柯西--黎曼方程的应用

刘兵军

在复变函数中，柯西--黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西--黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的。而利用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常麻烦。已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西--黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部）， 从而得到函数的表达式。

定理一 设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内一点xiy可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足柯西--黎曼方程

uvuv。 ， xyyx定理二 设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内解析的充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在D内可微，并且满足柯西--黎曼方程

uvuv。 ， xyyx 利用定理一可以判断函数在一点的可导性，而利用定理二可以判断函数在一个区域内的可

导性，即解析性。

22 定义一 如果实二元函数(x,y)在区域D内满足2则称(x,y)为在区域0，

xy2D内的调和函数。

定理三 任何在区域D内解析的函数，其实部和虚部均为D内的调和函数，且满足柯西--黎曼方程

uvuv。 ，xyyx 以下通过例题讲述柯西--黎曼方程的应用方法。 例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：

x（1）wz； （2）f(z)e(cosyisiny)； （3）wzRe(z)。

解 （1） ux，vy，

uvuv1，0，0，1 xxyyuv，柯西--黎曼方程不满足，故wz在复平面内处处不可导且处处不解析。 xy（2）uecosy，vesiny，

xxuvuvexsiny，excosy，exsiny，excosy， xxyy

uvuv， 。

xyyx柯西--黎曼方程成立，故f(z)ex(cosyisiny)在复平面内处处解析。

（3）wzRe(z)x2xyi

ux2，vxy，

uvuv2x，y，0，x xxyyuv，柯西--黎曼方程不满足，故wz在复平面内处处不解析。 xy仅当xy0时，

uvuv，柯西--黎曼方程成立，故函数，xyyxwzRe(z)x2xyi仅在z0时可导，但在复平面内处处不解析。

例2 设函数f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)，问常数a,b,c,d取何值时，

f(z)在复平面内处处解析？

解 uxaxyby，vcxdxyy，

2222uvuv2xay，2cxdy，ax2by，dx2y， xxyy由

uvuv 得 ，xyyx2xaydx2y， ax2by2cxdy故当a2，b1，c1，d2时，函数在复平面内处处解析。

22例3 已知函数u(x,y)xy3x，求v(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)解析。

解 由于f(z)u(x,y)iv(x,y)解析，u和v满足柯西--黎曼方程。

ux2y23x，由

uv2x3，两边对y积分得 xyv2xy3y(x)，再由

uv2y2y/(x)得(x)c，其中 yxc 为常数。故v2xy3yc。

例4 已知函数v(x,y)y，求函数u(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)解析。

x2y2解 由于f(z)u(x,y)iv(x,y)解析，u和v满足柯西--黎曼方程。

v2xyvx2y2，， 222222y(xy)x(xy)由

uv2xy得 2yx(xy2)22xyxd(x2y2)u(x,y)2dyg(x)， x2222222(xy)xy(xy)uvux2y2x2y2/再由得， 2g(x)22222xyx(xy)(xy)故g/(x)0，g(x)c，f(z)uivxy1。 cic2222zxyxy 以上例题展示了柯西--黎曼方程的各种应用方法，类似例题很多，但通过对这些例题解

的学习，有助于我们掌握柯西--黎曼方程的各种应用方法，把握其解题规律。