高中数学学习资料
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2016 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共 1．直线
10 小题，每题
5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选型中，
只有一个是吻合题目要求的 .
x﹣ y﹣ 3=0 的倾斜角是（
）
A ． 30° B． 60° C． 120°D． 150° 2 A= x y=2 x } ，会集
．若会集
{ |
，则 A
B=
∩ （
）
A ．（ 0， +∞） B．（ 1， +∞） C． [ 0， +∞） D．（﹣ ∞， +∞）
y=3sin（ x+
3．为了获取函数 y=3sin （2x +
）， x∈R 的图象，只需把函数 ）， x∈ R 的图
象上所有的点的（
A ．横坐标伸长到原来的 B．横坐标缩短到原来的 C．纵坐标伸长到原来的 D．纵坐标缩短到原来的
）
2 倍，纵坐标不变
倍，纵坐标不变 2 倍，横坐标不变 倍，横坐标不变
4．在复平面内，复数 的充要条件是（
z= （ a﹣ 1） +（ a+1） i （a∈ R， i 为虚数单位）对应的点位于第三象限 ）
A ． a＞ 1 B ． a＜ 1 C． a＞﹣ 1 5．双曲线 （ A ．
D ．a＜﹣ 1
﹣
=1（ a＞ 0 ， b＞ 0）的一条渐近线方程是 y= x，则该双曲线的离心率是
） B．
C． D．
t1
6
．执行以下列图的程序框图，若是输入的∈ [ ﹣ 2
， ] ，则输出的
s
属于（ ）
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四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)
A．[ 0，1]
B．[ ， ] C．[ 0， ] D．[ 1， ）
M ， N 两点， O 为坐标原点，则△ MON
7．过抛物线 A ． 2 8．已知点 范围是（
2
x=4y 的焦点任作素来线 l 交抛物线于
的面积的最小值为（ ）
D． 8
B．2C．4 ）
M 是边长为 2 的正方形 ABCD 的内切圆内（含界线）一动点，则
? 的取值
A．[ ﹣1，0] B．[ ﹣1， 2] C．[ ﹣1，3] D ．[ ﹣ 1，4] A ． 32 B． 10+10 10．已知 f（ x）=
9．已知正项等比数列 { an} 满足 a5 +a4﹣ a3﹣ a2=5，则 a6+a7 的最小值为（
C． 20 D ．28
2
）
x
++c（ b，c 为常数）和 g（x） =
x+ 是定义在 M= { x| 1≤ x≤4} 上的
函数，对任意的 x∈M ，存在 x0∈M 使得 f （ x）≥ f （x0）， g（x）≥ g（x0），且 f （ x0） =g （x0），则 f（ x）在会集 M 上的最大值为（
）
A ．
B． 5 C． 6
D． 8
二、填空题：本大题共
5 小题，每题 5 分，共 25 分.
11．计算： lg25 ﹣ 2lg
=
．
12．某小组 4 个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是
．
13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被： 100g 以内 0.7 元，每增加 100g（不足 100g 按 100g 计） 0.4 元，某人从绵阳邮寄一本重420g 的书到上海，则他应付资费为 元．
2y d ， 2
14．已知点 P 在单位圆 x + =1 上运动， P 到直线 3x ﹣ 4y﹣ 10=0 与 x=3 的距离分为 d1、 2 则 d1+d2 的最小值是 ．
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15．现定义一种运算 “⊕ ”：对任意实数 a， b， a⊕ b=
2，设 f （ x） =（ x﹣ 2x ）
x 3 g x =f x k x k
⊕（ + ），若函数 （ ）（ ）+ 的图象与 轴恰有三个公共点， 则实数 的取值范围是
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．某市在 “国际禁毒日 ”期间，连续若干天宣布了 “珍爱生命，原理毒品 ”的电视公益广告， 希望让更多的市民知道毒品的危害性， 禁毒志愿者为了认识这则广告的宣传收效， 随机抽取 了 100 名年龄阶段性在 [ 10，20）， [ 20， 30）， [ 30， 40），[ 40， 50）， [ 50， 60）的市民进行 问卷检查，由此获取样本频率分布直方图以下列图．
（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在 取的人数；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式获取的
[ 30， 40）的人数；
5 人，求 [ 50，60）年龄段抽
[ 50， 60）年龄
（Ⅱ） 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取
5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者，求
段仅 1 人获奖的概率．
44
17．已知函数 f （ x） =cosx﹣ 2sinxcosx ﹣ sinx．
（1）若 x 是某三角形的一个内角，且 （2）当 x∈ [ 0，
f （ x） =﹣
，求角 x 的大小；
] 时，求 f （x）的最小值及获取最小值时 x 的会集．
an} 的前 n 项和 Sn 满足： S5=30 S10=110 bn} 的前 n 项和 Tn 满足： 18
，数列 { ．已知等差数列 { ，
*
T = b﹣ （ n∈ N ）． nn
（ 1）求 Sn 与 bn；
（ 2）比较 Snbn 与 Tnan 的大小，并说明原由．
2
19．已知二次函数 f（ x） =x +4x+m（m∈R，m 为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过
这三个交点的圆为圆 C． （I ）求 m 的取值范围；
（Ⅱ）试证明圆 C 过定点（与 m 的取值没关），并求出该定点的坐标． 20 C
．已知椭圆 ：+ 为 ．
=1 a b （ ＞
0
＞ ）的离心率为
，短轴的一个端点到焦点的距离
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
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（Ⅱ）可否存在 C 的左焦点
段 MN 的垂直均分 与
x 交于点
F 且不与 x 重合的直 P，与
C 交于点 Q，使得四 形
m，与 C 交于 M ，N 两点，
MPNQ 菱形？
若存在， 求出直 m 的方程；若不存在， 明原由．
mx2．
21．已知函数 f （ x） =xlnx
（Ⅰ）当 （Ⅱ）若
m=0 ，求函数
f（ x）的 区 ；
＞ 1 任意的
x∈[
， e2] 恒成立，求 数
m 的取 范 ；
（Ⅲ）若 x1，x2∈（
4，1）， x1 +x2＜ 1，求 ： x1x2＜（ x1+x2）．（参照数据： ⋯）
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2016 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）
参照答案与试题解析
一、选择题：本大题共 1．直线
10 小题，每题
5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选型中，
只有一个是吻合题目要求的 .
x﹣ y﹣ 3=0 的倾斜角是（
）
A ． 30° B． 60° C． 120°D． 150° 【考点】 直线的倾斜角．
【解析】 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
θ θ 0 180°
【解答】 解：设直线的倾斜角为 ， ∈[ ， ）． ∴tanθ= ． ∴θ=60°． 应选： B． 2
A=
．若会集 { |
x y=2 x } ，会集
，则 A
B=
∩ （
）
A ．（ 0， +∞） B．（ 1， +∞） C． [ 0， +∞） 【考点】 函数的定义域及其求法；交集及其运算． 【解析】 求出会集 A 中函数的定义域确定出 出 A 与 B 的交集即可． 会集 B 中的函数 y= 则 A ∩B= [ 0， +∞）．应选 C
D．（﹣ ∞， +∞）
A ，求出会集 B 中函数的定义域确定出
B ，求
x
【解答】 解：会集 A 中的函数 y=2， x∈ R，即 A=R ，
， x≥ 0，即 B=[ 0， +∞），
3 ．为了获取函数
y=3sin 2x （ +
x R
）， ∈ 的图象，只需把函数
y=3sin x x R
（ + ）， ∈ 的图
象上所有的点的（ ）
A ．横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的
y=Asin
【考点】 函数
倍，横坐标不变
ωx φ
（ + ）的图象变换．
【解析】获取函数 的图象，只需把函数
的
图象上所有的点横坐标变为原来的一半
【解答】 解：由函数图象变换的规则函数 的图象，可以由函数
的图象上所有的点横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变获取
应选 B．
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4
．在复平面内，复数
的充要条件是（
（﹣）+（+） ）
z= a 1 a 1 i
R i
（ ∈ ， 为虚数单位）对应的点位于第三象限
a
A ． a＞ 1 B ． a＜ 1 C． a＞﹣ 1 D ．a＜﹣ 1
【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【解析】 利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．
a R z= a 1 a 1 i a 1 a 1
【解答】 解： ∈ ，复数 （ ﹣ ）+（ + ） 对应的点（ ﹣ ， + ）位于第三象限的充
要条件是 应选： D．
，解得 a＜﹣ 1．
5．双曲线 （ A ．
﹣=1（ a＞ 0， b＞ 0）的一条渐近线方程是
y= x，则该双曲线的离心率是
）
B．C．D．
【考点】 双曲线的简单性质． 【解析】 依照双曲线
=1（a＞ 0， b＞0）的渐近线的方程，得出 = ，再利用离
心率 e= =
计算．
【解答】 解：双曲线
=1（a＞ 0， b＞0）的渐近线的方程为： y=± x，
∵双曲线的一条渐近线方程是
y= x，
∴ = ，
则离心率 e= =
= = = ．
应选： B
6．执行以下列图的程序框图，若是输入的 t∈ [ ﹣ 1，2] ，则输出的 s 属于（ ）
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A．[ 0，1]
B ．[
， ]C．[0， ]
D．[ 1，
）
【考点】 程序框图．
【解析】 该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为 的分类标准， 由分支结构中可否两条分支上对应的语句行， 定 S 的区间．
t＜ 我们可得，分段函数
我们易得函数的解析式， 从而确
【解答】 解：执行程序框图，有
t 1 2
输入的 ∈[ ﹣ ， ] ， S=
，
输出 S 的值， 由﹣ 1
t
时， S=2∈ [
S=2t
，
）；
2
0 1
=1﹣（ t﹣ 1） ∈ [ ， ] ， 时， ﹣
2 s 0 t 1
属于 [ ， 此分段函数在 ∈ [ ﹣ ， ] 时，输出的
应选： C．
2
2
t
] ．
7．过抛物线 x =4y 的焦点任作素来线 的面积的最小值为（ ） A．2B．2C．4
【考点】 抛物线的简单性质．
D． 8
l 交抛物线于 M ， N 两点， O 为坐标原点，则△ MON
【解析】 设 M （ x1， y1）， N （x2， y2），则 S=
2
2
| OF| ?| x1﹣x2| ，直线 l 方程为 y=kx +1 代入
﹣ 4kx ﹣ 4=0，由此能求出△ OAB 的面积．
0 1 l y=kx 1
【解答】 解：抛物线焦点为（ ），直线 方程为 ， + ， x =4y 得： x
2
2
代入 x =4y 得： x ﹣ 4kx ﹣ 4=0 ，
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∴ x1+x2=4k ， x1x2=﹣ 4，
∴| x1﹣ x2| =
≥ 4，
∴S= | OF| ?| x1﹣ x2| ≥ 2，
∴△ MON 的面积的最小值为 应选： A．
2．
8．已知点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 的内切圆内（含界线）一动点，则 范围是（
）
?
的取值
A．[ ﹣1，0] B．[ ﹣1， 2] C．[ ﹣1，3] D ．[ ﹣ 1，4] 【考点】 平面向量数量积的运算．
21 M x y 1 2 1 0 x
【解析】 以下列图，由题意可得：点 所在的圆的方程为： （ ﹣ ） +（ ﹣ ） ≤ （ ≤
22
? =（ x﹣ 1）+y﹣ 1，由 ≤2，0≤ y≤ 2）．可设点 M（ x，y）可得 ∈[ 0，
2] ，即可得出．
【解答】 解：以下列图，
22
由题意可得：点 M 所在的圆的方程为： （ x﹣ 1） +（y﹣ 1） ≤1（ 0≤ x≤ 2， 0≤ y≤ 2）． 可设点 M （ x， y）
A （ 0，0）， B（ 2， 0）． ∴ 由
2
2
2
? =（﹣ x，﹣ y） ?（ 2﹣ x，﹣ y）=﹣ x（ 2﹣x） +y =（x﹣ 1） +y ﹣ 1，
∈[ 0，2] ，
? ∈[﹣1，3] ，
∴
应选： C．
9．已知正项等比数列 { an} 满足 5 + 4﹣ A ． 32 B． 10+10 C． 20 D ．28 【考点】 等比数列的通项公式．
a a a a
3﹣ 2=5
，则 a6+ 7
a
的最小值为（
）
2【解析】 设正项等比数列 { an} 的公比为 q＞ 1，由于 a5+a4﹣ a3﹣ a2=5，可得（ q﹣ 1）（ a3+a2）
=5．因此 a6+a7=q （ a3+a2）= 质即可得出．
4=
，再利用基本不等式的性
【解答】 解：设正项等比数列 { an} 的公比为 q＞ 1，
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∵ a5+a4﹣ a3﹣ a2=5，
2
∴（ q﹣ 1）（a3+a2） =5．
4
则 a6+a7=q（ a3+a2）=
= = ≥
10=20
，当且仅当 +
q
2
=2，即 q=
时取等号．
应选： C．
10．已知 f（ x）= 函数，对任意的
2
x+ +c（ b，c 为常数）和 g（x） = x+
是定义在 M= { x| 1≤ x≤4} 上的
x∈M ，存在 x0∈M 使得 f （ x）≥ f （x0）， g（x）≥ g（x0），且 f （ x0） =g
）
（x0），则 f（ x）在会集 M 上的最大值为（ A ．
B． 5
C． 6
D． 8
【考点】 函数的最值及其几何意义． 【解析】 由基本不等式可得
g（x）≥ 1（当且仅当 x= ，即 x=2 时，等号成立） ，从而可
得 c=﹣ 1﹣ ，求导 f′（x） =x ﹣=
，从而可得 b=8 ， c=﹣5，从而解得．
【解答】 解：∵ g（ x） = （当且仅当
x+ ≥ 2 =1，
x= ，即 x=2 时，等号成立） ，
∴ f （2） =2+ +c=g（ 2） =1， ∴ c= ﹣ 1﹣ ，
22
∴f （x） = x+ = x+ ﹣ 1﹣ ，
∴f ′（ x）=x ﹣ =
，
∵ f （x）在 x=2 处有最小值，
∴f ′（ 2）=0， 即 b=8 ，故 c=﹣ 5，
故 f （x） =
2x+ ﹣ 5，f ′（ x）=
，
f x 1 2 2 4
故 （ ）在 [ ， ] 上是减函数，在 [ ， ] 上是增函数，
f 1 = 8 5= f 4 =8 2 5=5 而 （ ） ， （ ） + ﹣ ， + ﹣
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故 f （x）的最大值为 5，应选： B．
二、填空题：本大题共 11．计算： lg25 ﹣ 2lg
5 小题，每题 = 2 ．
5 分，共 25 分.
【考点】 对数的运算性质．
【解析】 直接利用对数的运算法规化简求解即可． 【解答】 解： lg25 ﹣ 2lg =lg25 +lg4=lg100=2 ．
故答案为： 2．
12．某小组 4 个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是 127 ．
【考点】 众数、中位数、平均数． 【解答】 解：依照茎叶图，获取 因此中位数是 故答案为： 127．
【解析】 依照茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．
4 位同学的成绩为： 114， 126，128， 132，
=127 ．
13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被： 计） 0.4 元，某人从绵阳邮寄一本重
100g 以内 0.7 元，每增加 100g（不足 100g 按 100g
2.3 元．
420g 的书到上海，则他应付资费为
【考点】 依照实责问题选择函数种类；分段函数的应用． 【解析】 依照邮资标准进行求解即可．
【解答】 解：邮寄一本重 420g 的书，其中 100 克付费 0.7 元，节余 420﹣ 100=320， 每增加 100g（不足 100g 按 100g 计） 0.4 元， 则需要付 × 4=1.6 元， 则共付费 0.7+1.6=2.3 元， 故答案为：
2+y2
=1 上运动， P 到直线 3x﹣ 4y﹣ 10=0 与 x=3 的距离分为
．
、d ，
14．已知点 P 在单位圆 x 则 d1+d2 的最小值是
d1 2
5﹣
【考点】 直线与圆的地址关系．
【解析】 设点 P（ cosu， sinu），求出 P 到直线 3x﹣ 4y﹣ 10=0 与 x=3 的距离分为 d1、 d2，即可求出 d1+d2 的最小值．
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【解答】 解：设点 P（ cosu， sinu）， P 到直线 3x﹣ 4y ﹣l0=0 的距离为
d1= | 3cosu﹣ 4sinu﹣
10| = （ 10﹣ 3cosu+4sinu）， d =3
cosu
2 ﹣，∴1 ﹣t ），
d +d =
2
10 3cosu 4sinu 3 cosu=5 4sinu 8cosu =5
）+ ﹣ （ ﹣ ﹣ ） + + （ +
sin u
（
∴它的最小值 =5﹣ 故答案为： 5﹣
．
．
15．现定义一种运算 “⊕ ”：对任意实数 a⊕ b= ，设
2
f （ x） =（ x﹣ 2x ） a， b，
k 的取值范围是
⊕（ x+3），若函数 g（ x）=f（ x）+k 的图象与 x 轴恰有三个公共点，则实数
2 1 [ ﹣ ，﹣ ） ．
【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．
f （ x）的解析式，作其图象，结合图象解得． 【解析】 利用定义比较的大小，从而化简
22
【解答】 解：∵ x﹣ 2x﹣（ x+3）﹣ 1=x ﹣ 3x﹣ 4=（x﹣ 4）（x+1），
f x = 2x x 3 =
∴ （ ） （ ﹣ ）⊕（ + ）
x2，
作函数 y=f （x）的图象以下，
结合图象可知，
当﹣ 1＜﹣ k≤ 2 时，函数 g（x） =f （ x） +k 的图象与 x 轴恰有三个公共点，故答案为： [ ﹣ 2，﹣ 1）．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
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16．某市在 “国 禁毒日 ”期 ， 若干天 布了 希望 更多的市民知道毒品的危害性，
“珍 生命，原理毒品
禁毒志愿者 了认识 广告的宣 收效，
”的 公益广告，
随机抽取
了 100 名年 段性在 [ 10，20）， [ 20， 30）， [ 30， 40），[ 40， 50）， [ 50， 60）的市民 行 卷 ，由此获取 本 率分布直方 如 所示．
30 40
（Ⅰ）求随机抽取的市民中年 段在 [ ， ）的人数； （Ⅱ） 从不小于 40 的人中按年 段分 抽 的方法随机抽取 取的人数；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式获取的 段 1 人 的概率．
5 人，求 [ 50，60）年 段抽
5 人中再抽取 2 人作 本次活 的 者，求
[ 50， 60）年
【考点】 列 法 算基本事件数及事件 生的概率； 率分布直方 ． 【解析】（ I ）由 率分布直方 求出随机抽取的市民中年 段在
30 40 [ ， ）的人数． 求出随机抽取的市民中年 段在
（II ）由 率分布直方 求出不小于 40 的人的 数是 段抽取的人数． 法能求出从 率．
[ 30， 40）的 率，由此能
25 人，由此能求出在 [ 50，60）年
（III ）所抽 5 人中有 3
5 人中再抽取
人是在 [ 40，50）年 段，有 2 人是在 [ 50，60）年 段，由此利用列
2 人作 本次活 的 者，
[ 50， 60）年 段 1 人 的概
【解答】 解：（ I）由 率分布直方 知，随机抽取的市民中年 段在 1 10
×（ + ） ， + +
∴随机抽取的市民中年 段在 [ 30， 40）的人数 100× 0.3=30 人． ⋯ （II ）由（ I）知，年 段在 100× 0.1=10 人，即不小于
[ 40， 50），[ 50， 60）的人数分 40 的人的 数是
10 ×
[ 30， 40）的 率 ：
100× 0.15=15 人，
25 人， =2
50 60
∴在 [ ， ）年 段抽取的人数 （III
人． ⋯
）由（ II ）知，所抽 5 人中有 3
人是在 [ 40， 50）年 段中获取， A 1，A 2，A 3；
B1，B 2，
有 2 人是在 [ 50， 60）年 段中获取，
A 1， A 2），（ A 1， A 3），（A 1， B1）， ∴从 5 人中再抽取 2 人作 本次活 的 者的可能有（
（A 1，B2），（A 2，A3），（ A 2， B1），（ A 2，B2），（A 3， B1），（ A3，B2），（ B 1，B2）共 10 种，其中 [ 50，60）年 段 1 人 的情况有 （A 1， B1），（A 1， B2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3， B2）共 6 种，
∴[ 50， 60）年 段
1 人 的概率 P= ． ⋯
4
17．已知函数 f （ x） =cosx 42sinxcosx sinx．
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（1 ）若 x 是某三角形的一个内角，且 f （ x） =﹣ ，求角 x 的大小；
x
2 x 0 f x
] 时，求 （ ）的最小值及获取最小值时 （ ）当 ∈ [ ，
【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
的会集．
【解析】（ 1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得
cos（ 2x+ ） =
﹣ ，依照 x∈（ 0， π），利用余弦函数的性质即可得解．
2 x 0 （ ）由 ∈ [ ， 的最小值为﹣
2x
] ，可得 +
∈ [，
．
] ，利用余弦函数的图象和性质可得
f x （ ）
，此时 2x +
=π，即 x=
4
【解答】 解：（ 1）∵ f（x） =cos x﹣ 2sinxcosx ﹣sin x
4
2222
=（cosx+sinx）（ cosx﹣ sinx）﹣ sin2x=cos2x ﹣ sin2x
= （ = f
cos2x﹣ sin2x ）
cos（ 2x+ ），
= ） ﹣
cos 2x
，可得： （ +
∈（
x = cos 2x
∴ （ ） （ +
x
∵由题意可得： ∴x=
=
） ﹣ ．
0 π 2x
∈（ ， ），可得： + ．
2x
，
=
+
或
），可得：
，
或
（2）∵ x∈[ 0，
] ， 2x+ ∈ [
，
] ，
cos 2x 1 ∴ （ + ）∈[﹣ ， x = cos 2x
∴ （ ） （ + x ∴ （ ）的最小值为﹣ 18．已知等差数列 f f
] ，
）∈[ ﹣
1 ， ] ．
2x
，此时 + =π x=
，即
．
{ an} 的前 n 项和 Sn 满足： S5=30 ，S10=110，数列 { bn} 的前 n 项和 Tn 满足：
*
﹣ （ n∈ N ）．
Tn= bn
（1）求 Sn 与 bn；
（2）比较 Snbn 与 Tnan 的大小，并说明原由． 【考点】 数列的求和；数列递推式．
【解析】（ 1）由等差数列前 n 项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出差数列
{ an}
的前 n 项和 Sn；由 ，能求出数列 { bn} 的通项公式．
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2 n﹣1 n
（2）推 出 Snbn=（ n +n） ?3 ，T nan=n?（3 1），利用作差法能比 小． 【解答】 解：（ 1） 等差数列 { an} 的首 a1，公差 d， ∵差数列 { an} 的前 n 和 Sn 足： S5=30 ，S10=110，
Snbn 与 Tnan 的大
∴
，解得 ，
∴ an=2 +（ n 1）× 2=2n， Sn=
n
n ⋯
=n + ．
2
bn
∵数列 { b } 的前 n 和 T 足： T
n
n=
*（n∈ N ），
∴ 又
，解得 b1=1，
*
，n∈ N ，
∴T n+1 T n= 即
=
*
， n∈ N ，
*
， n∈N ，
整理得 bn+1=3b n，即
=3（常数），
∴数列 { bn} 是以 1 首 ， 3 公比的等比数列，
n﹣1
∴ bn=3 ． ⋯ （2）∵ Tn= bn=
，
n
n﹣ 1
∴
S
2 n3n﹣ 1
nbn=（ n + ） ?
2
，
T
1
nan=n?（ 3），
n
n﹣ 1
于是 Snbn T nan=（ n +n） ?3 n?（ 3 1） =n[ 3 （ n 2） +1] ， ⋯ 当 n=1 ， Snbn Tnan=0 ，即 Snbn=T nan；
*
当 n≥ 2（ n∈ N ） ， Snbn T nan＞ 0，即 Snbn＞ T nan．
*
∴ 上，当 n=1 ， S ．⋯ ；当 n≥ 2（ n∈ N ） ， S ＞ T
nbn=T nan nbn nan
19．已知二次函数
三个交点的 （I ）求 m 的取 范 ；
f（ x） =x
2
4x m m R m
+ + （ ∈ ， 常数）的 象与坐 有三个交点，
C．
（Ⅱ） 明 C 定点（与 m 的取 没关），并求出 定点的坐 ． 【考点】 二次函数的性 ．
【解析】（Ⅰ）由二次函数 象与两坐 有三个交点，获取抛物 不 原点，再令 获取关于 x 的一元二次方程有两个不相等的 数根， 范 ；
y=0，
获取根的判 式大于 0，即可获取 m 的
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y 2 Dx Ey F=0 y=0 x
（Ⅱ） 所求 方程 ，令 获取关于 的方程， 与已知方程 同一方 + + + +
程，确定出 D 与 F，令 x=0 获取关于 y 的方程，将 y=m 代入表示出 E，将 D、 E、 F 代入即可确定出 C 的方程， 而可求 C 定点．
x2【解答】 解：（ I）令 x=0，得抛物 与
2
令 f （x） =x +4x+m=0，
由 意得： m≠0 且△＞ 0，即 m≠ 0 且 解得： m＜ 4 且 m≠0；
y 交点是（ 0， m）；
16 4m＞ 0
x 2 2 Dx
+
+
yEy F=0 ， （Ⅱ） 明： 所求 的一般方程
22
令 y=0 得： x+Dx +F=0 与 x+4x +m=0= 是同一个方程，故 D=4 ， F=m；
2
令 x=0 得： y+Ey+F=0，此方程有一个根 m，代入得出 E= m 1，
22
∴ C 的方程 x+y+4x （ m+1）
22
y+m=0． ∴x+y+4x y+（ y+1） m=0
+ +
∴
，
∴
或 ，
∴ C 定点（ 0， 1）和（ 4， 1）．
20
．已知 ．
（Ⅰ）求
C
： +
=1 a b 0
（ ＞ ＞ ）的离心率
，短 的一个端点到焦点的距离
C 的方程；
（Ⅱ）可否存在
段 MN 的垂直均分 与 若存在， 求出直 【考点】 的 性 ．
C 的左焦点 F 且不与 x 重合的直 m，与 C 交于 M ，N 两点，
x 交于点 P，与 C 交于点 Q，使得四 形
MPNQ 菱形？
m 的方程；若不存在， 明原由．
【解析】（Ⅰ）由 的离心率 此能求出
C 的方程．
m
，短 的一个端点到焦点的距离
，求出 a， b，由
（Ⅱ）假 存在直 ，依 意可 由此利用 达定理、中点坐 公式、 性 能求出 【解答】 解：（Ⅰ） 的右焦点 由 意有 e=
x=ky
，与 立，得（
1
22k 2 y
+ ）
2ky
1=0
，
m 的方程．
F（ c， 0）， ，
= ， =
即 a= ， c=1，b=1 ，
∴ C 的方程
． ⋯
m，依 意可
x=ky
1，
（Ⅱ）假 存在直
于是
22
，消去 x，可得（ k+2） y
2ky 1=0 ，
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令 M （ x1， y1）， N （x2， y2）， 于是 y1+y2=
∴MN 的中点 A 的坐 （ ∵PQ⊥l ，
， x1+x2=k（ y1+y2） 2=
， ⋯
，
）．
∴直 PQ 的方程 y 令 y=0 ，解得 x=
= k（ x+ ，即 P（
）， ，0）． ⋯
∵P、 Q 关于 A 点 称， Q（ x0， y0）， ∴ 解得 x0=
= （ x0
， y0=
2 2
）， ，即 Q（
2
=
（ y0+0），
，
）．⋯
∵点 Q 在 上，
∴（ ） + （ ，于是
x+
） =2， ，即 或 y=
2解得 k=
，
x
∴m 的方程 y= ． ⋯
21．已知函数 f （ x） =xlnx mx
2．
（Ⅰ）当 m=0 ，求函数 f（ x）的 区 ；
（Ⅱ）若
＞ 1 任意的 x∈[
2
， e] 恒成立，求 数
m 的取 范 ；
（Ⅲ）若 x1，x2∈（
4，1）， x1 +x2＜ 1，求 ： x1x2＜（ x1+x2）．（参照数据： ⋯）
【考点】 利用 数求 区 上函数的最 ；利用 数研究函数的 性．
【解析】（Ⅰ） m=0 ，求出函数的 数，解关于 函数的不等式，求出函数的 区 即可；
（Ⅱ） 整理得
＜m＜
m 的范 即可；
，令 g（ x） = ，令 h（ x） = ，依照
函数的 性求出
（Ⅲ）依照基本不等式的解法即可 明不等式．
【解答】 解：（ I）当 m=0 ， f （x） =xlnx ，x＞ 0，得 f ′（ x） =lnx +1， 由 lnx+1＞ 0，解得 x＞ ，即 f （x）在（ ，+∞）上 增；由 lnx+1＜ 0，解得 0＜ x＜ ，即 f（ x）在（ 0， ）上 减．
∴ 上， f（ x）的 增区 （ ， +∞）， 减区 （ 0， ）． ⋯
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（II ）已知 x∈ [
2
， e] ，于是
＞ 1 形
＞ 1 ，
从而 整理得
＞ ，即 0＜ lnx mx＜x 1，
＜ m＜
⋯
g x = 令 （ ） ∴g（ x） max=g （
， ）=
g′ x = （ ） 1
，
0 g x
＜ ，即 （ ）在 [
e，
2
] 上是减函数，
令 h（ x）= 当
， h′（x） = ，
h（ x） 增；
＜ x＜ e ， h′（x）＞ 0，即此
2
而 h（
） =
2
＞ h（ e） =
，
∴ h（ x） min= ∴
1＜ m＜⋯
， +∞）上是增函数，
（III ）由（ I）知当 m=0 ， f （x） =xlnx 在（
∵ ＜x1＜ x1+x2＜ 1，
∴ f （x1+x2） =（x1+x2） ln（ x1+x2）＞ f （ x1） =x1lnx 1， 即 lnx 1＜
ln（ x1+x2），同理 lnx 2＜
ln （x1+x2），
因此 lnx 1+lnx 2＜（
+
） ln（ x1+x2）=（ 2+
+
） ln（ x1+x2），
又因 ） 2+
+ ≥ 4，当且 当
x1=x 2 ，取等号．
又 x1， x2∈（ ， 1）， x1+x2＜ 1， ln（ x1+x2 ），
∴（ 2+ + ） ln（ x1+x2）≤ 4，
∴ lnx 1+lnx 2＜ 4ln（ x1+x2），
4
∴ x1x2＜（ x1+x2） ． ⋯
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2016年10月16日
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