2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、设cosx1xsin(x)，(x)（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小

（C）与x同阶但不等价的无穷小 （D）与x是等价无穷小 【答案】（C）

【考点】同阶无穷小 【难易度】★★

2，当x0时，(x)（ ）

1cosx1xsin(x)，cosx1x2

211xsin(x)x2，即sin(x)x

22【详解】

当x0时，(x)0，sin(x)(x)

(x)

2、已知yf(x)由方程cos(xy)lnyx1确定，则limn[f()1]（ ）

n1x，即(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 22n（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A）

【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★

【详解】当x0时，y1.

2f()12f(2x)1f(2x)f(0)limn[f()1]limnlim2lim2f(0) nnx0x01nx2xn方程cos(xy)lnyx1两边同时对x求导，得

sin(xy)(yxy)1y10 y将x0，y1代入计算，得 y(0)f(0)1

1 / 12

所以，limn[f()1]2，选（A）.

n2n

3、设f(x)

xsinx[0,)，F(x)f(t)dt，则（ ）

02[,2]（A）x为F(x)的跳跃间断点 （B）x为F(x)的可去间断点 （C）F(x)在x处连续不可导 （D）F(x)在x处可导

【答案】（C）

【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】

F(0)sintdt2sintdtsintdt2，F(0)2，

002F(0)F(0)，F(x)在x处连续.

F()limxx0f(t)dtf(t)dt0x0，F()limxx0f(t)dtf(t)dt0x2，

F()F()，故F(x)在x处不可导.选（C）.

11xe1(x1)4、设函数f(x)，若反常积分f(x)dx收敛，则（ ）

11xe1xlnx（A）2 （B）2 （C）20 （D）02

【答案】（D）

【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】由

1f(x)dxf(x)dx1e1eef(x)dx

e1f(x)dx收敛可知，f(x)dx与e1f(x)dx均收敛.

e1f(x)dx1dx，x1是瑕点，因为1(x1)e11dx收敛，所以1(x1)2 / 12

112

ef(x)dxe11dx(lnx)xln1x，要使其收敛，则0

e所以，02，选D.

5、设zyxzzf(xy)，其中函数f可微，则（ ） xyxy（A）2yf(xy) （B）2yf(xy) （C）【答案】（A）

【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★

22f(xy) （D）f(xy) xxzyy2z12f(xy)f(xy)，f(xy)yf(xy) 【详解】xxxyxxzzxyy21[2f(xy)f(xy)][f(xy)yf(xy)] yxyyxxx

226、设Dk是圆域D(x,y)xy1位于第k象限的部分，记

11f(xy)yf(xy)f(xy)yf(xy)2yf(xy)，故选（A）. xxIk(yx)dxdy(k1,2,3,4)，则（ ）

Dk（A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40 【答案】（B）

【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★

【详解】根据对称性可知，I1I30.

I2(yx)dxdy0（

D2yx0），I4(yx)dxdy0（

D4yx0）

因此，选B.

7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B）

3 / 12

【考点】等价向量组 【难易度】★★

【详解】将矩阵A、C按列分块，A(1,,n)，C(1,,n)

由于ABC，故(1,b11,n)bn1b1n(1,bnn,n)

即1b111bn1n,,nb1n1bnnn

即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.

由于B可逆，故ACB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.

11a1200



8、矩阵aba与0b0相似的充分必要条件是（ ）

1a1000

（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0 （D）a2,b 为任意常数

【答案】（B）

【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★

【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.

2001a1由0b0的特征值为2，b，0可知，矩阵Aaba的特征值也是2，b，0. 0001a11因此，2EAaa11a12a4a20a0

02ba02ba21a102a101将a0代入可知，矩阵A0b0的特征值为2，b，0.

101此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选（B）.

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

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ln(1x)1)x . 9、lim(2x0x【答案】e

【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】

12ln(1x)1ln(1x)lim(2)xlim[1(1)x0x0xx

1ln(1x)1ln(1x)1(1)xxx]limex01ln(1x)(1)xxex0x1ln(1x)lim(1)x其中，lim121ln(1x)xln(1x)(1)limlim2x0xx0x0xx11x11xlim

x02x(1x)2x2故原式=e

10、设函数f(x)x11etdt，则yf(x)的反函数xf1(y)在y0处的导数

dxdy .

y0【答案】11e1

【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 【难易度】★★

【详解】由题意可知，f(1)0

f(x)

dydx1dx1exdxdydy1exy0dxdyx111e1.

11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为rcos3(积是 . 【答案】

66)，则L所围平面图形的面

 12【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解

】面积

5 / 12

1621cos61sin66266Sr()dcos3dd()

0026226120

xarctant,12、曲线上对应于t1点处的法线方程为 .

2yln1t【答案】yxln240

【考点】由参数方程所确定的函数的导数

【难易度】★★★

112(1t)22t22dydy/dtdy1tt，故【详解】由题意可知，1

1dxdx/dtdxt11t21曲线对应于t1点处的法线斜率为k当t1时，x

11. 14

，yln2.

法线方程为yln2(x

4)，即yxln240.

13、已知y1e3xxe2x，y2exxe2x，y3xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件yx00，yx01的解为y . 【答案】yeexe

【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★

【详解】y1y2e3xex，y2y3ex是对应齐次微分方程的解. 由分析知，yxe是非齐次微分方程的特解.

故原方程的通解为yC1(ee)C2exe，C1,C2为任意常数. 由yx00，yx01可得 C11，C20. 通解为yeexe.

14、设A(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若

3xx2x*2x3xx2x3xxx2xaijAij0(i,j1,2,3)，则A . 6 / 12

【答案】-1

【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★

【详解】aijAij0AijaijA*ATAA*AATAE 等式两边取行列式得AAA0或A1 当A0时，AA0A0（与已知矛盾） 所以A1.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n和a的值. 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★★

nT23cos6xcos4xcos2x11cosxcos2xcos3x4【详解】lim limnnx0x0axax3cos6xcos4xcos2x6sin6x4sin4x2sin2xlimlim x0x04axn4anxn11lim36cos6x16cos4x4cos2x n2x04an(n1)x故n20，即n2时，上式极限存在.

当n2时，由题意得

1cosxcos2xcos3x36cos6x16cos4x4cos2x36164lim1

x0x0axn8a8aa7 limn2,a7

16、（本题满分10分）

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值. 【考点】旋转体的体积 【难易度】★★

5353【详解】根据题意，Vx(x)dxx3a3

0550a132a137 / 12

Vya076762xxdxx3a3.

77013a67353因Vy10Vx，故a10a3a77. 75

17、（本题满分10分）

设平面区域D由直线x3y，y3x，xy8围成，求【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】★★

2xdxdyD

1y3xx2yxx6【详解】根据题意 ， 3y2xy8y6xy8故

xdxdyD220dxxx2dydxx323x68x328132416x2dyx4(x3x4)128303333 226

18、（本题满分10分）

设奇函数f(x)在[1,1]上具有二阶导数，且f(1)1，证明： （Ⅰ）存在(0,1)，使得f()1； （Ⅱ）存在(1,1)，使得f()f()1. 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）由于f(x)在[1,1]上为奇函数，故f(0)0

令F(x)f(x)x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且F(1)f(1)10，

F(0)f(0)00.由罗尔定理，存在(0,1)，使得F()0，即f()1.

（Ⅱ）考虑f(x)f(x)1e(f(x)f(x))e(ef(x))e

xxxx[exf(x)ex]0

xx令g(x)ef(x)e，由于f(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，

f()f()1，g()g()0.由罗尔定理可知，存在(1,1)，使得g()0，即f()f()1.

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19、（本题满分10分）

求曲线x3xyy31(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】★★★

【详解】设M(x,y)为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d构造拉格朗日函数 Fx2y2(x3xyy31)

x2y2 Fx2x(3x2y)0x1由Fy2y(3y2x)0 得 

y133Fxxyy10点(1,1)到原点的距离为d12122，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它们到原点的距离都是1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为2，最短距离为1. 20、（本题满分11分） 设函数f(x)lnx1 x（Ⅰ）求f(x)的最小值； （Ⅱ）设数列xn满足lnxn11，证明limxn存在，并求此极限.

nxn1【考点】函数的极值；单调有界准则

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）由题意，f(x)lnx令f(x)0，得唯一驻点x1

当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.

所以x1是f(x)的极小值点，即最小值点，最小值为f(1)1. （Ⅱ）由（Ⅰ）知lnxn故数列xn单调递增. 又由lnxn111x1，x0f(x)22 xxxx1111，即xn1xn 1，又由已知lnxn1，可知xnxn1xnxn111，故lnxn10xne，所以数列xn有上界. xn19 / 12

所以limxn存在，设为A.

n在lnxn111两边取极限得 lnA1

Axn1111两边取极限得 lnA1

Axn在lnxn所以lnA11A1即limxn1.

nA

21、（本题满分11分） 设曲线L的方程为y121xlnx(1xe)满足 42（Ⅰ）求L的弧长；

（Ⅱ）设D是由曲线L，直线x1，xe及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心 【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式，得

See11(y)2dxe1ee1111111(x)2dx1(x)2dx(x)2dx

1122x22x22x111211e2 (x)dx(xlnx)122x4241（Ⅱ）由形心的计算公式，得

e121x(xlnx)dxdxxdy10D42 xe1112dxdy(xlnx)dxdxdy1D04214112121e(ee)3(e42e23)1616422. 313114(e7)e12122xdxdy1121xlnx420121xlnx420e22、（本题满分11分） 设A1a01，B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所

101b有矩阵C.

【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★

x1【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设Cx310 / 12

x2.由ACCAB可得 x41ax110x3x2x1x4x3x2ax30axaax1x20101124 整理后可得方程组 x41b1bx1x3x41x2ax3b①

由于矩阵C存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：

0101111101a000101a0a10b0000b0方程组有解，故a10，b0，即a1，b0. 10a1b0当，时，增广矩阵变为0001111000000010 0001a0a10a101101a001111a00

000a1000bx3,x4为自由变量，令x31,x40，代入相应齐次方程组，得x21,x11

令x30,x41，代入相应齐次方程组，得x20,x11

故1(1,1,1,0)T，2(1,0,0,1)T，令x30,x40，得特解(1,0,0,0) 方程组的通解为xk11k22(k1k21,k1,k1,k2)T（k1,k2为任意常数）

Tk1k21k1所以C.

kk12

23、（本题满分11分）

a1设二次型f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)，记a2，

a3b1b2

b3（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2；

（Ⅱ）若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y1y2 【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩

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22TT【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）证明：

f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)

a1x1b1x12(x1,x2,x3)a2(a1,a2,a3)x2(x1,x2,x3)b2(b1,b2,b3)x2

axbx3333x1(x1,x2,x3)(2TT)x2xTAx，其中A2TT

x3所以二次型f对应的矩阵为2TT. （Ⅱ）由于,正交，故TT0

T因,均为单位向量，故1，即1.同理T1

TA2TTA(2TT)2TT2

由于0，故A有特征值12.

A(2TT)，由于0，故A有特征值21

又因为r(A)r(2)r(2)r()r()r()1123， 所以A0，故30.

22三阶矩阵A的特征值为2，1，0.因此，f在正交变换下的标准形为2y1. y2TTTTTT

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