长周期结构考虑瞬态响应随机振动抗震分析

长周期结构考虑瞬态响应随机振动抗震分析　王庆芬胥斌　（山东省东营市公路管理局，山东东营２５７５１１）　摘要：文章推导了单自由度体系在虚拟简谐激励作用下自由振动、伴生自由振动和稳态振动的解析解；通过　引入频率比简化了伴生自由振动和稳态振动幅值比的计算公式，应用在工程结构上能与精确值吻合。提出了　多自由度系统采用虚拟激励法进行抗震分析中考虑伴生自由振动的算法。最后通过算例分别在时域和频域中　验证了文中公式的正确性。　关键词：长周期结构；伴生自由振动；随机振动；虚拟激励法；相位角　中图分类号：ＴＵ３１　１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９—２３７４（２０１　１）１９－００３７－０２　结构受迫振动的位移响应根据振动特性可分为，瞬　其中，Ｈ（ｉ∞）为频响函数，　态振动与稳态振动共存的过渡段和瞬态振动完全衰减后　Ｈ（ｆ　）＝　ｋ——－ｍ０９２＋ｉｏ．￣，　（４）　的稳态振动段。瞬态振动包含了由初始条件决定的自由　随机振动方法的计算是以稳态振动为基础的，也就　振动和伴随干扰力作用产生的伴生自由振动。通常认为　是假定输入过程从ｔ＝一ｏｏ时开始所导致的结果。适合于　由于阻尼的作用瞬态振动会很快衰减，过渡段很短，因　类似由机械偏心等平稳激励引起的振动，激励的作用　此研究的意义不大，而只考虑稳态振动的部分。　时间很长，不可能出现短的有限持时。但实际地震动　采用随机振动方法进行长周期结构抗震分析如果忽　输入是从ｔ＝０开始的，整个地震动持时内结构可能一直　略瞬态振动的影响，将会大大低估相应的功率谱。本　处于具有伴生自由振动的过渡段。　文利用推导得到的结构在虚拟简谐激励下的响应解析表　文［１～４］已经推导得到了单自由度系统在　达式，从幅值和衰减速度方面证明了考虑伴生自由振动　ｐ（ｔ）＝ｐｓｉｎ０９ｔ作用下的全解，下面推导单自由度系统在　的必要性；通过引入伴生频响函数提出了考虑伴生自由　单位虚拟简谐激励ｐ（ｆ）＝ｅ　作用下的全解。假定初始条　振动的长周期结构抗震随机振动的分析方法，并利用虚　件为：　【０）＝Ｙ。、　【ｏ）＝　。，解（２）得：　拟激励法推广到多自由度系统中。　Ｙ＝Ｂ１＋Ｂ２＋Ｂ３　（５）　、单自由度系统在虚拟简谐激励作用下　其中：　一．　振动方程的全解　Ｂｌ＝ｅ　Ｉ　Ｙ０　ｃｏｓ％Ｈ　ｓｉｎ％　根据经典随机振动理论，地面激励可以看做是一系　Ｂ２＝ｅ一他　【＿（ｃｌ＋Ｃ２）ｃ０ｓ％■Ｇ　ｓｉｎ￣ｔ］　＝列简谐分量的叠加，只要把各简谐分量引起的结构反　【ｃ一　）ｓｉｎ　＋【ｃ＋ｃ２）ｃｏｓ￣　：０９应叠加起来，即得到结构的实际反应。对自由度很高　ｎ　的结构，可以采用阵型叠加法实现方程的降阶，因此　ｃ：一１‘——　二　ｍ　一ｏ９２　＋４　。　其计算的基础是单自由度结构体系在单位虚拟简谐荷　ｃ１：一１　载ｅ　作用下的响应。单自由度线性系统受虚拟简谐荷　７＿—二　ｍ　一０９２　＋４　载时的运动方程为：　，１—９０（ｃ，一Ｃ２　Ｊ＋（Ｃ２＋Ｃ１＾　ｍｙ＋　＋ｋｙ：ｅ　（１）　或表示为：　式（５）中：Ｂ　Ｂｚ共同组成响应过渡段的瞬态振　＋２￣ｃｏ　ｐ＋　＝　Ｐ　（２）　动；Ｂｌ是初始条件决定的自由振动，在地震作用之前一　其中，ｍ、ｃ、ｋ分别是质量、阻尼和刚度，阻尼比　般认为结构处于静止状态，所以第一项为零；Ｂ　是伴随　＝ｃ／（２ｍ（＾）　），自振圆频率蛾：√万　。　着虚拟简谐激励的作用发生的振动，故称为伴生自由振　方程（２）中，结构响应的功率谱密度函数为：　动，其频率和体系的阻尼自振频率∞。一致；Ｂ。是虚拟简　）＝１日Ｏ　】　Ｓｘｘ（９０）　（３）　谐激励产生的稳态振动，其频率和激励频率一致。　只需要将Ｈ（ｉ∞　上下同除ｍ，并主要到‘＝ｃ／　２０１１　０７　ｏ中闽高新技筘仝业３７　（２ｍ（Ｉ）　），不难证明Ｂ３与频率响应函数Ｈ（ｉ（Ｉ））ｅｉｏｔ表　示的稳态振动是等价的。即：　振动的功率谱。　时域中采用式（５）计算结构受到激励后１Ｏｓ的过　）＝击　一Ｃ１　ｚ　（６）　（　７）　渡段位移与有限元软件ＡＮＳＹＳ时程分析结果和分段解　日（１缈　＝（ｃ１＋ｉＣ２ｘｃ０ｓ耐＋ｆｓｉｎ耐）＝Ｂ３　析法结果完全吻合。分别示出了结构的稳态响应结果　和考虑伴生自由振动的全解，可见对于频率比较小　（　＝２、３、４）的情况，结构在过渡段的震动全解　式（５）既表达了振动方程的全解，又把自由振　动、伴生自由振动和稳态振动区分开来，为下一步单　独分析各部分的影响提供了条件。　就已经比稳态振动大的多。如果结构的周期更长，这　种差别会加大，在过渡段必须考虑伴生自由振动的　影响。　频域中分别取振动开始和ｌＯｓ时刻结构响应，代表　∞＝２（Ｉ）　、３（１）　、４∞　的虚拟激励产生的幅值。三种激励　均会产生伴生自由振动，因此　ｎ处的幅值是叠加的结　（８）　二、长周期结构中伴生自由振动的影响　为了对比伴生自由振动和稳态振动的幅值，引入两　种振动幅值比Ｉ．ｔ＝伴生振动幅值／稳态振动幅值，由式　（５）得：　．　果。说明即便是频率比较小，式（１３）也是精确的。　振动开始时伴生自由振动的幅值比稳态振动幅值大的　多，并随时间逐渐衰减。ｔ＝ｌＯｓ伴生自由振动的幅值仍　约为稳态振动的两倍，可见伴生自由振动的功率谱在　随机振动抗震分析中是不可忽略的。另外，稳态振动　观察式（５）中Ｃ　、Ｃ２的表达式，∞和∞　的幂次数　相同，所以可以参照文［１］引入频率比　＝　／　，则　Ｃ　、Ｃ　、Ｃ３表示成如下的形式：　Ｃ１　１　１－，￣２　一　（９）　而　的实部和虚部基本相等，进・步验证关于稳态振动的　志　ｃ１：　二　±　㈣　（１１）　相位角会很快收敛于ｎ／４的结论，伴生自由振动的相　位角收敛相对略慢。　过渡段的伴生自由振动功率谱衰减很快，但在数值　上与稳态振动相比却要大的多。在长周期结构的随机　振动抗震分析中应按以上提出的方法计算过渡段的时　变功率谱。　√１一　将（９）、（１０）、（１１）代入（８）得幅值比ｕ　仅是Ｂ和　的函数。钢结构的阻尼比在０．Ｏ１左右，钢　筋混凝土结构的阻尼比也小于０．０５，由于　相对很　小，可忽略‘的二次项和一次项，简化近似得：　四、结论　式（５）准确表达了单自由度系统在虚拟简谐激　励作用下的全解，式（１　３）真实的反映了伴生自由　振动幅值与稳态幅值比和频率比的关系。长周期结构　舒　计值：　＋　）　（１２）　式（１２）、（９）、（１０）代入式（８）得ｕ的估　√　（１３）　的伴生幅值要远：　于稳态幅值，且结构的自振周期越　长，幅值衰减越慢，整个地震作用过程中长周期结构　将一直处于瞬态过渡段。提出了伴生频响函数，伴生　频响函数和频响函数与结构的虚拟简谐激励下的振动　全解吻合；采用伴生频响函数可以直接计算伴生自由　振动的时变功率谱。随着频率比的增加频响函数的相　位角将很快收敛于ｎ／４，伴生频响函数的相位角收敛　即使当阻尼比　达到０．１时，式（１３）仍与精确　解相差很小，比较真实的反应了幅值比与频率比的关　系。由式（１３）可知在同等激励作用下，结构的周期　越长，频率比越大，伴生自由振动的幅值比越大。当　结构周期是激励周期的１Ｏ倍时，伴生自由振动的幅值　接近稳态幅值的７倍，如果结构的周期更长，伴生自由　振动的幅值甚至超过共振幅值。从这一角度讲，长周　期结构应当考虑伴生自由振动的影响。　于一　，但比频响函数的收敛速度慢，利用此结论简化　伴生自由振动功率谱的计算方法。提出了采用虚拟激　励法考虑多自由度系统伴生自由振动的计算方法，为　长周期结构随机振动抗震分析中考虑瞬态响应的影响　提供了可行的算法。最后，通过算例验证文中公式和　计算过程在时域和频域中都是正确的。ｏ　三、算例验证　为了模拟长周期结构受到频率比　＝２、３、４的高　频激励的作用，取单自由度系统的圆频率∞　：２　ｎ、阻　尼比　＝０．０１，受到圆频率分别为（．）＝２∞　、３∞　、４（Ｉ）　的虚拟单位简谐荷载的作用。分别求解时域的稳态响　应、时域的真实响应、稳态振动的功率谱、伴生自由　（责任编辑：周加转）　３８　ｏ中闽高新技术企业２０１　１　ｏ７