高三立体几何复习题.

1、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，对于下列结论：①BD1平面A1DC1; ②AC11和AD1所成的角为45；③点A与点C1在该正方体外接 球表面上的球面距离为

D1

高三立体几何复习

A1C13D，其中正确结论的个数是( )

2ABA.0 B. 1 C. 2 D. 3

2、已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题 ①若m//n,m，则n ②若m,m,则// ③若m,m//n,n,则 ④若m//,n,,则m//n

B1C 其中正确命题的个数是 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3、下列命题中，真命题是（ ） A.若直线m、n都平行于，则m//nB.设l是直二面角，若直线ml,则m C.若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n或n// D.若直线m、n是异面直线，m//，则n与相交

4、过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是（ ）A．π B. 2π C. 3π D. 23 5、如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周

y长是（ ）

C B A.8cm B.6 cm C.2(1+3)cm D.2(1+2)c m xO A

6、有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的

1余弦值为（ ）A.13 B.4 C.

34 D.

22

9、已知直线a、b、c和平面、,有下列命题：①若//,a//,则a//；②若ab,a,b,则；③若,a,则a//；④若a//,,则a.其中正确的命题是( ).A.①② B.①③ C.②④ D.②

10、已知正四面体ABCD的棱长为a，E为CD上一点，且CE:ED2:1，则截面△ABE的

2222172192a B．a C．a D．a 421212011、菱形ABCD的边长为a,A60,E,F,G，H分别在AB、BC、CD、DA

面积是（ ）A．上，且BEBFDGDH2aa3，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C

32两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为（ ）

A.a2 B.2 C .

a D.31a

14、正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC中点，MN⊥AM，若侧棱SA23，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 （ ） A．12π B．32π C．36π D．48π 二.填空题

15、如图,ABCD为矩形,AB3,BC1,EF//BC,

且AE2EB,G为BC中点,K为ADF的外心. 沿EF将矩形折成一个120的二面角AEFB, 则此时KG的长是 16、在三棱锥SABC中,SA平面ABC,SAAB1,BC2,P为棱SB上的动点,且

APPC的最小值为5,则三棱锥SABC外接球的体积为 .

17、已知长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点都在直径为3的球面上，AA1=AB=2，点E是DD1的中点，

则异面直线A1E与B1D所成角的大小为是__________． 18、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是C1C的 中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意

点，则直线BM与OP所成的角为 . 19、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面

角A—BD—C，有如下四个结论： ①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形；

③AB与平面BCD所成的角为60°④AB与CD所成的角为60° 其中正确结论的序号是 . （写出所有你认为正确的结论的序号） 三.解答题

20、如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，

O是点A在平面BCD内的射影.

（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小； （Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；

（Ⅲ）求二面角A—BE—F正切值的大小.

21、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点.（Ⅰ）求证：A1C//平面BED; （Ⅱ）求二面角E—BD—A的大小； （Ⅲ）求点E到平面A1BCD1的距离.

22、如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA． （Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；

（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；

（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小． PP M E

A A B D

O

D C

CB

A1

23、如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，

EB1P点在平面ABCD内的射影为A，且PAAB2，E为PD中点． （Ⅰ）证明：PB//平面AEC；（Ⅱ）证明：平面PCD平面PAD； （Ⅲ）求二面角EACD的正切值． 24、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，C1CCBCA2，ACCB，DD、E分别是棱C1C、B1C1的中点．（1）求点B到平面A1C1CA的距离； （2）求二面角BA1DA的大小；

（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其

C 位置并证明结论；若不存在，说明理由．

FA

C1B

高三立体几何复习卷参考答案

一. 选择题

1、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，对于下列结论：①BD1平面A1DC1; ②AC11和AD1所成的角为45；③点A与点C1在该正方体外接 球表面上的球面距离为

D1A1C13D，其中正确结论的个数是( C )

2ABA.0 B. 1 C. 2 D. 3

2、已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题 ①若m//n,m，则n ②若m,m,则// ③若m,m//n,n,则 ④若m//,n,,则m//n

B1C 其中正确命题的个数是 （ D ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3、下列命题中，真命题是（ C ） A.若直线m、n都平行于，则m//nB.设l是直二面角，若直线ml,则m C.若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n或n// D.若直线m、n是异面直线，m//，则n与相交

4、过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是（ A ）A．π B. 2π C. 3π D. 23 5、如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周

y长 是（ A ）

C B A.8cm B.6 cm C.2(1+3)cm D.2(1+2)c m

xO A

6、有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的

1余弦值为（ B ）A.13 B.4 C.

34 D.

22

7、给出下列命题：

1底面是正多边形的棱锥是正棱锥 ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥 ○

3侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥 ④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱○锥

其中正确的命题的个数是（A ）A.0 B.1 C.2 D.3

8、若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a的正方体的全面积相等，那么这个正四

33326B．C．D． 3613269、已知直线a、b、c和平面、,有下列命题：①若//,a//,则a//；②若ab,a,b,则；③若,a,则a//；④若a//,,则a.

棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为（ C ）A．

其中正确的命题是( D ).A.①② B.①③ C.②④ D.②

10、已知正四面体ABCD的棱长为a，E为CD上一点，且CE:ED2:1，则截面△ABE的

2222172192a B．a a D．a C．421212011、菱形ABCD的边长为a,A60,E,F,G，H分别在AB、BC、CD、DA 上，且BEBFDGDHa3，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点

面积是（ D ）A．

重合，这时A点到平面EFGH的距离为（ A ）

a D.31a A.a2 B.2 C .212、已知棱长为a的正四面体ABCD的中截面为M,则其内切球球心O到平面M的距离 为

2a3

( C ). A.

662aa C.a D.a B.6128413、已知球O半径是1，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离为则四面体OABC的体积为（ C ） A．

,,,

2232 414、正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC中点，MN⊥AM，若侧棱SA23，则此正三

D．

棱锥S—ABC外接球的表面积是 A．12π B．32π C．36π 二.填空题

15、如图,ABCD为矩形,AB3,BC1,EF//BC,

且AE2EB,G为BC中点,K为ADF的外心. 沿EF将矩形折成一个120的二面角AEFB,

则此时KG的长是3

16、在三棱锥SABC中,SA平面ABC,SAAB1,BC2,P为棱SB上的动点,且

43233 B． C． 12412（ C ）

D．48π

APPC的最小值为5,则三棱锥SABC外接球的体积为

.

17、已知长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点都在直径为3的球面上，AA1=AB=2，点E是DD1的中点，

则异面直线A1E与B1D所成角的大小为是__________． 18、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是C1C的

中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意

点，则直线BM与OP所成的角为

 . 219、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面

角A—BD—C，有如下四个结论： ①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形；

③AB与平面BCD所成的角为60°④AB与CD所成的角为60°

其中正确结论的序号是 ①、②、④ .（写出所有你认为正确的结论的序号） 三.解答题

20、如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面

BCD内的射影.

（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小； （Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；

（Ⅲ）求二面角A—BE—F正切值的大小. 方法一：（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点， 所以EF∥AC.

所以∠BCA是EF与BC所成角. ∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形， 所以∠BCA = 60°.即EF与BC所成角的大小是60° （Ⅱ）解法1：如图，连结AO，AF，

因为F是CD的中点，且△ACD，△BCD均为正三角形， 所以BF⊥CD，AF⊥CD.因为BF∩AF = F， 所以CD⊥面AFB.因为CD在ACD， 所以面AFB⊥面ACD.

因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影， 所以点O必在正三角形BCD的中线BF上， 在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，

所以OG⊥在ACD.

即OG的长为点O到面ACD的距离.

因为正四面体ABCD的棱长为1,

在△ABF中,容易求出AF = BF=因为△AOF∽△OGF， 故由相似比易求出OG =

336，OF=，AO = ， 2636. 96. 9所以点O到平面ACD的距离是

解法2：如图，连结AO，CO，DO，

所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥 O—ACD底面ACD上的高h.

36，AO = ， 6316132(1). 所以VA—COD = 332636与解法1同理容易求出OF=因为VO—ACD = VA—COD，

21131). = VO—ACD = h(363226. 解得h9所以

（Ⅲ）设△ABD中，AB边的中线交BE于H，连结

CH，则由ABCD为正四面体知CH⊥面ABD. 设HD的中点为K，则FK∥CH。 所以FK⊥面ABD.

在面ABD内，过点K作KN∥AD， KN交BE于M，交AB于N，

因为BE⊥AD，所以NM⊥BE.连结FM，所以FM⊥BE所以∠NMF是所求二面角的平面角.

1661111CH = .MK = ED = AD = ，

2362244FK26. 所以tanFMKMK3因为FK =

21、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点.

（Ⅰ）求证：A1C//平面BED; （Ⅱ）求二面角E—BD—A的大小； （Ⅲ）求点E到平面A1BCD1的距离. 解法一：

（I）连结AC交BD于点O，则O是AC的中点. 连结EO. 有A1C∥EO.

∵EO平面BED，A1C平面BED， ∴A1C∥平面BED.

（II）∵AC⊥BD于O，

又∵E是AA的中点，∴EB=ED. ∴EO⊥BD.

∴∠EOA是二面角E—BD—A的平面角.

113AA1=2，AO=AC=2. 222EA222. ∴tAnEOA=

3AO32222. 二面角E—BD—A的大小是arctan3 在Rt△EAO中，EA=

（III）过点E作EF⊥A1B于F.

∵A1D1⊥平面A1B1BA，EF平面A1B1BA， ∴A1D1⊥EF且A1B∩A1D1=A1.

∴EF⊥平面A1BCD1. 则EF的长是点E到平面A1BCD1的距离.

EFA1E,且A1E=2，A1B=5，AB=3， ABA1B66 ∴EF=,即点E到平面A1BCD1的距离是.

55 ∵

22、如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA．

（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；

（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；

（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小． （Ⅰ）证明：如图1，取PD的中点E，连EO，EM．

11

∵EO∥PB，EO＝PB，MA∥PB，MA＝PB，

22

∴EO∥MA，且EO＝MA．

∴四边形MAOE是平行四边形． ∴ME∥AC． 又∵AC/平面PMD，ME平面PMD， ∴AC∥平面PMD．

（Ⅱ）解法一：如图1，PB平面ABCD，CD平面ABCD，∴CDPB． 又∵CDBC，∴CD平面PBC．

∵CD平面PCD，∴平面PBC平面PCD．

过B作BFPC于F，则BF平面PDC，连DF，则DF为BD在平面PCD上的射影． ∴BDF是直线BD与平面PDC所成的角．

1

不妨设AB＝2，则在Rt△PBC中，PB＝BC＝2，BFPC，∴BF＝PC＝2．

2

1

∵BD＝22．∴在Rt△BFD中，BF＝BD，∴BDF＝．

26

∴直线BD与平面PCD所成的角是．

6

解法二：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2，0，0)，P(0，2，2)．

P 

∴DC＝(0，2，0)，CP＝(－2，0，2)．BD＝(2，－2，0) 设n＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量， z 

M 则nDC，nCP．

A D x 图2 C B y nDC=0，2y=0，∴即

－2x＋2z=0．nCP=0．

令z＝1，

则n＝(1，0，1)是平面PCD的一个法向量． 过B作BF平面PCD，垂足为F，连DF， 则DF为BD在平面PCD上的射影．

∴BDF是直线BD与平面PCD所成的角．…



则sinBDF＝|cos＜BD，n＞|

n

BD＝1．∴BDF＝． ＝

62

|||n|BD



∴直线BD与平面PCD所成的角是．

6

（Ⅲ）解：如图3，分别延长PM，BA，

G 设PM∩BA＝G，连DG，

则平面PMD∩平面ABCD＝DG． N 不妨设AB＝2， D ∵MA∥PB，PB＝2MA，∴GA＝AB＝2． 过A作ANDG于N，连MN． ∵PB平面ABCD，

∴MA平面ABCD，∴MNDG．∴MNA是平面PMD与平面ABCD 所成的二面角的平面角（锐角）．在Rt△MAN中，

MA22

tanMNA＝＝．∴MNA＝arctan．

NA22∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）大小是arctan

P

M A B

C

图3

2

． 2

21、如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PAAB2，E为PD中点．

P（Ⅰ）证明：PB//平面AEC；

（Ⅱ）证明：平面PCD平面PAD； （Ⅲ）求二面角EACD的正切值．

E证明：连结BD交AC于点O，连结EO．

O为BD中点，E为PD中点，

∴EO//PB． ADEO平面AEC，PB平面AEC， ∴ PB//平面AEC． （Ⅱ）证明：P点在平面ABCD内的射影为A， CB∴PA⊥平面ABCD．

CD平面ABCD，∴PACD．

又在正方形ABCD中CDAD且PAADA， ∴CD平面PAD． 又CD平面PCD，∴平面PCD平面PAD．

P（Ⅲ）

E LD A

LA DK KC

BC

解法1：取AD中点L，过L作LKAC于K，连接EK、EL,

L为AD中点，∴ EL//PA，∴ EL平面ABCD， ∴ LK为EK在平面ABCD内的射影． 又LKAC, ∴ EKAC, ∴EKL为二面角E—AC—D的平面角． 在RtADC中，LKAC， ∴AKL∽ADC,

2KLALKL1∴,即，∴ KL ， 2DCAC222EL12， KL22∴二面角E—AC—D的正切值为2．

在RtELK中，tanEKL

解法2：如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为 zA(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),

D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ． PPA平面ABCD，∴AP是平面ABCD的法向量，AP=（0, 0, 2）．

设平面AEC的法向量为n(x,y,z), AE(0,1,1),AC(2,2,0),

E0yz0,nAE0,则 即

2x2y00.nAC0.Bzy,∴ 

xy.xADyC∴ 令y1,则n(1,1,1). ∴cosAP,nAPn|AP||n|22313, ∴tanAP,n2．

∴二面角E—AC—D的正切值为2．

24、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，C1CCBCA2，ACCB，D、E分别是棱C1C、B1C1的中点．

（1）求点B到平面A1C1CA的距离； （2）求二面角BA1DA的大小；

（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分12分）解一（综合几何法，A版本） （1）∵ABCA1B1C1是直三棱柱， ∴ CC1底面ABC ∴ CC1BC

∵ ACBC， ∴BC平面A1C1CA ∵BC=2 ∴ 点B到平面A1C1CA的距离为2

（2）分别延长AC、A1D交于点G，过C作CMA1G于M，连结BM ∵BC平面A1C1CA， ∴ CM为BM在平面A1C1CA内的射影，BM∴ CMB为二面角BA1DA的平面角

A1C1D AAM1G FCGE B1 B 在平面A1C1CA中，∵ C1CCA2，D为C1C的中点 ∴ CG2，DC1，在直角CDG中，CM∴ tanCMB25 5BC5，即二面角BA1DA的大小为arctan5分 CM（3）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD，其位置为AC的中点

证明如下：

∵ABCA1B1C1是直三棱柱， ∴B1C1∥BC

由（1），知BC平面A1C1CA， ∴B1C1⊥平面A1C1CA， ∴ EF在平面A1C1CA内的射影为C1F

∵ F为AC的中点 ∴ C1FA1D ∴ EFA1D 同理可证 EFBD ∴

EF平面A1BD

∵ E为定点，平面A1BD为定平面 ∴点F唯一 解二（向量法，B版本） （1）同解一

（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，分别以向量CB、

zA1E yCA、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由C1CCBCA2， D、E分别是棱C1C、B1C1的中点，得C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），B1（2，0，2）， A1（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）

∴ BD(2，0，1），BA，设平面A1BD的一个1(2，2，2）法向量为n(1,,)，则

C1 B1D FC A xB20nBD0  即

2220nBA10解得1，2，即n(1，1，2） 又 平面A1C1CA的一个法向量为m（1，0，0） ∴ ＜n，m＞= nm|n||m|16166，即二面角BA1DA的大小为arccos

66（3）由F是线段AC的中点，得F（0，1，0），则FE=（1，1，2）， ∵ n(1，1，2），FE=n

∴ n∥FE， 又n(1，1，2）为平面A1BD的一个法向量， 所以 FE⊥平面A1BD，即 EF⊥平面A1BD．