班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.为虚数单位，A．
（ ）
B．
C．
D．1
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3.已知变量和满足关系
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关
，变量与正相关． 下列结论中正确的是（ ）
4.表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
不相交，则（ ）
5.函数A．C．
的定义域为（ ）
B．D．
6.设A．C．
，定义符号函数
则（ ）
B．D．
7.在区间
上随机取两个数
，记
为事件“
”的概率，
为事件“
”
的概率，则（ ） A．C．
B．D．
8.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） A．对任意的C．对任意的
，，
同时增加B．当D．当
时，时，
个单位 ；当；当
时，时，
9.已知集合A．77
B．49
，
，则
，定义集合
中元素的个数为（ ）
C．45
D．30
二、填空题
1.已知向量2.若变量3.函数
，满足约束条件
，则
则
_________．
的最大值是_________．
的零点个数为_________．
4.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间
内，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）直方图中的_________；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________．
5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
_________m．
6.如图，已知圆与轴相切于点
，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且
．
（Ⅰ）圆的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________．
7.a为实数，函数在区间上的最大值记为
． 当_________时，
的值最小．
三、解答题
1.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数并填入了部分数据，如下表：
在某一个周期内的图象时，列表
0 0 5 0 的解析式；
的图象离原点最近的
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数（Ⅱ）将
图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到
图象，求
对称中心．
2.（本小题满分12分）设等差数列的公差为d，前n项和为
，． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）当
时，记
，求数列
的前n项和
．
，等比数列的公比为q．已知，，
3.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点
是的中点，连接．
（Ⅰ）证明：平面若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马
． 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；的体积为
，求
的值．
的体积为，四面体
4.（本小题满分14分）设函数，的定义域均为其中e为自然对数的底数． （Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，（Ⅱ）设
，
，证明：当
时，
，且，
是奇函数，；
．
是偶函数，，
5.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所
示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
湖北高三高中数学高考真卷答案及解析
一、选择题
1.为虚数单位，A．
（ ）
B．
C．
D．1
【答案】A． 【解析】因为，所以应选． 【考点】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质．
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【答案】B．
【解析】设这批米内夹谷的个数为，则由题意并结合简单随机抽样可知，
，即
，
故应选．
【考点】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算．
3.已知变量和满足关系，变量与正相关． 下列结论中正确的是（ ）
A．与负相关，与负相关
B．与正相关，与正相关 C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关
【答案】A．
【解析】因为变量和满足关系，其中，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设，则将代入即可得到：，所以，所以与负相关，综上可知，应选．
【考点】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容． 4.表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（ ） A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】A． 【解析】若p：是异面直线，由异面直线的定义知，不相交，所以命题q：分条件；反过来，若q：不相交，则可能平行，也可能异面，所以不能推出必要条件，故应选．
【考点】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题． 5.函数A．C．
的定义域为（ ）
不相交成立，即p是q的充是异面直线，即p不是q的
B．D．
【答案】C． 【解析】由函数
的表达式可知，函数
的定义域应满足条件：
，解之得
，即函数的定义域为，故应选．
【考点】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容． 6.设A．C．
，定义符号函数
则（ ）
B．D．
【答案】D． 【解析】对于选项
，右边
，而左边
，显然不正确；对于选项
，右边
，而左边，显然不正确；对于选项，右边，而左边
，显然不正确；对于选项，右边，而左边，显然正确；故应选
．
【考点】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题． 7.在区间
上随机取两个数
，记
为事件“
”的概率，
为事件“
”
的概率，则（ ） A．C．
B．D．
【答案】B．
【解析】由题意知，事件“
”的概率为
，事件“
”的概率
，其中
，，所以，故应选
．
【考点】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域．
8.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位 长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） A．对任意的C．对任意的
，，
B．当D．当时，时，；当；当时，时，
【答案】D．
【解析】不妨设双曲线
，所以
，
，所以
，所以
，所以
，所以
，所以
；当
．
时，
，所以
，当
时，
的焦点在轴上，即其方程为：
，则双曲线
的方程为：
；故应选
【考点】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系．
9.已知集合，，定义集合
，则
A．77
B．49
中元素的个数为（ ）
C．45
D．30
【答案】C．
【解析】由题意知，
义集合可知，或．当时，所以此时中元素的个数有：个；当时，这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同，即此时有素的个数为个，故应选．
【考点】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题．
，
，
，所以由新定
，，中元
，
，由分类计数原理知，
二、填空题
1.已知向量，【答案】． 【解析】因为向量
，则，所以
_________． ，即
，所以
，即
，
故应填．
【考点】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题． 2.若变量
满足约束条件
则
的最大值是_________．
【答案】．
【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数
过点取得最大值，即，故应填．
【考点】本题考查线性规划的最值问题，属基础题． 3.函数【答案】． 【解析】函数
的零点个数等价于方程与
的根的个数，即函数
的零点个数为_________．
的图像交点个数．于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图
可知，函数与的图像有2个交点．
【考点】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题．
4.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间
内，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）直方图中的_________；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000．
【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得， 解之得．于是消费金额在区间内频率为，所以消费金额在区间
内的购物者的人数为：，故应填3；6000．
【考点】本题考查频率分布直方图，属基础题．
5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
_________m．
【答案】【解析】在即
． 中，
，
，所以
，根据正弦定理知，
，
，故应填
．
【考点】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题．
6.如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且
．
（Ⅰ）圆的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】设点的坐标为，则由圆与轴相切于点径令
．又因为得：
，所以
，即
．设圆在点处的切线方程为
，解之得
．即圆在点处的切线方程为
知，点的横坐标为，即
，则圆心到其距离为：
，半
，
，所以圆的标准方程为
，于是令可得
，即圆在点处的切线在轴上的截距为，故应填和． 【考点】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题．
7.a为实数，函数在区间上的最大值记为． 当_________时，的值最小． 【答案】． 【解析】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当时，函数在区间，时，大值
；④当上单调递增，所以，而
在区间时，
；②当，所以上递增，在
上递减．当在区间
时，此时；③当
时，
取得最 时，
取得最
上递增，当
大值，则在上递减，上递增，即当
时，的值最小．故应填．
【考点】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题．
三、解答题
1.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数并填入了部分数据，如下表：
在某一个周期内的图象时，列表
0 5 0 0 的解析式；
的图象离原点最近的
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数（Ⅱ）将对称中心．
【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得
图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到
图象，求
．数据补全如下表：
且函数表达式为
；（Ⅱ）离原点最近的对称中心为
，
，
． ，解得
． 数据补全如下
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：表：
且函数表达式为（Ⅱ）由（Ⅰ）知
． 令最近的对称中心为
，解得
．
． ，因此 ，
．即
图象的对称中心为
．因为
，
的对称中心为，其中离原点
，
【考点】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题．
2.（本小题满分12分）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知
，． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）当
时，记
，求数列
的前n项和
．
，，
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由题意有， 即，解得 或
故或．
（Ⅱ）由， ①． ② ①-②可得， 故
，知，，故
，于是
．
【考点】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题．
3.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点
是的中点，连接．
（Ⅰ）证明：平面若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马【答案】（Ⅰ）因为所以平面．
，所以
． 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；的体积为
，求
的值． 为长方形，有
，点是
，而的中点，所以
，． 而
的体积为，四面体底面平面平面
，所以，所以．四面体
． 由底面． 又因为
是一个鳖臑；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因为底面，所以． 由底面所以平面． 平面，所以． 又因为
，所以平面． 由平面，平面
角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是（Ⅱ）由已知，的高，
是阳马，所以
的高，所以
．在
△
为长方形，有，而，
，点是的中点，所以． 而，可知四面体的四个面都是直角三
；由（Ⅰ）知，
中，因为
，点是
是鳖臑的中点，所以
，于是
【考点】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题．
4.（本小题满分14分）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数． （Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，； （Ⅱ）设
，
，证明：当
，
时，
．证明：当，即⑤
时，
． ，
，故
【答案】（Ⅰ）又由基本不等式，有
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
⑥
当时，等价于 ⑦ 等价于
当
，即
上为减函数，从而
．
②
⑧
于是设函数 时，（1）若
，由⑤⑥，有
，由③④，得，故在上为增函数，从而，故⑦成立．（2）若，由③④，得，故在，即
，故⑧成立．综合⑦⑧，得
,
的奇偶性及，
，
，故
．
③
，即
④
， ⑤
,①得：
【解析】（Ⅰ）由联立①②解得当
时，
又由基本不等式，有（Ⅱ）由（Ⅰ）得
， ⑥ 当
时，
等价于
， ⑦
上为增函数，从而
，故在
，即
上为减函数，从而
．
等价于设函数 当时，（1）若
，即
⑧
，由⑤⑥，有
，由③④，得，故在，故⑦成立．（2）若，由③④，得
，故⑧成立．综合⑦⑧，得
【考点】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题．
5.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所
示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）【解析】（Ⅰ）因为
，当
为，短半轴长为，其方程为
重合，即
或
，都有， 由
．
消去，可得
，
（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，
，当
的面积取得最小值8．
在x轴上时，等号成立；同理
轴时，等号成立． 所以椭圆C的中心为原点，长半轴长
（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为（2）当直线的斜率存在时，设直线
．因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以
即又由
． ① 可得
，可得
． ②
；同理可得
．由原点到直线
的距离为
和
将①代入②得，
．因
． 当
，则
时，
，
，所以
；当时，，当且仅
当时取等号．所以当时，的最小值为8．
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．
【考点】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．
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