四年级数学应用题专题--相遇问题
一、知识要点：
相遇问题是行程问题的一种典型应用题，也是相向运动的问题．无论是走路、行车还是物体的移动，总是要涉及到三个量：路程、速度、时间．
路程、速度、时间三者之间的数量关系 路程＝速度×时间， 速度＝路程÷时间， 时间＝路程÷速度． 二、学法引导：
相遇问题的计算关系式为：总路程＝速度和×相遇时间 “总路程”指两人从出发到相遇共同的路程； “速度和”指两人在单位时间内共同走的路程； “相遇时间”指从出发到相遇所经的时间．
通常情况下对于相遇问题的求解还要借助线段图来进行直观地分析和理解题意，以突破难点．
三、解题技巧：
一般的相遇问题：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在A地到B地之间的某处相遇，实质上是甲、乙两人一起走了A←→B这段路程，如果两人同时出发，那么有：
（1）甲走的路程＋乙走的路程＝全程
（2）甲（乙）走的路程＝甲（乙）的速度×相遇时间
（3）全程＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间
四、例题精讲：
例1. 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过3.5小时两车相遇．两个车站之间的铁路长多少千米？
解法一、
（48＋78）×3.5 ＝126×3.5
＝441（千米）
答：两个车站之间的铁路长441千米． 解法二、
48×3.5＋78×3.5
＝168＋273 ＝441（千米）
答：两个车站之间的铁路长441千米．
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例2. A、D两地相距520千米，甲骑摩托车每小时行30千米，乙骑电动车每小时行驶20千米，几小时以后还相距70千米没有相遇？
（520－70）÷（30＋20） ＝450÷50 ＝9（时）
答：9小时以后还相距70千米没有相遇．
例3. A、D两地相距520千米，甲骑摩托车每小时行30千米，乙骑电动车每小时行驶20千米，几小时相遇以后相距70千米？
（520＋70）÷（30＋20） ＝590÷50 ＝11.8（时）
答：11.8小时相遇以后相距70千米
例4. 甲、乙两站相距840千米，两列火车同时从两站相对开出，8小时后相遇，第一列火车的速度是每小时56千米，问第二列火车的速度是多少？
解法一、
（840－56×8）÷8 ＝（840－448）÷8 ＝392÷8 ＝49（千米）
答：第二列火车的速度是每小时49千米． 解法二、 840÷8－56 ＝105－56 ＝49（千米）
答：第二列火车的速度是每小时49千米．
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例5. 甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？
（680－60×2）÷（60＋80） ＝（680－120）÷140 ＝560÷140 ＝4（时）
答：快车开出4小时后两车相遇．
小结： 解答一般的相遇问题，我们常规的思路是，抓住相遇问题的基本数量关系：
（甲速＋乙速）×相遇时间＝路程来解答．但有一些相遇问题的已知和所求比较特殊，如果仍采用常规的解题思路就难以解决问题，针对各种不同的情况，下面介绍几种特殊的解题方法．
一、抓住两个数量差并采用对应的思维方法
例1. 甲车从A城到B城，速度是50千米/小时．乙车从B城到A城，速度是40千米/小时．两车同时出发，结果在离A、B两城的中点C 30千米的地方相遇，求A、B两城间的路程？
分析与解：这道题的条件与问题如图所示．要求A、B两城的距离，关键是求出相遇时间．因路程是未知的，所以用路程÷（甲速＋乙速）求相遇时间有一定的困难．抓住题设中隐含的两个数量差，即甲车与乙车的速度差：50千米/小时－40千米/小时＝10千米/小时；相遇时两车的路差：30千米×2＝60千米．再将其对应起来思维：正因为甲车每小时比乙车多走10千米，所以甲车多走60千米所花去的时间6小时正是两车相遇的时间．因此，求A、B两地距离的综合算式是：
（50＋40）×[30×2÷（50－40）] ＝90×[60÷10] ＝90×6
＝540（千米）．
答：A、B两地的路程是540千米． 二、突出不变量并采用整体的思维方法
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例2. A、B两地间的公路长96千米，张华骑自行车自A往B，王涛骑摩托车自B往A，他们同时出发，经过80分两人相遇，王涛到A地后马上折回，在第一次相遇后40分追上张华，王涛到B地后马上折回，问再过多少时间两个人再相遇？
分析与解：根据题意张华、王涛三次相遇情况可画示意图．这道题如果从常规思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的．但可根据题中小张、小王三次相遇各自的车速不变和在相距96千米的两地其同时相向而行相遇时间不变，进行整体思维．从图中可以看到：第三次相遇时，王涛走的路程是2AB＋BE张华走的路程是AE，两人走的总路程是3个AB，所花的时间是80×3＝240（分）．可见，从第二次相遇到第三次相遇所经过的时间的综合算式是：
80×3－80－40＝120（分）．
答：再经过120分钟两人再次相遇．
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1、甲、乙两列火车同时从相距735千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？
2、两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行85千米，乙车每小时行78千米，经过6.5小时两车相遇．两个车站之间的铁路长多少千米？
3、两人骑马同时从相距165千米的两地相对跑来，5小时相遇．第一匹马每小时跑15千米，第二匹马每小时跑多少千米？第二匹马比第一匹马多跑多少千米？
4、小明和张楠分别从相距4320米的甲乙两地同时相对而行，小明骑车每分钟走160米，是张楠步行速度的2倍，多少分钟后两人相遇？
5、甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米．已知乙船每小时行42千米，甲船平均每小时行多少千米？
6、一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇．已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？
7、甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇．乙车每小时行多少千米？
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【试题答案】
1、甲、乙两列火车同时从相距735千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？ 735÷（85＋90）
＝735÷175 ＝4.2（时）
答：4.2小时两列火车相遇．
2、两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行85千米，乙车每小时行78千米，经过6.5小时两车相遇．两个车站之间的铁路长多少千米？
（85＋78）×6.5 ＝163×6.5
＝1059.5（千米）
答：两个车站之间的铁路长1059.5千米．
3、两人骑马同时从相距165千米的两地相对跑来，5小时相遇．第一匹马每小时跑15千米，第二匹马每小时跑多少千米？第二匹马比第一匹马多跑多少千米？
165÷5－15 （18－15）× 5 ＝33－15 ＝3×5
＝18（千米） ＝15（千米）
答：第二匹马每小时跑18千米．第二匹马比第一匹马多跑15千米． 4、小明和张楠分别从相距4320米的甲乙两地同时相对而行，小明骑车每分钟走160米，是张楠步行速度的2倍，多少分钟后两人相遇？
4320÷（160÷2＋160） ＝4320÷（80＋160） ＝4320÷240 ＝18（分钟）
答：18分钟后两人相遇．
5、甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米．已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？ （654－22）÷8－42 ＝632÷8－42
＝79－42
＝37（千米）
答：甲船平均每小时行驶37千米．
6、一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇．已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？
172.5÷3＝57.5（千米）
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（57.5－31.5）÷2
＝26÷2
＝13（千米）
13＋31.5＝44.5（千米）
答：汽车每小时行驶44.5千米，自行车每小时行驶13千米．
7、甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇．乙车每小时行多少千米？
480－45×（5－1） ＝480－180 ＝300（千米）
300÷5＝60（千米）
答：乙车每小时行驶60千米．
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