2013年考研数学三真题答案解析(pdf)

数学三试题答案

一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．

（1）当x →0 时，用o(x) 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A）xo(x)o(x)（B）o(x)o(x)o(x)（C）o(x)o(x)o(x)（D）o(x)o(x)o(x)【答案】D【解析】o(x)o(x)o(x)，故D错误。22

2

2

2

2

2

3

2

3

|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（x(x1)ln|x|

（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】由题意可知f(x)的间断点为0,1。又）xx1exlnx1xlnx

limlim1limf(x)lim

x0x0x(x1)lnxx0x(x1)lnxx0x(x1)lnx(x)x1exln(x)1xln(x)

limlim1limf(x)lim

x0x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)xx1exlnx1xlnx1limf(x)limlimlimx1x1x(x1)lnxx1x(x1)lnxx1x(x1)lnx2

(x)x1exln(x)1xln(x)limf(x)limlimlimx1x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)故f(x)的可去间断点有2个。1（3）设Dk是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记Ik则（）22

(yx)dxdyk1,2,3,4，Dk

（A）I10（B）I20（C）I30（D）I40【答案】B【解析】令xrcos,yrsin，则有1

Ik(yx)dxdyrdr(rsinrcos)d(cossin)

03Dk

1

故当k2时，

2

,，此时有I20.故正确答案选B。23

）（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（（A）若anan1,则



(1)

n1



n1

an收敛（B）若

(1)

n1

n1

an收敛，则anan1

P

（C）若

a

n1

n

收敛，则存在常数P1,使limnan存在n



（D）若存在常数P1，使limnan存在，则n

P

a

n1

n

收敛【答案】D

11P

【解析】根据正项级数的比较判别法，当P1时，p收敛，且limnan存在，则an与p同n

n1nn1n1n



敛散，故a

n1

n

收敛.）（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价2（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】（B）【解析】由CAB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有ACB，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。11a1200（6）矩阵aba



1a1与0b0相似的充分必要条件为

000

（A）a0,b2（B）a0,b为任意常数（C）a2,b0（D）a2,b为任意常数【答案】(B)1a11a1【解析】由于aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而aba与201a11a101a1

充分必要条件为aba

的特征值为2,b,0。1a1

1a1

又EAaba[(b)(2)2a2

]，从而a0,b为任意常数。1a1

（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,22

），X3~N(5,32

),PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（）（A）P1P2P3（B）P2P1P3（C）P3P1P2（D）P1P3P2

300

b0

相似的00

【答案】（A）【解析】由X1

N0,1,X2

N0,22,X3N5,32知，p1P2X12PX12221，p2P2X22PX22211，故p1p2.由根据X3

N5,32及概率密度的对称性知，p1p2p3，故选（A）（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，则P{XY2}(（A）)1

121（B）81（C）61（D）2【答案】（C）【解析】又根据题意X,Y独立，PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1，故PXY2PX1PY1PX2PY0PX3PY1

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.．．．（9）设曲线yf(x)和yxx在点(0,1)处有公共的切线，则limnf

n21

，选（C）.6n

________。n2

【答案】2

【解析】yxx在(1,0)处的导数是y'(1)1，故f'(1)1,f(1)0，2

limnf(

n

n

)limn2n

f(1

2

)f(1)

2nn2f'(1)(2)22n2

n2

4z（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xxy确定，则x

(1,2)________。【答案】22ln2【解析】原式为e

xln(zy)

xy,左右两边求导得：xy[ln(zy)x

zx

zy]y,令x1,y2得z0,zx2(1ln2)（11）求

lnx

1(1x)2dx________。【答案】ln2【解析】lnx1lnx1lnx(1x)2dxlnxd(1x)1x+x(1x)dxx

1x+ln1x



lnx(1x)2dxlnxxlnxx1

xlim1x+ln1x1x+ln1xln2x1

（12）微分方程yy1

4y0通解为y________。1【答案】e

2xC1xC2【解析】特征方程为2

11140,2

(二重根)，所以通解为ye2xC1xC2（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，aijAij0(i,j1,2,3),则A____

【答案】1

【解析】由aijAij0可知，

ATA*Aai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3a1jA1ja2jA2ja3jA3j

3

3

a2

jij

2

1

ai1

ij0

从而有AATA*A2

,故A=-1.

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X

)=________。【答案】2e

2

5若【解析】由X

N0,1及随机变量函数的期望公式知

EXe

2X





xe

2x

1e2

x22dx

12



xe

1x2242

dx2e2.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.（15）（本题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。【解析】因为当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小所以lim

n

n

1cosxcos2xcos3x

1nx0ax又因为：1cosxcos2xcos3x

1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)

1cosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)lim

x0x0axnaxn1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)lim()x0axnaxnaxn1211xo(x2)(2x)2o(x2)(3x)2o(x2)

22lim(2)nnnx0axaxax1491a7所以n2且2a2a2a即lim

（16）（本题满分10分）设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。【解析】由题意可得：13Vx

a

0

35

(x)dxa35

a

132

Vy2

0

67

xxdxa37

135

673

因为：Vy10Vx所以a310a3a7775（17）（本题满分10分）6设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算【解析】2

222xdxdyxdxdyxdxdyD

D1

D2

3x

6

8x

2

xdxdy。D

x2dxxdyx2dxxdy

0

32

3

416

3

Q

，（P是单价，单位：1000

（18）（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价P。Q2

6000【解析】（I）设利润为l，则lPQ(20Q6000)40Q

1000边际利润l'40

Q500Q

401000（II）当P50时，边际利润为20，经济意义为：当P50时，销量每增加一个，利润增加20(III)令l'0,得Q20000，此时P60（19）（本题满分10分）设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明x

（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()

1

.a

【答案】（I）证明：limf(x)2,X,当xX时，有f(x)

x

3

，2f(x)在[0,X]上连续，根据连续函数介值定理，存在a0,X，使得f(a)1

（II）f(x)在[0,a]上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，f(a)f(0)f'()a1,(0,a)，故(0,a)，使得f'()（20）（本题满分11分）71

a设A

1a01

,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。101b

x2

，则由ACCAB可得线性方程组：x4

【解析】x1

由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C

x3

x2ax30axxax1124

x1x3x41x2ax3b

（1）01a001011

a10a1a10a1011101a0

ab01001a0

11011



aa0101

00001a

ba00001

110111

101a01a01a000b01a0b

由于方程组（1）有解，故有1a0,b1a0，即a1,b0,从而有01a0



a10a1011

01a0

从而有C

011010b00111x1k1k21

xk110021

,其中k1、k2任意.，故有

xk000031

0000x4k2

k1k21k1



k1k2

（21）（本题满分11分）a1b1

22

设二次型fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3，记a2,b2。ab33

（I）证明二次型f对应的矩阵为2；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1y2。【答案】(1)2

2

T

T

82222

f(2a12b12)x12(2a2b22)x2(2a3b32)x3(4a1a22b1b2)x1x2

(4a1a3b1b3)x1x3(4a2a32b2b3)x2x32a12b12



则f的矩阵为2a1a2b1b2

2aabb13132TT

（2）令A=2,则A22,A2，则1,2均为A的特T

T

T

T

T

T

2a1a2b1b22a22b222a2a3b2b3

a122a1a3b1b3

2a2a3b2b32a1a2

aa2a32b3213

a1a2a22a2a3

a1a3b12

a2a3b1b2

a32b1b3

b1b2b22b2b3

b1b3

b2b3b32

征值，又由于r(A)r(2)r()r()2，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特T

T

T

T

征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为2y1y2（22）（本题满分11分）22

3x2,0x1,

设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXxXx0x1的，在给定其他.0,

条件下，Y的条件概率密度fYX

3y2

,0yx,

yxx30,其他.

（1）求X,Y的概率密度fx,y；（2）Y的边缘概率密度fYy.9y2

,0x1,0yx,

yxfxXx0,其他.

【答案】（1）fx,yfYX

（2）fYy







9y2lny,0y1,

fx,ydx

0,其他.

（23）（本题满分11分）23ex,x0,

设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，X1,X2，XN为来自总体0,其它.X的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.【答案】(1)EX







xf(x)dx



0

2xx3edxexd()，令EXX，故矩估计量为X.0xx9n2xn

3ei

(2)L()f(xi;)i1xi

i1

0

当xi0时，2nn1xi03exi

i1xi

其他0

xi0其他

lnL()2nln3lnxi

i1

i1

nn

1xi

dlnL()2nn1令0，di1xi

2n2n得n，所以得极大似然估计量=n.11i1xii1xi

10