圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

　　教学目标 

　　1.使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；

　　2.使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；

　　3.培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.

　　教学重点和难点

　　圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点.

　　教学过程 设计

　　一、创设情景，引入新课

　　圆是轴对称图形.圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题.今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性.

　　1.动态演示，发现规律

　　投影出示图7－47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后.问：

　　(1)结果怎样？

　　学生答：和原来的平行四边形重合.

　　(2)这样的图形叫做什么图形？

　　学生答：中心对称图形.

　　投影出示图7－48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°.由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.

　　投影继续演示如图7－49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，45°，

　　90°，让学生观察发现什么结论？

　　得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合.

　　进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么？

　　学生答：仍然与原来的图形重合.

　　于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性.即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合.

　　2.圆心角，弦心距的概念.

　　我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角

　　∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图7－50.(如有条件可电脑闪动显示图形.)

　　在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上.

　　在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书.

　　顶点在圆心的角叫做圆心角.

　　再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦.请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？

　　学生答：过圆心O作弦AB的垂线.

　　在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距.如图7－51.(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系.(引出课题)

　　二、大胆猜想，发现定理

　　在图7－52中，再画一圆心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，请大家大胆猜想，其余三组量 与 ，弦AB与A′B′，弦心距OM与OM′的大小关系如何？

　　学生很容易猜出： =，AB=A′B′，OM=OM′.

　　教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？

　　学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到 =，怎样证明弧相等呢？

　　让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？

　　学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.

　　请同学们想一想，你用什么方法让 和 重合呢？

　　学生：旋转.

　　下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明 =.

　　把∠AOB连同 旋转，使OA与OA′重合，电脑开始显示旋转过程.教师边演示边提问.

　　我们发现射线OB与射线OB′也会重合，为什么？

　　学生：因为∠AOB=∠A′OB′，

　　所以射线OB与射线OB′重合.

　　要证明 与 重合，关键在于点A与点A′，点B与点B′是否分别重合.这两对点分别重合吗？

　　学生：重合.

　　你能说明理由吗？

　　学生：因为OA=OA′，OB=OB′，

　　所以点A与点A′重合，点B与点B′重合.

　　当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？

　　学生： 与 重合，弦AB与A′B′重合，OM与OM′重合.

　　为什么OM也与OM′重合呢？

　　学生：根据垂线的唯一性.

　　于是有结论： =，AB=A′B′，OM＝OM′.

　　以上证明运用了圆的旋转不变性.得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题.

　　教师板书定理.

　　定理：在同圆____中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

　　教师引导学生补全定理内容.

　　投影显示如图7－53，⊙O与⊙O′为等圆，∠AOB=∠A′O′B′，OM与

　　O′M′分别为AB与A′B′的弦心距，请学生回答 与 .AB与A′B′，OM与O′M′还相等吗？为什么？

　　在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆.(投影显示叠合过程)

　　这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整.

　　然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：

　　定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等.请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？

　　在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法.

　　最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论.

　　请学生归纳，教师板书.

　　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

　　三、巩固应用、变式练习

　　例1 判断题，下列说法正确吗？为什么？

　　(1)如图7－54：因为∠AOB=∠A′OB′，所以AB=.

　　(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么 =.

　　分析：(1)、(2)都是不对的.在图7－54中，因为 和 不在同圆或等圆中，不能用定理.对于(2)也缺少了等圆的条件.可让学生举反例说明.

　　例2 如图7－55，点P在⊙O上，点O在∠EPF的角平分线上，∠EPF的两边交⊙O于点A和B.求证：PA=PB.

　　让学生先思考，再叙述思路，教师板书示范.

　　证明：作OM⊥PA，ON⊥PB，垂足为M，N.

　　把P点当做运动的点，将例2演变如下：

　　变式1(投影打出)

　　已知：如图7－56，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.

　　求证：AB=CD.

　　师生共同分析之后，由学生口述证明过程.

　　变式2(投影打出)

　　已知：如图7－57，⊙O的弦AB，CD相交于点P，∠APO=∠CPO，

　　求证：AB=CD.

　　由学生口述证题思路.

　　说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可利用其它方法来证，只不过前者较为简便.

　　练习1 已知：如图7－58，AD=BC.

　　求证：AB=CD.

　　师生共同分析后，学生练习，一学生上黑板板演.

　　变式练习.已知：如图7－58， =，求证：AB=CD.

　　四、师生共同小结

　　教师提问：

　　(1)这节课学习了哪些具体内容？

　　(2)本节的定理和推论是用什么方法证明的？

　　(3)应注意哪些问题？

　　在学生回答的基础上，教师总结.

　　(1)这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形.得到圆的特性——圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论.这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据.

　　(2)本节通过观察——猜想——论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想.

　　(3)在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件.

　　五、布置作业 

　　思考题：已知AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和 CD的弦心距，如果AB＞CD，那么OM和ON有什么关系？为什么？

　　板书设计 

　　课堂教学设计说明

　　这份教案为1课时.

　　如果内容多，部分练习题可在下节课中处理.

　　——摘自《初中几何教案》