第二篇专题四第1讲 等差数列、等比数列
[限时训练·素能提升] (限时45分钟，满分74分)
一、选择题(本题共7小题，每小题5分，共35分)
1．(2018·常德模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则
a1＋a14
＝ a3
A．2 B．3 C．5 D．7
解析 由a1，a2，a4成等比数列得a2＝a1a4，∴(a1＋d)＝a1(a1＋3d)，∴d＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，
2
2
2
a1＋a14a1＋a1＋13d15a1
＝＝＝5，选C. a3a1＋2d3a1
答案 C
2．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1
＋a2n<0”的
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0，则a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以
a2
q＝＜0.若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2na1
－1
＋a2n＜0.所以“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分条件．故选
C.
答案 C
3．(2018·济南模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天．在这个问题中，第5天应发大米
A．894升 B．1 170升 C．1 275升 D．1 467升
解析 由题意知，每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的5×4总人数为5×64＋×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170升．
2
答案 B
4．(2018·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0
的正整数n的值为
A．10 B．11 C．12 D．13
解析 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7 13（a1＋a13）12（a1＋a12）＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0 22的正整数n的值为12，故选C. 答案 C 85．(2018·张家界三模)已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则9当Tn取得最大值时，n的值为 A．2 B．3 C．4 D．6 81133 解析 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q＝－，q＝，q＝，此等比数列各 9273项均为负数，当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，1811n为偶数，排除B，而T2＝(－24)×＝24×8＝192，T4＝(－24)4＝84×＝>192， 9933 2 6 4 1188188 T6＝(－24)＝86×＝9＝9＝×7<.T4最大，选择C. 3333939 6 159 6664 答案 C 6．(2018·盐城模拟)已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是 A.C. 1＋5±1＋5 B. 22±1＋3－1＋3 D. 22 解析 因为公比q不为1，所以删去的数不是a1，a4. ①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q，又a1≠0，所以2q＝1＋q，整理得 2 3 2 3 q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，得q＝3 3 1＋5 ；②若删去a3，2 则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q，又a1≠0，所以2q＝1＋q，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－－1＋5±1＋5 1.又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q>0，得q＝.综上所述，q＝，故选B. 22 答案 B 7．(2018·百校联盟模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为 A．12 B．9 C．16 D．18 解析 因为S3－S2＝a3，所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3，设等比数列{an}的公比为 q，则a1＝ 332 ，由于{an}的各项为正，所以q>1.a4＋3a2＝a1q＋3a1q＝a1q(q＋3)＝ q（q－1） 2 433（q＋3）2 ＋2q(q＋3)＝＝3q－1＋≥18，当且仅当q－1＝2，即q＝3时，q－1q（q－1）q－1 a4＋3a2取得最小值为18，故选D. 答案 D 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 8．(2018·广元统考)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，等比数列{bn}满足 b2＝a3，b3＝a7，则b5的值为________． 解析 由a1＋a2＝10，a4－a3＝2可知数列a1＝4，d＝2，an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，故q＝2，b5＝b3·q＝16×4＝64. 答案 64 9．(2018·太原三模)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，若a1，ak，a2k(k∈N且k≥2)是公比为q的等比数列，则公比q的最大值为________． 解析 由题意，设公差为d，则q＝＝1＋(k－1)·， 因为a1，ak，a2k(k∈N且k≥2)是公比为q的等比数列， 所以ak＝a1·a2k，所以＝所以q＝1＋答案 2 10．(2018·衡水模拟)在数列{an}中，若an－an－1＝p(n≥2，n∈N)(p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断： ①若数列{an}是等方差数列，则数列{an}是等差数列； ②数列{(－1)}是等方差数列； ③若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k为常数，k∈N)也是等方差数列； ④若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列； 其中正确命题的序号为________． 解析 ①因为{an}是等方差数列，所以an－an－1＝p(n≥2，n∈N，p为常数)成立，得到{an}为首项是a1，公差为p的等差数列； ②因为an－an－1＝(－1)－(－1) n2 2 2n2(n－1) 2 2 2 2 * * 2 2 2 * 2 * * 2 aka1da1 d1 ， a1（k－1）2 1 ≤2，所以公比q的最大值为2. k－1 n＝1－1＝0， 所以数列{(－1)}是等方差数列； ③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，ak＋1，ak＋2，…，a2k，…，a3k，… 数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，… 因为ak＋1－ak＝ak＋2－ak＋1＝ak＋3－ak＋2＝…＝a2k－a2k－1＝p，所以(ak＋1－ak)＋(ak＋2－ak＋1)＋(ak＋3－ak＋2)＋…＋(a2k－a2k－1)＝a2k－ak＝kp，类似地，可得ak（n＋1）－akn＝kp， 所以，数列{akn}是等方差数列； ④{an}既是等方差数列，又是等差数列，所以an－an－1＝p，且an－an－1＝d(d≠0)，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 pdpan＋an－1＝，联立解得an＝＋，所以{an}为常数列，当d＝0时，显然{an}为常数列，所 d22d以该数列为常数列． 答案 ①②③④ 三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分) 11．(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. 解析 (1)设{an}的公差为d. 因为a2＋a3＝5ln 2，所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2. (2)因为ea1＝e ln 2 eanln 2 ＝2，＝ean－an－1＝e＝2， ean－1 所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列． 1－2n所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2－1)． 1－2 112* 12．(2018·山西考前适应性测试)已知等比数列{an}中，an>0，－＝，n∈N， nanan＋1an＋2 1且a1＝. 64 (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)·(log2an)，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解析 (1)设等比数列{an}的公比为q，则q>0. 112112因为－＝，所以n－1－n＝n＋1， n2 anan＋1an＋2a1qa1qa1q1n－1n－7*因为q>0，解得q＝2.所以an＝×2＝2，n∈N. 64(2)bn＝(－1)·(log2an)＝(－1)·(log22设cn＝n－7，则bn＝(－1)·(cn). n2 n2nn－72 )＝(－1)·(n－7). n2 T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝－(c1)＋(c2)＋[－(c3)]＋(c4)＋…＋[－(c2n－1)]＋(c2n) ＝(－c1＋c2)(c1＋c2)＋(－c3＋c4)(c3＋c4)＋…＋(－c2n－1＋c2n)(c2n－1＋c2n) ＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c2n－1＋c2n ＝ 2n[－6＋（2n－7）]2 ＝n(2n－13)＝2n－13n. 2 222222 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容