知识梳理直线的方程和两条直线的位置关系

【考纲要求】

1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；

2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；

4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；

5、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；

6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 【知识网络】

直线的倾斜角和斜率直线的方程（五种形式）直线两条直线的位置关系对称问题【考点梳理】

平行与垂直距离中心对称轴对称

考点一：直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角

一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角（如图）：

0要点诠释：（1）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

（2）直线l的倾斜角的取值范围是：0180（或0) 2．直线的斜率

直线l的倾斜角的正切值叫做此直线的斜率，记作ktan。 要点诠释：当直线l与x轴垂直时，直线l的斜率不存在. 3．直线的倾斜角与斜率间的关系

（1）直线的倾斜角和斜率都是直线方向的数量表示.它们反映了直线关于x轴正向的倾斜程度. （2）每条直线都存在唯一的倾斜角，但并非每条直线都存在斜率.

000（3）当k0时，0；当k0时，(0,90)；当k0时，(90,180)。 4．过两点直线的斜率

已知两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线l

00当x1x2，即l与x垂直时，直线l的斜率不存在； 当x1x2，即l与x不垂直时，直线l的斜率为：k考点二：直线的方程

1、点斜式：yy0k(xx0)（斜率存在）

y2y1 (x1x20)。

x2x1第1页 共8页

2、斜截式：ykxb（斜率存在）

3、两点式：

yy1xx1（直线不平行于坐标轴） y2y1x2x1xy1（横纵截距存在且不为零） ab4、截距式：

5、一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

要点诠释：前四种方程的应用是有限制条件的，用直线方程的一般形式解题可避免因考虑不周而导致失误。

考点三：两直线的位置关系

1．特殊情况下的两直线平行与垂直． (1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；

(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为90），另一条直线的倾斜角为0时，两直线互相垂直。 2．斜率都存在时两直线的平行：

（1）已知直线l1:yk1xb1和l2:yk2xb2，则l1//l2k1=k2且b1b2

（2）已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20(A1B1C10,A2B2C20)，则

000l1∥l2A1B1C1 A2B2C2王新敞要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。 3．斜率都存在时两直线的垂直：

（1）已知直线l1:yk1xb1和l2:yk2xb2，则 l1l2k1k21； （2）已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，则

l1l2A1A2B1B20．

4．两条直线是否相交的判断

两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：

A1xB1yC10是否有唯一解。 A2xB2yC205．点到直线距离公式：

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d6．两平行线间的距离公式

已知两条平行直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：AxByC20，则l1与l2的

Ax0By0CAB22

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距离为dC1C2AB22。

要点诠释：一般在其中一条直线l1上随意地取一点M，再求出点M到另一条直线l2的距离即可。 考点四：对称问题

1．点关于点成中心对称

点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P(2ax0,2by0)。

2．点关于直线成轴对称

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：

yy0k1xx0设点P(x0,y0)关于直线ykxb的对称点为P(x,y)，则有，求出x、y。

yy0kx0xb22特殊地，点P(x0,y0)关于直线xa的对称点为P(2ax0,y0)；点P(x0,y0)关于直线yb的对称点为P(x0,2by0)。

3．曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称

一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。 4．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)； （2）点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)； （3）点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)； （4）点(x,y)关于直线xy0的对称点为(y,x)； （5）点(x,y)关于直线xy0的对称点为(y,x)。 【典型例题】

类型一：直线的倾斜角与斜率

例1．直线xcos3y20的倾斜角的范围是 A．5,, B．0,662265, 6C．0,55 D． ,666第3页 共8页

【思路点拨】已知条件中直线xcos3y20中的角并不是这条直线的倾斜角. 【答案】B

【解析】由直线xcos3y20， 所以直线的斜率为kcos． 3cos． 3 设直线的倾斜角为，则tan 又因为333cos3，即， tan3333365,． 6 所以0,【总结升华】本题要求正确理解直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系。

【举一反三】

【变式】已知动直线ykx2k1 与直线l : y1x2的交点在第一象限，求k的取值范围。 2y l C O A x

B （2，1）【答案】：由题意可知，动直线l过定点C, （0，2）直线l与x轴，y轴分别交于点A，B, （4，0）由图可知kACkkBC时，动直线与直线l交点在第一象限,

011211,kBC,

4(2)60(2)211∴k 为所求.

62kAC类型二：两直线的位置关系

B(2，2)，D(4，2)，例2．四边形ABCD的顶点为A(2，试判断四边形ABCD222)，C(0，222)，

的形状．

【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.

【解析】AB边所在直线的斜率kAB2， 2CD边所在直线的斜率kCD2， 2BC边所在直线的斜率kBC2， DA边所在直线的斜率kDA2．

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∵kABkCD，kBCkDA，∴AB∥CD，BC∥DA，即四边形ABCD为平行四边形．

又kABkBC2(2)1，∴ABBC，即四边形ABCD为矩形． 2【总结升华】证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.

【举一反三】

【变式1】直线l1: ax+(1-a)y=3与直线l2: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值。 【答案】方法一：当a=1时，l1: x=3, l2: y2, ∴l1⊥l2 53643 当a时，l1: yx, l2: x, 显然两直线不垂直

5552a31a23 当a≠1且a时，l1: y, l2: y xx2a1a12a32a3a1aa1a ∴ k1，由k1·k2=-1 得 ,k21，解得a=-3

a12a3a12a3 ∴当a=1或a=-3时，l1⊥l2。

方法二：∵a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3 ∴当a=1或a=-3时，l1⊥l2。

类型三：直线的方程

例3．过点P(2，1)作直线l与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.

【思路点拨】因直线l已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线l的点斜式方程，且易知k<0，再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解.

【解析】解法一：设直线l的方程为:y-1=k(x-2)，

令y=0，得:x=

2k1； k令x=0，得y=1-2k，

∵l与x轴、y轴的交点均在正半轴上， ∴

2k1>0且1-2k>0 k故k<0，

12k11111(12k)(4k4)2(4k)44 △AOB的面积S2k2k2k11当且仅当-4k=-，即k=-时，

k2S取最小值4，

1(x-2)，即:x+2y-4=0. 2xy解法二：设直线方程为1，

ab故所求方程为y-1=-∴A(a，0)，B(0，b)，且a>0，b>0， ∵点P(2，1)在直线l上，故

212121，由均值不等式:1=2得ab8,当且仅当ababab第5页 共8页

2111xy，即a=4，b=2时取等号，且S=ab=4，此时l方程为1,即:x+2y-4=0. ab2242解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN， 垂足分别为M、N，设=∠PAM=∠BPN，则△AOB面积 S=S矩形OMPN+S△PAM+S△BPN =2111cot2tan22cot2tan 2211cot2tan,即tan时，S△AOB 221有最小值4，故此时直线l的方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.

2=4，当且仅当

【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”. 已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

【举一反三】

【变式1】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；

12xy1【答案】由题设，设所求直线方程为1，由已知条件得:ab

ab|a||b|解之得:a1a3， 或b1b3故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0.

【变式2】直线l过点P(1,4)，且在两轴上的截距之和为零，求l的方程。 【答案】（1）若直线l过原点，设直线l：ykx,

因为直线l过点P(1,4)，代入上式得41k，解得k4 所以直线l的方程为；y4x.

（2）若直线l在两轴上截距不为零，设l的方程为：将P(1,4) 代入上式得：∴

xy1， aa141，解得a5， aaxy1，即xy50, 55由（1）、（2）知：直线l的方程为y4x或xy50.

类型三：对称问题

例4．求直线a:2xy40关于直线l:3x4y10对称的直线b的方程。

【思路点拨】1. 曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。

2. 由平面几何知识可知，若a与b关于l对称，则应具有下列几何性质：

（1）若点A在直线a上，则A点关于l的对称点B一定在直线b上，即l为线段AB的垂直平分线

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（ABl，AB的中点在l上）；

（2）设P(x,y)是所求直线b上一点，则P关于l的对称点P(x,y)的坐标适合直线a的方程； （3）若a与b相交，则l过a与b交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若a//l，则b//l//a，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案。 【解析】方法一：在直线a:2xy40上取一点A(2,0)，设A点于l的对称点B(x0,y0)，

y00x0234104822则，解得B(,)，

55y004x0232xy40，解得交点D(3,2)。

3x4y10由两点式可求得直线b的方程：2x11y160。

方法二：设P(x,y)是所求直线b上任一点；设P关于l的对称点P(x,y)，

由7x24y6yy'xx'x'34102522则有：，解得

yy'4y'24x7y825xx'3∵P(x,y)在直线a:2xy40上，

7x24y624x7y840，整理得2x11y160， ∴22525故所求直线b的方程：2x11y160。

【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论。

2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a为二次曲线C，仍可用此方法解决。

【举一反三】

【变式】由点P（2，3）发出的光线射到直线xy1上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．

【答案】：4x5y10

解析：设点P关于直线xy1的对称点P(x0,y0)，则P(x0,y0)满足条件

x02y031,22 y301,x20解得P(4,3)，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为y1即4x5y10． 类型五：综合应用

例5．过点M(0,1)作直线l，使其夹在两直线l1:x3y100，和l1:2xy80之间的线段被M平分，求直线l的方程。

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31(x1)， 41【思路点拨】求直线方程需两个条件，现已知l过M(0,1)，需再求出l上的一个点或l的斜率。 【解析】方法一：设l1lP1, l2lP2, l1l2P. 过M作MQ//l1交l2于Q点，则Q为PP2中点， 由x3y100x2解得，∴点P坐标为（2，4），

2xy80y41又MQ的方程为：y-1=(x-0)，即x-3y+3=0,

3∴ 由x3y30x3 得，∴Q点坐标为（3，2）。

2xy80y2由中点坐标公式可得P2坐标为（4，0）， ∴ 由两点式可得直线l的方程为：

xy1即x+4y-4=0。 4方法二：由图示可得l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+1，

由由x3y100710k1得P1点坐标为（，），

ykx13k13k12xy8078k2可解得P2点坐标为（，），

k2k2ykx1∵M（0，1）是P1P2的中点，∴∴ 直线l的方程为：y177+=0，解之得k=-，

43k1k21x1，即x+4y-4=0. 4方法三：设P1坐标为（m, n），由M（0，1）为P1P2中点，∴ P2点坐标为(-m,2-n)， ∵P1∈l1, P2∈l2. ∴有m-3n+10=0, 2m+n+6=0. 由m3n100m4，解得，

2mn60n2由两点式可得l方程：

y2x4即x+4y-4=0。 1204【总结升华】两个条件确定直线，求直线方程可用直接法也可用待定系数法。熟练运用中点坐标公式，灵活运用直线方程形式，对简化解题过程是十分必要的。 【举一反三】 【变式】直线l与直线x=1相交于P点，与直线9x+3y-1=0相交于Q点，并且线段PQ的中点为（那么直线l的斜率是（ ）

1, 3），32525 （B） （C）- （D）- 52521【答案】B；设P（1，y1），由P，Q中点为（，3），

3114故Q点横坐标为-，代入9x+3y-1=0中得Q（-，），

333145所以得P（1，），∴tan=.

32（A）

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