进策略十分必要。GWO算法在搜出，A随着收敛因子a的变化而变化，收敛因子a是随索过程中并不是线性变化的，为了更好地体现出实际的着迭代次数从2线性递减到0，但是算法在不断收敛的搜索过程，本文给出一种基于余弦规律变化的收敛因过程中并不是线性的，由此可知，线性递减的收敛因子子，使得在前一半迭代过程中a能保持较大值，更好地a不能完全体现出实际的优化搜索过程。因此，本文提进行全局搜索，后一半迭代过程a保持较小值，更好地出了一种基于余弦规律变化的收敛因子，其修正表达进行局部搜索。同时考虑到前三头灰狼的不同特征，引式为：

入动态权重来更新灰狼位置，加快算法的收敛速度。采ì

ïï用8个经典的基准测试函数和多种智能优化算法对比ïa=a1+[cos((t-1)π/(t]n

max-1))ïfinal+(ainitial-afinal),仿真验证了算法的有效性，最后利用该算法对Richardsïï2ïït≤1模型的参数进行估计。

2tmax

íï||（7）ïïï1-cos((t-n

2灰狼优化算法

ïï

a=a(a1)π/(tmax-1))final+initial-afinal)2,

ï2.1基本灰狼优化算法

ï1î2tmax≤t≤tmax灰狼优化算法[3]是通过模拟自然界中灰狼群体的社式中，ainitial和afinal为收敛因子a的初始值和最终值，本

会等级机制和捕食行为而提出的一种新型群体智能优文取ainitial=2，

afinal=0，t为当前迭代次数，tmax为最大化算法。灰狼群体具有严格的等级制度，

α是最高级别迭代次数，n为递减指数，0所示。

最低的灰狼称为ω。灰狼狩猎主要分为三个阶段：追2.0改进后的a

踪、接近猎物；追捕、包围猎物，直到猎物停止移动；攻击原始a

猎物。

1.5假设灰狼种群数目为N，第i只灰狼的位置为Xi，子因群体最优解为α，次优解为β，第三最优解为δ，其他个敛1.0收体为ω，则灰狼捕食行为的数学模型描述如下：

0.5

D=|C⋅Xp(t)-X(t)|（1）X(t+1)=Xp(t)-A⋅D

（2）

0

100

200300

400

500

其中，

t表示当前迭代次数，A和C是系数向量，Xp是迭代次数

猎物的位置向量，X是灰狼个体的位置向量。

图1收敛因子变化图

A=2a⋅r1-a（3）由图1可以看出，原始收敛因子a的图像是线性递C=2⋅r2

（4）

减的，在迭代过程中以相同的速率减小，而改进后收敛其中，r1和r2均是[0，1]之间的随机向量，

a是收敛因因子a的图像是一条基于余弦规律变化的曲线，在迭代

622019，55（21）ComputerEngineeringandApplications计算机工程与应用

初期减小的较慢，使得收敛因子a较长时间保持较大首先给出如下命题：值，从而使A保持较大值的时间长些，以提高搜索效设X

(1)、X

(2)和X

(3)是三角形的三个顶点，X是三

率；迭代后期减小的较快，使得a较长时间保持较小值，角形中任意一点，则X可以用X(1)、X

(2)和X

(3)三个点

从而使A保持较小值的时间长些，以提高搜索精度。的坐标表示。

因此，平衡了算法的全局搜索和局部搜索能力。

X(1)

2.2.2引入动态权重策略

下面是常见的比例权重表示，文献[12]中给出了两X′种不同的分配权重的方法。

X（1）第一种是加权平均，表达式如下：

X

(2)X(3)

X(t+1)=

5X1+3X(2)102+2X3

证明任选一顶点X(2)，作一条连接X

与X的直

加权平均值是一种静态加权，此时有α、β和δ狼线，并延长交于X(1)X(3)连线上一点X′。因X是X′与

的权重分别是5、3和2，代表金字塔的等级结构，然后权X

(2)连线上一点，故可用X(1)X(3)线性表示为：

重之和等于10。

X'=αX

(1)+(1-α)X

(3)

(0<α<1)（2）第二种是基于适应度值的比例权重，表达式又因X′是X(1)X(3)连线上一点，故

如下：

X=λX'+(1-λ)X(2)

(0<λ<1)

Wfα+fβ+fδfα+fα=fα，Wβ+fδ

β=fβ，将X′的表达式代入上式得到：

X=λ[αX

(1)+(1-α)X(3)

]+(1-λ)X(2)

=

Wfα+fβ+fδ

δ=

fδ

，αλX

(1)+λ(1-α)X(3)

+(1-λ)X

(2)

X(t+1)=

X1⋅Wα+X2⋅Wβ+X3⋅Wδ

令μ1=αλ，μ2=(1-λ)，μ3=λ(1-α)Wα+Wβ+Wδ

这就得到：其中Wα、Wβ、Wδ分别表示α、β、δ狼所占的权重，X=μ(1)1X

+μ2X(2)+μ3X

(3)

æçfè∑μi=1,0<μii<1ö÷ø

α、fβ、fδ分别表示α、β、δ狼的适应度值。根据它

假设α、β、δ狼的位置为三角形的三个顶点X(1)们的适应度来计算分配给三头狼的权重，从而使α狼在、

狩猎过程中占有更大的权重，然后是第二个领先的βX

(2)、X

(3)，则当X是三角形的重心时，有μ1=μ2=μ3=

狼，以δ狼的最低权重结束，理论上是对潜在猎物位置1的了解较少（优化）。

3，此时对应于基本GWO算法中的位置更新公式。而

利用基于步长的欧氏距离计算μi，使得μi在算法的每

（3）文献[13]给出一种不同的基于适应度值的比例一次迭代过程中不断变化，从而使得领导层的灰狼动态权重，表达式如下：

的指导狼群前进。

Wfα=

fαfβα+fβ+fδ，Wf，Wfβ=δ=

fδ

因此，本文引入文献[14]所提出的基于步长欧氏距α+fβ+fδ

α+fβ+fδ(离的比例权重。

Xt+1)=X1⋅Wα+X2⋅Wβ+X3⋅Wδ

2.2.3CGWO算法步骤

（4）文献[14]提出一种基于步长欧氏距离的比例权综合以上改进策略描述，给出本文所提出的改进灰重，表达式如下：

狼优化算法（CGWO）的步骤：

W|X1||X2|步骤1设置种群规模N，最大迭代次数tmax，随机

1=

|X，W2=X，

1|+|X2|+|X3||X1|+|2|+|X3|生成a、A、

C等参数。W|X3|步骤2在搜索空间内随机初始化灰狼种群。1=|X（8）

1|+|X2|+|X3|步骤3计算种群中所有灰狼个体的适应度值，并按X(t+1)=

X1⋅W1+X2⋅照适应度值进行排序，选择前三个最好的狼，记录其位3W2+X3⋅W3

（9）

置Xα、Xβ和Xδ。

其中W1、

W2、W3分别表示ω狼对α、β、δ狼的学习率。步骤4利用公式（5）、（8）和（9）更新种群中其他灰引入上述四种比例权重均可以加快算法的收敛速狼个体的位置。

度，通过实验，可以发现引入文献[14]所提出的比例权步骤5利用公式（7）计算a，然后利用公式（3）和重效果更好。下面通过理论角度对运用基于步长欧氏（4）更新A，

C的值。距离的比例权重效果进行研究验证。

步骤6判断算法是否满足结束条件，若达到预定的

王秋萍，等：改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法

2019，55（21）

63

表1

基准测试函数

函数名函数表达式维数搜索范围最小值fn

Sphere1(x)=∑x2i

i=1

30[−100，100]0nn

Schwefel2.22f2(x)=∑xi+∏|xi|i=1

i=1

30[−-10，10]0Schwefel1.2f)n

æi2

=∑çö

3(xç30[−100，100]0è∑xj÷i=1j-1÷

ø

Schwefel2.21

f4(x)=maxi{|xi|,1≤i≤n}30[−100，100]0Quarticfn

5(x)=∑ix4i+random[0,1i=1)30

[−1.28，1.28]0Rastriginfn

6(x)=∑x2i-10cos(2πxi)+10

i=1

[]30[−5.12，5.12]0Ackleyfexpæ7(x)=-20çç-0.21n[−32，32]0èn∑x2öi÷-expæç=1÷øç1nèn∑cosi=1(2πxi)ö÷÷+20+e30iøGriewank

f8=

40001∑nxnæi2-∏cosçxiö÷+130

[−50，50]

0

i=1

i=1èiø最大迭代次数tmax，则停止计算，输出最优位置Xα，否算法收敛到了理论最优值0；对于函数f2、f4、f5和则，重复执行步骤3~步骤5。

f7，相比较于GWO-EPD算法、IGWO算法、SquareGWO

算法和NGWO算法，CGWO算法的计算结果精度更高，

3仿真实验

而且在函数f2和f4上求得的标准差最小，表明CGWO为了验证CGWO算法的性能，选取国际上通用的8

算法的稳定性更好；对于函数f个经典基准测试函数进行仿真实验，测试函数如表1所6，NGWO算法和CGWO示，其中f算法取得了理论最优值；对于函数f8，SquareGWO算1~f5为单峰测试函数，f6~f8为多峰测试函数。算法独立运行30次，求得实验的平均值用来反映法、NGWO算法和CGWO算法都达到了最优值。由上算法在给定迭代次数下所能达到的收敛精度，标准差用述比较结果可以看出，与GWO-EPD算法、IGWO算法、来反映算法的稳定性。

SquareGWO算法和NGWO算法相比，CGWO算法具有算法的参数设置：各算法的种群规模均为30，最大更高的求解精度和更好的稳定性。

迭代次数为500，PSO算法中粒子速度Vmax=5，c1=3.2与其他智能优化算法的比较

c2=0.5；ACO算法中信息素指数权重α=1，启发式指为了更进一步验证CGWO算法的有效性，将其与

数权重β=1，信息素蒸发率ρ=0.05，Q=1；GA算法

基本GWO算法、PSO算法、ACO算法和GA算法进行中交叉概率Pc=0.4，变异概率Pm=0.7，选择概率系比较，比较结果如表3所示。同时给出了函数f2、f4和数β=5。

f5~f8的收敛曲线图，如图2所示。

3.1与不同策略改进GWO算法的比较

从表3的比较结果可以看出，在种群规模和迭代次利用CGWO算法对8个基准测试函数进行求解，并

数相同的情况下，与基本GWO算法、PSO算法、ACO算与文献[8-16]中提出的算法进行比较，结果如表2所示。

法和GA算法相比，本文所提出的CGWO算法在8个测从表2可以看出，CGWO算法在8个测试函数上均试函数上均表现出了较为明显的优越性，收敛精度有得到了较好的全局最优解。对于函数f1和f3，CGWO

较大的提高，特别是对函数f1、f2、f6和f8，CGWO算

表2

不同改进GWO算法对8个测试函数的结果比较

函数GWO-EPDIGWOSquareGWONGWOCGWO平均值标准差平均值标准差平均值标准差平均值标准差平均值标准差f19.27E−288.08E−281.03E−285.56E−281.82E−369.99E−361.16E−472.72E−4700f21.09E−164.97E−171.11E−186.57E−171.90E−221.04E−212.92E−284.16E−281.51E−198

0f34.13E−51.97E−51.39E−61.01E−51.03E−85.62E−89.98E−121.99E−1100f42.81E−71.52E−62.781E−75.86E−71.42E−107.79E−107.15E−137.60E−138.66E−1930f51.33E−30.00131.55E−37.58E−47.65E−54.19E−41.05E−3

2.32E−4

1.32E−5

7.21E−5

f61.13E−134.31531.13E−131.84291.89E−151.04E−140000f79.33E−14

1.04−141.01E−132.19E−147.40E−16

4.05E−15

1.05E−14

2.39E−15

1.48E−16

8.11E−16

f8

0

0.0170

0.017856

0.0177

0

0

0

0

0

0

642019，55（21）ComputerEngineeringandApplications计算机工程与应用

表3

5种进化算法对8个测试函数的结果比较

函数GWOPSOACOGACGWO平均值标准差平均值标准差平均值标准差平均值标准差平均值标准差f11.67E−289.12E−280.03990.26651.16E+06.80E−18.20E−145.90E−400f24.67E−172.56E−160.14400.31632.18E+28.25E+21.22E+16.69E+01.51E−198

0f34.24E−62.32E−50.07150.51291.12E+52.52E+41.43E+46.45E+300f47.07E−83.87E−70.09260.14218.03E+17.79E+06.88E+11.32E+18.66E−1930f56.83E−53.74E−40.10630.81861.93E−16.07E−21.53E+19.69E+01.32E−5

7.21E−5

f60.30871.69063.04922.51062.57E+21.43E+17.23E+13.91E+100f76.42E−15

3.52E−14

0.03500.22897.20E−14.42E−11.05E+12.49E+01.48E−16

8.11E−16

f8

0

0

0.0053

0.02309.08E−1

8.53E−2

1.37E+1

1.06E+1

0

0

100

100

rrraaafffCGWO

ooosssGWO

dddSquareGWOeeennniiiPSO

aaatttbbbo10−100

CGWOo10−100

CGWOo100

eeerrrooocGWO

cGWO

cssstSquareGWOtSquareGWOtssseeeBPSOBPSOB0100

200300400

500

0100

200300400

500

0

100

200300400500

IterationIterationIterationSchwefel2.22

Schwefel2.21

Quartic

rraaff100

rao10

0

CGWOfo100

sGWO

sCGWOosdddeSquareGWOennGWO

eniiiaPSO

attbbSquareGWOatooPSO

boeeeCGWOrroocc10

−10

ro10−10

GWO

s10−10

cssSquareGWOtttssseeeBBBPSO

0

100

200300400

500

0

100

200300400500

0

100

200300400

500

IterationIterationIterationRastrigin

Ackley

Griewank

图2部分测试函数的收敛曲线图

法收敛到了理论最优值0。从图2中函数f2、f4和f5从表4中的数值结果可以看出，引入比例权重（4）~f8的收敛曲线图可以看出，CGWO算法的收敛精度更时，CGWO算法的寻优性能最佳。对于函数f1~f5和高，收敛速度更快。

f7，当引入比例权重（4）时，算法所获得的结果精度更

3.3分析不同的比例权重对算法的影响

高；对于函数f6，引入比例权重（1）和引入比例权重（4）为了验证基于步长欧氏距离的比例权重对CGWO

时的计算结果一样，都得到了最优解；对于函数f8，引算法性能的影响，分别利用2.2.2小节给出的四种不同入四种不同的比例权重均收敛到了理论最优值0。综合的比例权重对8个测试函数进行数值实验，实验结果如以上对比讨论，本文选取比例权重（4）对GWO算法进行表4所示。

优化，即基于步长欧氏距离的比例权重。

表4

CGWO算法中不同比例权重的寻优结果比较

函数权重（1）权重（2）权重（3）权重（4）平均值标准差平均值标准差平均值标准差平均值标准差f11.79E−369.80E−367.27E−353.98E−347.07E−443.87E−4300f22.96E−221.62E−216.92E−223.79E−211.56E−248.57E−241.51E−198

0f35.38E−92.95E−82.37E−81.29E−73.65E−151.99E−1400f43.18E−61.74E−52.82E−61.54E−52.50E−121.37E−118.66E−1930f57.87E−5

4.31E−43.08E−51.69E−45.93E−63.25E−51.32E−5

7.21E−5

f6000.40842.23683.79E−152.08E−1400f72.66E−16

1.46E−15

2.66E−16

1.46E−15

2.66E−16

1.46E−15

1.48E−16

8.11E−16

f8

0

0

0

0

0

0

0

0

王秋萍，等：改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法2019，55（21）

65

3.4算法的复杂度分析

表5

菌体浓度的观测值与各算法的预测值

基本GWO算法的复杂度为O(N×d×tmax)；GWO-

时间/h观测值PSOGAVS-FOACGWOEPD算法的时间复杂度分为基本GWO算法的复杂度20.3210.26150.25320.26860.2300和EPD算子的复杂度两部分，即为O(2N×d×t30.3530.32800.32720.32600.4206max)；在40.3690.40340.40820.39350.5995IGWO算法中，反向学习需要进行N次操作，而并行处50.4080.48420.49150.47050.7297理可以减少运行时间，因此IGWO算法的时间复杂度即60.5810.56540.57170.55420.810670.6400.64150.64630.63880.8565为Oæç2N×d×tmaxöèn÷ø

，n表示运算过程中子群的个数；

80.7420.70810.70660.71610.8814SquareGWO算法复杂度为O(N2×d×t90.7810.76260.75780.77890.8945max)；NGWO算100.8240.80480.79820.82440.9013法的时间复杂度为O(3N×d×tmax)；本文提出的CGWO110.8550.83620.82920.85430.9048算法的时间复杂度为O(N2×d×td为变量120.8690.85860.85240.87250.9067max)。其中130.8780.87420.86960.88310.9076维数，

tmax为最大迭代次数。通过比较可以看出CGWO140.8790.88500.88210.88910.9081算法的复杂度较高，但是其求解精度和稳定性更好。

150.8930.89230.89120.89240.9083160.8940.89710.89770.89430.90844Richards模型参数估计

170.9000.90040.90230.89530.9085180.9010.90260.90560.89580.9085Richards模型的数学表达式为：190.9020.90400.90800.89610.9085y=α(1+e

β-rt

)-1

δ200.9030.90500.90970.89630.908621

0.904

0.9056

0.9108

0.8964

0.9086

其中，y为t时刻某变量的增长量，

α是增长量的极限表6

各算法的评价指标比较

值，β是初始值，

r表示增长速率，δ表示曲线的形状。评价指标PSO

GAVS-FOACGWO它的图形是以α为渐近线的S形曲线。

RMSE0.02630.02960.02201.2522E−4利用CGWO算法对Richards模型的参数进行估计MAE

0.0168

0.0202

0.0136

2.7999E−5

时，每头灰狼的位置对应一组解，灰狼的个体位置为一1.0个4维向量，4代表所要估计的参数，即α、β、

r和δ，0.9以观测值和预测值的偏差平方和为适应度函数，即：

1）−L0.8·fitness=∑næ2

ç（g/0.7èyi-α(1+eβ-rti)-1δö÷度i=1

ø

浓0.6体以预测谷氨酸菌体的生长浓度为例，利用CGWO菌0.5算法估计Richards模型的4个参数为：α=0.9086，0.4β=0.5838，r=0.6678，δ=0.2811。为了验证CGWO

0.30

5

1015

2025

算法估计Richards模型参数的有效性，将实际观测数时间/h

据、利用PSO算法、GA算法、VS-FOA算法和CGWO算图3

拟合的菌体生长曲线

法得到的谷氨酸菌体的预测浓度进行比较，比较结果如表5所示。同时比较各个算法的均方根误差（RMSE）和5结束语

平均绝对误差（MAE）来验证CGWO算法估计Richards本文提出了一种基于余弦规律变化收敛因子的改

模型参数的优越性，比较结果如表6所示。

进灰狼优化算法，并结合动态权重对基本GWO算法的从表5和表6的计算结果和各项评价指标的比较结性能进行了优化，测试函数仿真结果表明该算法具有更果可以看出，与PSO算法、GA算法和VS-FOA算法相高的求解精度和更好的稳定性。以预测谷氨酸菌体的比，CGWO算法得到的Richards模型预测的谷氨酸菌体生长浓度为例，验证了CGWO算法对Richards模型的参生长浓度与观测值的偏差最小，表明其预测精度最高。

数估计是有效的，从而为Richards模型的参数估计提供图3是利用CGWO算法估计参数的Richards模型了一种新的思路。

拟合的谷氨酸菌体生长浓度曲线。从图3可以看出，在初始时刻，预测值和观测值之间存在一定的偏差，但随参考文献：

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明了CGWO算法的有效性。

（下转第98页）

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