2010——2017年考研数学三真题及参考答案解析(精心整理)

2010年考研数学三真题与解析 一.选择题

1(a)e]1则a= 1.若lim[1xxxxoA0B1C2D3 2.设y,y是一阶线性非齐次微分方程yp(x)yq(x)的两个特解，若常数,使yy是该方程的解，yy是该方程对应的齐次方程的解，则 121212111,B, A12222122,D, C233333.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g(x)0.若g(x)a是g(x)的极值，则f(g(x))在x取极大值的一个充分条件是

Af(a)0Bf(a)0Cf(a)0Df(a)0 4设f(x)lnx,g(x)x,h(x)e则当x充分大时有 Ag(x)II：，，，线性表示，下列命题正5设向量组I:,,，确的是：

A若向量组I线性无关，则rsB若向量组I线性相关，则r>s

C若向量组II线性无关，则rsD若向量组II线性相

0010x1012r可由向量组12s精心整理 关，则r>s

6.设A为4阶实对称矩阵，且AA0，若A的秩为3，则A相似于

2AC

1110B

1110 0,x01F(x),0x12x1e,x11110D11107.设随机变量X的分布函数1eD1e A0B1C2211，则P（X=1)= f(x)为[-1,3]上均匀8.设f(x)为标准正态分布概率密度，af(x),x0分布的概率密度，若f(x)(a0,b0)为概率密度，bf(x),x01212则a,b满足： A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2 二.填空题 9.设可导函数y=y(x),由方程dydxx0xy0etdtxsint2dt02x确定，则

____________

1x(1lnx)210.设位于曲线y(ex)下方，x轴上方的无界

区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________

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11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为1p，其中p为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________ 12.若曲线yxaxbx1有拐点(-1,0),则b=_____________

13.设A，B为3阶矩阵，且A3,B2,AB2，则AB_________ 3321114.设1n2X1,X2,X3是来自总体N(,)(0)的简单随机样本。记统计量TXi,ni1则ET___________2 三.解答题 15.求极限lim(xx1x1)1lnx 316.计算二重积分(xy)dxdy，其中D由曲线xD1y2与直线x2y0及x2y0围成。 17.求函数u=xy+2yz在约束条件x值和最小值。 （1）比较lntln(1t)dt与t1n100n2y2z210下的最大lntdt(n1,2,)的大小，说明理由。

nn（2）记u且2f(0)2nlntln(1t)dt(n1,2,)n01,求极限limu. 19.设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，

0f(x)dxf(2)f(3)

（1）证明：存在(0,2),使f()f(0); （2）证明：存在(0,3),使f()0

精心整理 20 .

11a设A010,b1.已知线性方程组Axb存在2个不同的解。111（1）求、a.

(2)求方程组Axb的通解。21.设014A13a4a0，正交矩阵Q使得Q1(1,2,1)T6TAQ为对角矩阵，若Q的第一列为，求a、Q. 22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)Ae,x,y求常数A及条件概率密度f(yx). 2x22xyy2YX23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。 （1）求随机变量（X,Y）的概率分布； （2）求Cov（X,Y）. 2010年考研数学三之答案与解析 答案：CABCADCA 9.-110.11pe2413(p1)312.313.314.22

三解答题 15.解： 16.解:

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设F(x,y,z,)xy2yz(x2y2z210)Fxy2x0Fx2z2y0令y,最可能的最值点F2y2z0z222Fxyz1005,2),B(1,5,2),C(1,5,2),D(1,5,2),E(22,0,2),F(22,0,2).17.解：A(1,18. 19.

因为在A,D两处u55;在B,C两点处u-55；在E,F两点处u0。所以umax55，umin-55证：(1)设F(x)f(t)dt(0x2),则f(x)dxF(2)F(0).00x2根据拉格朗日中值定理，存在（0，2），使F(2)F(0)2F()2f(),即f(x)dx2f()由题设知f(x)dx2f(0),故f()f(0).0022f(2)f(3)介于f(x)在[2,3]上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理，2f(2)f(3)存在[2,3],使f().2f(2)f(3)由题设知f(0),故f()f(0).2由于f(0)f()f(),且03,根据罗尔定理，存在1（0，），(2)20.解：

2（，），使f(1)0,f(2)0,从而存在（1,2)(0,3),使得f()021 22. 23.解： （1）随机变量（X，Y）的概率分布为： XY 0 1 2 0 1/5 2/5 1/15 1 1/5 2/15 0 (2)

2011年考研数学三试题及解析

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一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．上．)

(1)已知当x0时，f(x)3sinxsin3x与cx是等价无穷小，则() (A)k1,c4.(B)k1,c4. (C)k3,c4.(D)k3,c4. (2)已知函数f(x)在x0处可导，且f(0)0，则klimx0x2fx2fx3x3=() (A)2f0.(B)f0. (C)f0.(D)0. (3)设u是数列，则下列命题正确的是() n(A)若u收敛，则(un2n1u2n)n1n1收敛.(B)若(un12n1u2n)收

敛，则u收敛. nn1(C)若u收敛，则(un2n1u2n)n1n1收敛.(D)若(un12n1u2n)收

敛，则u收敛.

nn1(4)设I40lnsinxdx，J40lncotxdx，K40lncosxdx，则I,J,K的

大小关系是()

(A)IJK．(B)IKJ．

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(C)JIK．(D)KJI． (5)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记

100P1101001，

12100P2001010，则A()

11221(A)PP． (B)PP． (C)PP．(D)PP． ,,是非齐次线性方程组Ax(6)设A为43矩阵，的3个线性无关的解，k,k为任意常数，则Ax的通解为() 12112312(A)(C)2223k1(21)2． (B)23k1(21)223． ．

3k1(21)k2(31)． (D)2k1(21)k2(31)(7)设F(x)，F(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f(x)，f(x)是连续函数，则必为概率密度的是()

(A)f(x)f(x)． (B)2f(x)F(x)． (C)f(x)F(x)． (D)f(x)F(x)f(x)F(x)． (8)设总体X服从参数为(0)的泊松分布，X,X,,X(n2)为来自总体X的简单随机样本，则对应的1212122112122112n统计量

1n1n11T1Xi,T2XinXnni1n1i11212()

1212(A)E(T)E(T)，D(T)D(T)．(B)E(T)E(T)，D(T)D(T)． (C)E(T)E(T)，D(T)D(T)．(D)E(T)E(T)，D(T)D(T)． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，

12121212精心整理

请将答案写在答题纸指定位置上．) ．．．

(9)设fxlimx13t，则fx.

xtt0xyx(10)设函数z1，则dzyy1,1.

(11)曲线tanxye在点0,0处的切线方程为. 4(12)曲线yx1，直线x2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为. (13)设二次型fx,x,xxAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换xQy下的标准形为．

(14)设二维随机变量X,Y服从正态分布N,;,;0，则EXY=． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证．．．2T123222明过程或演算步骤．) (15)(本题满分10分) xx1求极限lim1x2sin． ln1xx0(16)(本题满分10分)

已知函数fu,v具有连续的二阶偏导数，f1,12是

fu,v的极值，zfxy,fx,y，求(17)(本题满分10分) 求arcsinxlnxdxx2zxy1,1.

.

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(18)(本题满分10分)

证明4arctanxx4330恰有2实根.

(19)(本题满分10分)

设函数f(x)在0,1有连续导数，f(0)1，且

求f(x)的表达f(xy)dxdyf(t)dxdy,D(x,y)0ytx,0xt(0t1)，tDtDt式. (20)(本题满分11分) 设向量组(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)，不能由向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(3,4,a)线性表示． (I)求a的值； (II)将,,由,,线性表示． (21)(本题满分11分) A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即rA2，且TTT123TTT1231231231111A00001111． (I)求A的特征值与特征向量； (II)求矩阵A． (22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y的概率分布分别为

1 精心整理

22 且PXY1．

(Ｉ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布； (II)求ZXY的概率分布； (III)求X与Y的相关系数． (23)(本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由xy0,xy2与y0所围成的区域． (I)求边缘概率密度f(x)； (II)求条件密度函数f(x|y)． XYXX|Y2011年考研数学三试题答案 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．上．) (1)【答案】(C)． sin3x3sinxsinxcos2xcosxsin2x【解析】因为lim3sinxcx limcxx0kx0klim41x0cxk3．

所以c4,k3，故答案选(C). (2)【答案】(B)． 【解析】limx0x2fx2fx3x3

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f02f0f0．

故答案选(B). (3)【答案】(A).

【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确.

方法2：排除法，举反例． 选项(B)取uu(1)nn1n1nn(1)n，这时(un12n1u2n)0n1收敛，但发散，故选项(B)错误； (1)n1unn选项(C)取(u2n1u2n)n1，这时(1)n1unnn1n1收敛，但1n1n发散，故选项(C)错误； n选项(D)取u1，这时(un12n1u2n)0n1收敛，但un1n1n1发

散，故选项(D)错误．故正确答案为(A). (4)【答案】(B)． 【解析】因为0x时，0sinxcosx1cotx， 4又因lnx是单调递增的函数，所以lnsinxlncosxlncotx． 故正确答案为(B)． (5)【答案】(D)． 【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵B，故

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100A110B0011，

即APB，ABP．

由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵，故

11100001BE0102122， 121即PBE,故BPP．因此，APP，故选(D)． (6)【答案】(C)． 【解析】由于,,是Ax的3个线性无关的解，所以,是Ax0的两个线性无关的解，即Ax0的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项． 1233121又因为A2302，所以232是Ax0的解，不是Ax的解，故排除(D)选项，因此选(C)． 事实上，由于,,是Ax的三个线性无关的解，所以,是Ax0的两个线性无关的解，即Ax0的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3r(A)2，故r(A)1．由于AO，所以r(A)1，故r(A)1．这样，Ax0的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知,是Ax0的一个基础解系．

12321312131因为,,是Ax的解，所以A1232,A3，因此A232，

所以232是Ax的一个特解．

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由非齐次线性方程组解的结构，可知Ax的通解为

232k1(21)k2(31)．

(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)

dF1(x)F2(x)F1(x)F2(x)|1． 所以fF(x)fF(x)为概率密度. (8)【答案】(D)． 1221【解析】因为X,X,12i,XnP()， ．所以E(X)，D(X)，从而有 iEX11EX1nn 因为111n，所以ETET．12又因为1n11DT1D(Xi)2nD(X)DXni1nnn1111D(X)2D(X)2n1nn1n． ． 1211由于当n2时，1，所以DTDT． nn1n2二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．) ．．．

(9)【答案】e3x13x.

xtt0【解析】因为fxlimx13txlim13tt013t3txtxe3x，

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所以，fxe13x.

(10)【答案】12ln2dxdy.

3x【解析】

xyln(1)xyyyz(1)eyxxx,

xdzxxxxy2(1)2ln(1)dyyyyy1xyxy1dzx1xxy(1)ln(1)dxyyyy1xy,，

dz所以，dx2ln21(1,1)dz，dx12ln2(1,1)， 1,1从而dz1,112ln2dx12ln2dy或dz12ln2dxdy. (11)【答案】y2x. 【解析】方程tanxye的两端对x求导，有 4ysec2xy1yeyy4， 将x0,y0代入上式，有1yy，解得y0,02， cos214故切线方程为：y2x. (12)【答案】4. 3【解析】如图２所示： y Vydx

22121x241dx3．

0 1 2 x ２

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(13)【答案】3y．

【解析】因为A的各行元素之和为3，所以

2111A13111，故3为矩阵A的特征值．

由r(A)1知矩阵A有两个特征值为零，从而3,0． 由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为3y． (14)【答案】． 【解析】根据题意，二维随机变量X,Y服从因为0，所以由二维正态分布的性质知N,;,;0．随机变量X,Y独立，所以X,Y．从而有 EXYEXEYDYEY． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证．．．123212222xy222222明过程或演算步骤．) (15)(本题满分10分)

xx112sinxx1lim【解析】lim1x2sin ln1xxx0x02(16)(本题满分10分)

z【解析】f[(xy),f(x,y)]f[(xy),f(x,y)]f(x,y) x121由于f1,12为fu,v的极值，故f1,1f1,10，

12精心整理 所以，

2zf112,2f22,2f121,1.xy

(17)(本题满分10分)

【解析】令tx，则xt,dx2tdt，所以 (18)(本题满分10分)

2【解析】设f(x)4arctanxx433， 则f(x)14x21(3x)(3x)1x21， 2令f(x)0，解得驻点x3,x3. 所以，当x3时，故f(x)单调递减；当3x3f(x)0，时，f(x)0，故f(x)单调递增；当x3时，f(x)0，故f(x)单调递减. 又当x(,3)(3,3)时f(x)0，且f(3)0，故x(,3)时只有一个零点； 又f(3)8230344arctanxx，limfxlim3xx30，由零点定理可知，存在x03,，使fx0； 0所以，方程4arctanxx4330恰有两实根. (19)(本题满分10分) 【解析】f(t)dxdy1tf(t)， 22Dt由题设有tf(t)t01f(x)dxt2f(t)2，

上式两端求导，整理得

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(2t)f(t)2f(t)，

2为变量可分离微分方程，解得f(t)(tC2)， 带入f(0)1，得C4.所以，f(x)(x42)2,0x1.

(20)(本题满分11分)

【解析】(I)由于,,不能由,,线性表示，对(,,,,,)进行初等行变换： 12312312312331011131011101111201111202a301400a5210． 当a5时，r(,,)2r(,,,)3，此时，不能由,,线性表示，故,,不能由,,线性表示． (II)对(,,,,,)进行初等行变换： 123123111231231231231231002150104210001102， ． T故24，2，(21)(本题满分11分) 112321235110223【解析】(I)由于则

A1,21,21111A00001111，设1,0,11,21,0,1T，

征值为1,kk0．

12，即A,A，而0,0，知A的特1，对应的特征向量分别为kk0，

112212111222精心整理

由于rA2，故A0，所以0． 由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设0对应的特征向量为x,x,x，则

0,xx0,即xx0． 0,33T3123T1T2313313解此方程组，得0,1,0，故0对应的特征向量为kk0． (II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化： 110,1,0． 1,0,1,1,0,1,22T3333311T2T3T12323令Q,,，则1231QTAQ10， 22022000222200012200120002100022022．

(22)(本题满分11分) 【解析】(I)因为PXY1，所以PXY1PXY0．

即PX0,Y1PX0,Y1PX1,Y00． 利用边缘概率和联合概率的关系得到

222222PX0,Y0PX0PX0,Y1PX0,Y113；

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PX1,Y1PY1PX0,Y11313；

PX1,Y1PY1PX0,Y1．

即X,Y的概率分布为 (II)Z1,0,1． -的所有可能取值为0 1 0 10 10 PZ1PX1,Y1． 1 10 131PZ1PX1,Y1． 3PZ01PZ1PZ113． ZXY的概率分布为 1 CovXYEXYEXEY， 1/D(X)D(Y)D(X)D(Y)11，EY11010． 333XY Z -1 0 (III)因为1/P 1/XY其中 111EXYEZ1010333所以EXYEXEY0，即X，Y的相关系数0．

(23)(本题满分11分) 【解析】二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为1,0y1,yx2y, f(x,y)0,其它.(Ｉ)当0x1时，f当1x2时，fXX(x)f(x,y)dy1dyx0x．

(x)f(x,y)dy2x01dy2x．

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X的边缘概率密度为

x, 0x1,fX(x)2x, 1x2,0, 其它.

(II)当0y1时，Y的边缘概率密度为

fY(y)f(x,y)dx2yy1dx22y．

有意义，条件概率密度 当0y1时，fX|Y(x|y)2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）曲线x2xy2x1渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数f(x)(e（A）(1)(n1)! （B）(1)(n1)! （C）(1)n! （D）(1)n!

n1x1)(e2x2)(enxn)，其中n为正整数，则f(0)

'nn1n（3）设函数f(t)连续，则二次积分20d22cosf(r2)rdr=（）

精心整理 （A）dx204x22xx2x2y2f(x2y2)dy

（B）dx204x22xx2f(x2y2)dy

（C）dx20204x2212xxx2y2f(x2y2)dy（D）dx4x2212xxf(x2y2)dy 1nsinn（4）已知级数(1)i1n绝对收敛，(1)n2i1n条件收敛，则范围为（） （A）01 21 （B）12（C）13 232 （D）2（5）设001110,1,1,2341cccc1234其中c,c,c,c为任意常数，1234则下列向量组线性相关的是（） （A）,,（B）,, （C）,,（D）,,

（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且

1231241342341P1AP12，P,,，Q,,则Q12312231AQ（）

精心整理 （A）（C）

121212（B）（D）

112221

（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间0,1上

的均匀分布，则PXY1（） 221（A）1（B）（C）（D） 4284（8）设X,X,X,X为来自总体N1,0的简单随机样X本，则统计量XX的分布（） X2212341234（A）N0,1 （B）t1 （C）1 （D）F1,1 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．2（9）limtanxx1cosxsinx________。 x04dylnx,x1,yff(x)（10）设函数f(x)，求________。 dx2x1,x1（11）函数zf(x,y)满足limf(x,y)2xy20，则dzx0y1x(y1)22(0,1)

（12）由曲线y4和直线yx及y4x在第一象限中所围x图形的面积为？

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（13）设A为3阶矩阵，A3,A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则BA________。

*

*1（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)1,P(C),23则P(ABC)________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程．．．或演算步骤. （15）（本题满分10分） 计算exe22cosxlimx0x42 （16）（本题满分10分） 计算二重积分exydxdy，其中D为由曲线yx与y1x所

xD围区域。 （17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）x和（y件），且固定两种产品的边际成本分别为202（万元/件）与6y（万元/件）。

1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元) 2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。

3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边

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际成本，并解释其经济意义。 （18）（本题满分10分） 证明：

1xx2xlncosx1,1x11x2

（19）（本题满分10分）已知函数f(x)满足方程

f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2e 1）求表达式f(x) ''''x2）求曲线的拐点yf(x)2x0f(t2)dt （20）（本题满分10分） 设

10A0aa1000a1000a1，11b00 （Ⅰ）求A （Ⅱ）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。 （21）（本题满分10分）三阶矩阵T101A01110aTT，A为矩

T阵A的转置，已知r(AA)2，且二次型fxAAx。 1）求a

2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 （22）（本题满分10分）

已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示，

精心整理 X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 求：（1）PX2Y； （2）covXY,Y与. （23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，VminX,Y,UmaxX,Y. 求（1）随机变量V的概率密度； （2）EUV. XY2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）【答案】：C 【解析】：

x2xlim21xx1x2xlim2x1x1，所以x1为垂直的

，所以y1为水平的，没有斜渐近线故两条选C

（2）【答案】：C

精心整理 所以f(0)(1)n! （3）【答案】：（B） 【解析】：由xxy解得y的下界为2xx，由xy2解得y的上界为4x.故排除答案（C）（D）.将极坐标系下的二重积分化为X型区域的二重积分得到被积函数为f(xy)，故选（B）. （4）【答案】：（D） 【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定'n122222222义及常见的p级数的收敛性结论.(1)i1nnsin1n绝对收敛可知32；(1)n2i1n条件收敛可知2，故答案为（D）

011c311c1c4（5）【答案】：（C） 【解析】：由于,,0134c111011，可知,,线性

134相关。故选（C） （6）【答案】：（B） 【解析】：故

100QP110001，则100Q1110P1001，

10010010011001Q1AQ110P1AP1101101110100100100120012故选（B）。

（7）【答案】：（D） 【解析】：由题意得，fx,yf1,0x1,0y1,xfyXY其它.0,

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PX2Y21=fx,ydxdyD，其中D表示单位圆在第一象限的部

分，被积函数是1，故根据二重积分的几何意义，知

PX2Y21=4，故选（D）.

（8）【答案】：（B）

【解析】：从形式上，该统计量只能服从t分布。故选B。 X具体证明如下：XXX21234X1X22X3X4222，由正态分布的性XXX质可知，与2123X422均服从标准正态分布且相互独。 立，可知X1X22X3X4222t1二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）【答案】：e -2【解析】：limtanxx1cosxsinxe1limtanx1cosxsinxx4 41limtanx1cosxsinxx4=limcosxsin4 xxtanxtan4=

tanx1tanxtan44limx4-2sinx4

精心整理

=

x1tanxtan44limx4-2x4

=-22 =-2

所以limtanxx1cosxsinxe1limtanx1cosxsinxx4=e -24（10）【答案】：4 【解析】：dydxx0f'f(x)f'(x)x0f'f(0)f'(0)f'1f'(0) 由f(x)的表达式可知f'0f'(1)2，可知dydx4x0（11）【答案】：2dxdy 【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即f(x,y)2xy2o(x(y1))， 22z所以x(0,1)2z，y(0,1)1，故dz(0,1)2dxdy （12）【答案】：4ln2 【解析】：被积函数为1的二重积分来求，所以 （13）【答案】：-27 【解析】：由于BEA，故BAEAA|A|E3E， 所以，|BA||3E|3|E|27*(1)27.

**12121212*31212（14）【答案】：3 4【解析】：由条件概率的定义，PABCPABCPC，

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2其中PC1PC11， 33PABCPABPABC1PABC2，由于A,C互不相容，即AC，

PAC0，又

3，得PABC0，代入得PABC1，故PABC. 24ABCAC三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程．．．或演算步骤. （15）【解析】：exe22cosxex22cosxlimlimelimx0x0x0x42222cosx1x4 （16）（本题满分10分） 解析】：由题意知，区域1D(x,y)|0x1,xyx，如图所示y 所以 数为（17）【解析】：1）设成本函C(x,y)x，由题意有：C(x,y)202， xO1x 对x积分得，x2C(x,y)20xD(y)4y， 再对y求导有，C(x,y)D(y)6y，

y再对y积分有，D(y)6y122c

所以，

x21C(x,y)20x6yy2c42

x21C(x,y)20x6yy21000042又C(0,0)10000，故c10000，所以

精心整理

2）若xy50，则y50x(0x50)，代入到成本函数中，有 所以，令C(x)3x360，得x24,y26，这时总成本最小2C(24,26)11118

3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为C(24,26)32，表示在要求总产量为50件时，在甲产品为24件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。 x（18）【解析】：令当0x1时，有'1xx2fxxlncosx11x2，可得 ， 1xln01x，1x211x2，所以1x2xsinx01x2故fx0，而f00，即得所以1xx2xlncosx11x21xx2xlncosx101x2 。 ，1x2121x当1x0，有'1xln01x，所以 1x2xsinx021x， 故fx0，即得可知，1xx2xlncosx101x21xx2xlncosx1,1x11x2 （19）【解析】：

1）特征方程为rr20，特征根为r1,r2，齐次微分方程f(x)f(x)2f(x)0的通解为f(x)CeCe.再由f(x)f(x)2e得2CeCe2e，可知C1,C0。 故f(x)e

212x2x12'xx2xx1212x精心整理 2）曲线方程为yey''2x212x2ex2x2x0etdt2，则y'12xex2x0etdt2，

x0etdt2

令y''0得x0。为了说明x0是y''0唯一的解，我们来讨论y''在x0和x0时的符号。 当x0时，2x0,212xe2x2x0etdt02，可知y''0；当x0时，2x0,212x2ex2x0etdt02，可知y''0。可知x0是y''0唯一的解。

2x0同时，由上述讨论可知曲线yf(x)f(t2)dt在x0左右两2x0边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线yf(x)的拐点。 （20）【解析】：（Ⅰ）0100aa1000a10a100011a0101a000100a2001a011a001a4aa21a0001a001aa001f(t2)dt唯一1a0a00101aa(1)411a01a400101a

（Ⅱ）0a10011010a001a0a01a010a30101a01aa21000 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有1a及aa0，可知a1。

240精心整理

此时，原线性方程组增广矩阵为步化为行最简形得

10000101101100000111100111001011010011000000，进一

可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为0100，故其通解为1011k1010 线性方程组Axb存在2个不同的解，有|A|0. 即：1111A010(1)2(1)0，得1或-1. 当1时,111x1x000x20111x13，显然不符，故1. T（21）【解析】：1）由r(AA)r(A)2可得， 2）202x1fxTATAxx1,x2,x3022x2224x32x122x224x324x1x24x2x3202B022224 则矩阵

12解得B矩阵的特征值为：0;2;36

精心整理

对于0,解EBX0得对应的特征向量为：

11221111

对于2,解EBX0得对应的特征向量为：对于6,解EBX0得对应的特征向量为：3312101312 将,,单位化可得： 123111131，112120，113162 （22）【解析】： X 0 P 1/2 Y 0 P 1/3 XY 0 P 7/12 1 1/3 1 1/3 1 1/3 2 0 2 1/6 2 1/3 4 1/12 1（1）PX2YPX0,Y0PX2,Y110 44（2）covXY,YcovX,YcovY,Y covX,YEXYEXEY，

,EX其中EX23254521,EY1,EY2,DXEX2EX1399

5222EXYDYEY2EY1333,

精心整理

2所以，covX,Y0，covY,YDY2，covXY,Y,33XY0.

（23）【解析】：

e,（1）X概率密度为fx0,xx0,其它.分布函数为

1ex,x0,FxX0,其它.和Y同分布.

V2v由VminX,Y，FvPVvPminX,Yv1PXv,Yv， 1e而X,Y独立，故上式等于1PXvPYv11Fv0,2,v0,其它.

故

2e2v,v0,fVvFVv其它.0, uu21ee,u0,fUu0,其它.（2）同理，U的概率密度为：EUu21eueudu0 32，EV0v2e2vdv12， 1所以EUVEUEV32. 222013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．

上.

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（） （A）xo(x)o(x)

23精心整理

（B）o(x)o(x)o(x) （C）o(x)o(x)o(x) （D）o(x)o(x)o(x)

2322222（2）函数

|x|x1f(x)x(x1)ln|x|的可去间断点的个数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （3）设D是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记I(yx)dxdyk1,2,3,4，则（） 22kkDk（A）I0 （B）I0 （C）I0 （D）I0 （4）设{a}为正项数列，下列选项正确的是（）

1234n（A）若an1nan1,则(1)n1ann1n1收敛 n（B）若(1)nn1an收敛，则aan1

Pnn（C）若a收敛，则存在常数P1,使limna存在 （D）若存在常数P1，使limna存在，则a收敛

Pnnnn1（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC,则B可逆，则

精心整理

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 （6）矩阵1a1aba1a1与2000b0000相似的充分必要条件为

（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0 （D）a2,b为任意常数 （7）设X，X，X是随机变量，且X~N(0,1)，X~N(0,2），X~N(5,3), PP{2X2}(j1,2,3),则（） （A）PPP （B）PPP （C）PPP （D）PPP （8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为， 则P{XY2}()

22123123jj1232133121321（A）12

（B）1 8（C）1 6精心整理 （D）1 2二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设曲线yf(x)和yxn2x在点(0,1)处有公共的切线，

确定，则n则limnfn________。 2（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)zx(1,2)xxy________。 1（11）求lnxdx2(1x)________。 （12）微分方程yy1y0通解为y________。 4（13）设A(a)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，A为a的代数余子式，若aA0(i,j1,2,3),则A____ （14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe)=________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程．．．ijijijijij2X或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。

（16）（本题满分10分）

n精心整理

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，V,V分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若V10V，求a的值。 （17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算

13xyyx2xdxdyD。 （18）（本题满分10分） 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为Q20元/件，价格函数为P601000，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 （2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 （19）（本题满分10分） 设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明 x（1）存在a0，使得f(a)1 . （2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()1a（20）（本题满分11分）

1设A1a01,B01b，当a,b为何值时，存在矩阵C使得

ACCAB，并求所有矩阵C。

精心整理 （21）（本题满分11分）

设二次型fx,x,x2axaxaxbxbxbx，记

22123112233112233TTa1b1a,2b2ab33。

（I）证明二次型f对应的矩阵为2；

（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2yy。 （22）（本题满分11分） 2122设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为3x2,0x1,fXx其他.0,，在给定Xx0x1的条件下，Y的条件概 率密度fYX3y2,0yx,yxx30,其他.（1） 求X,Y的概率密度fx,y； （2） Y的边缘概率密度f设总体X的概率密度为12NYy. （23）（本题满分11分） 23ex,x0,fxx0,其它.其中为未知参数且大于零，X,X，X为来自总体X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量.

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案

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一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．上.

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（） （A）xo(x)o(x) （B）o(x)o(x)o(x) （C）o(x)o(x)o(x) （D）o(x)o(x)o(x) 【答案】D 【解析】o(x)o(x)o(x)，故D错误。 2323222222（2）函数|x|x1f(x)x(x1)ln|x|的可去间断点的个数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C

【解析】由题意可知f(x)的间断点为0,1。又 故f(x)的可去间断点有2个。

（3）设D是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记I(yx)dxdyk1,2,3,4，则（）

22kkDk精心整理 （A）I0 （B）I0 （C）I0 （D）I0 【答案】B

【解析】令xrcos,yrsin，则有 1234,，此时有I故当k2时，2n220.3故正确答案选B。

（4）设{a}为正项数列，下列选项正确的是（） （A）若an1nan1,则(1)n1ann1n1收敛 n（B）若(1)nn1an收敛，则aan1 Pnn（C）若a收敛，则存在常数P1,使limna存在 （D）若存在常数P1，使limna存在，则a收敛 Pnnnn1【答案】D 【解析】根据正项级数的比较判别法，当P1时，1收敛pn1n，且limna存在，则a与Pnnnn11pn1n同敛散，故a收敛.

nn1（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（）

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

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（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B）

【解析】由CAB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有ACB，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。 1（6）矩阵1a1aba1a1与2000b0000相似的充分必要条件为

（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0 （D）a2,b为任意常数 【答案】(B) 【解析】由于1a1aba1a1为实对称矩阵，故一定可以相似与2000b0000对角化，从而1a1aba1a11a1aba1a1相似的充分必要条件为的特征值为2,b,0。

1a11又EAa1a[(b)(2)2a2]ba23，从而a0,b为任意常数。

21231~N(5,32)（7）设X，X，X是随机变量，且X~N(0,1)，X~N(0,2），XPP{2X2}(j1,2,3),则（）

jj,

精心整理 （A）PPP （B）PPP （C）PPP （D）PPP 【答案】（A） 【解析】由XN0,1,X12321331213212N0,22,X3N5,32知， ， pP2X2PX2211，故pp. 由根据XN5,3及概率密度的对称性知，ppp，故选（A） （8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为， 则P{XY2}() p1P2X12PX1222122212231231（A）12 （B）1 8（C）1 6（D）1 2【答案】（C）

【解析】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1，又根据题意X,Y独立，故

PXY2PX1PY1PX2PY0PX3PY116，选（C）.

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二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设曲线yf(x)和yxn2x在点(0,1)处有公共的切线，

n则limnfn________。 2【答案】2 【解析】yxx在(1,0)处的导数是y'(1)1，故f'(1)1,f(1)0， （10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xy确定，则2xzx(1,2)________。 xln(zy)【答案】22ln2 【解析】原式为exy[ln(zy)xxy,左右两边求导得：zx]y,令x1,y2zy 得z0,zx2(1ln2) ________。 1lnx1lnxx)+dx+ln1x1xx(1x)1x1x（11）求1lnxdx(1x)2【答案】ln2 x【解析】(1lnx)2dxlnxd( y0通解为y________。 （12）微分方程yy14【答案】e1x21x2C1xC2

2【解析】特征方程为ye110,(二重根)42，所以通解为

C1xC2

精心整理 （13）设A(a)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，A为a的代数余子式，若aA0(i,j1,2,3),则A____ 【答案】1 【解析】

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe)=________。 【答案】2e 【解析】由XN0,1及随机变量函数的期望公式知

ijijijijij2X2EXe2Xxe2x1x21edx222xe12x242dx2e2. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程．．．或演算步骤. （15）（本题满分10分） 当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 【解析】因为当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小

nn2xcos3x所以lim1cosxcos1 axx0n又因为：

2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)即lim1cosxcos limaxaxx0nx0n所以n2且21a24a29a1a7

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（16）（本题满分10分）

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，V,V分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若V10V，求a的值。 【解析】由题意可得：

13xyyx因为：Vy10Vx所以5673a310a3a7775 （17）（本题满分10分） 设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算2xdxdyD。 222DD1D2【解析】xdxdyxdxdyxdxdy （18）（本题满分10分） 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为Q20元/件，价格函数为P601000，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 （2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 【解析】（I）设利润为l，则

Q边际利润l'40500

Q2lPQ(20Q6000)40Q60001000

（II）当P50时，边际利润为20，

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经济意义为：当P50时，销量每增加一个，利润增加20

Q(III)令l'0,得Q20000，此时P60100040

（19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明 x（1）存在a0，使得f(a)1 . （2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()1a【答案】（I）证明：limf(x)2,X,当xX时，有f(x)3， 2x上连续，根据连续函数介值定理，存在a0,X，使得f(a)1 f(x)在[0,X]（II）f(x)在[0,a]上连续且可导，根据拉格朗日中值定理， f(a)f(0)f'()a1,(0,a)， 故(0,a)，使得f'()1 a（20）（本题满分11分） 设

1a01A,B101b，当a,b为何值时，存在矩阵C使得

，并求所有矩阵C。 【解析】

x由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设CxACCAB13x2x4，则

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由ACCAB可得线性方程组：

x2ax30axxax1124x1x3x41x2ax3b（1）

由于方程组（1）有解，故有1a0,b1a0，即a1,b0,从而有 01a0a10a101101a0011010b00111110000000000，故有x1k1k21xk21,其中k1、k2任意.xk31x4k2 从而有kk1k1C12kk12 a1b1a,2b2ab33（21）（本题满分11分） 设二次型fx,x,x2axaxaxbxbxbx，记22123112233112233TT。

（I）证明二次型f对应的矩阵为2； （II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2yy。 【答案】(1) 21222a12b12则f的矩阵为2a1a2b1b22a1a3b1b32TT2a1a2b1b2222a2b22a2a3b2b3a122a1a3b1b32a2a3b2b32a1a22a1a32a3b32a1a22a2a2a3a1a3b12a2a3b1b22a3b1b3b1b2b22b2b3b1b3b2b3b32（2）令A=2,则A22,A2，则1,2

均为A的特征值，又由于r(A)r(2)r()r()2，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为2yy

TTTTTTTTTT2122精心整理 （22）（本题满分11分）

设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为

3x2,0x1,fXx其他.0,，在给定Xx0x1的条件下，Y的条件概

率密度fYX3y23,0yx,yxx0,其他.（3） 求X,Y的概率密度fx,y； （4） Y的边缘概率密度f【答案】（1）（2）fYYy. 9y2,0x1,0yx,fx,yfYXyxfXxx0,其他. y9y2lny,0y1,fx,ydx0,其他. （23）（本题满分11分） 设总体X的概率密度为12N23ex,x0,fxx0,其它.其中为未知参数且大于零，X,X，X为来自总体X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 【答案】(1)EX(2)

xf(x)dx0x2exdxexd()30xx，令EXX，

故矩估计量为X.

n2xn3eiL()f(xi;)i1xii102nn1xi03exii1xi其他0xi0其他

精心整理 当x0时，

i令得

dlnL()2nn10di1xi，

2nn

1i1xi

，所以得极大似然估计量=

2nn1i1xi.

2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设limana,且a0,则当n充分大时有（） （A）ana2a2 （B）an 1 n1（D）ana n（2）下列曲线有渐近线的是（） （C）ana（A）yxsinx （B）yx2sinx 1（C）yxsin x1（D）yx2sin

x（3）设P(x)abxcx2dx3，当x0时，若P(x)tanx是比x3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A）a0 （B）b1 （C）c0

1

（D）d

6

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（4）设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在区间[0,1]上（） （A）当f'(x)0时，f(x)g(x) （B）当f'(x)0时，f(x)g(x) （C）当f'(x)0时，f(x)g(x) （D）当f'(x)0时，f(x)g(x)

0ab0d00b0d （5）行列式a00cc0（A）(adbc)2 （B）(adbc)2 （C）a2d2b2c2 （D）b2c2a2d2 （6）设a1,a2,a3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组1k3,2l3线性无关是向量组1,2,3线性无关的 （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A与B相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4

（8）设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,2)的简单随机样本，则统计量（A）F（1,1） （B）F（2,1）

X1X2服从的分布为 2X3精心整理

（C）t(1） （D）t(2)

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

（9）设某商品的需求函数为Q402P（P为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

(10)设D是由曲线xy10与直线yx0及y=2围成的有界区域，则D的面积为_________。 (11)设xe2xdx01a1，则a_____. 412exy2e)dx________. (12)二次积分dy(0yx22ax1x34x2x3的负惯性指数为1，（13）设二次型f(x1,x2,x3)x12x2则a的取值范围是_________ 2x（14）设总体X的概率密度为f(x;)320nx2其它，其中是未知参数,X1,X2,...,Xn,为来自

总体X的简单样本，若cxi2是2的无偏估计，则c=_________ i1三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演．．．算步骤. （15）（本题满分10分） 求极限limxx121tte1tdt 1x2ln(1)x（16）（本题满分10分） xsin(x2y2)dxdy. 设平面区域D{(x,y)|1xy4,x0,y0}，计算xyD22（17）（本题满分10分）

2z2z设函数f(u)具有2阶连续导数，zf(ecosy)满足224(zexcosy)e2x，若

xyxf(0)0,f'(0)0，求f(u)的表达式。

（18）（本题满分10分）

求幂级数(n1)(n3)xn的收敛域及和函数。

n0（19）（本题满分10分）

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设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0g(x)1，证明： （I）0g(t)dtxa,x[a,b];

ax（II）

aaag(t)dtf(x)dxbf(x)g(x)dx.

ab12（20）（本题满分11分）设A0112411，E为3阶单位矩阵。 033①求方程组Ax0的一个基础解系；②求满足ABE的所有矩阵B 1111（21）（本题满分11分）证明n阶矩阵11100100与10012相似。 n（22）（本题满分11分） 设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=布U(0,i)(i1,2) （1）求Y的分布函数FY(y) （2）求EY （23）（本题满分11分） 12设随机变量X与Y的概率分布相同，X的概率分布为P{X0},P{X1},且X与Y的相关

331系数XY 2（1） 求（X，Y）的概率分布 （2）求P{X+Y1} 1，在给定Xi的条件下，随机变量Y服从均匀分22014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

ACDCBABC

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）

dR404p dp精心整理

3ln2 21（11）a

21（12）(e1)

2（10）（13）[-2,2] （14）

2 5n三、解答题：（15）【答案】 （16）【答案】 （17）【答案】 令ecosyu， 则f(u)4f(u)u， 故f(u)C1e2uC2e2u由f(0)0,f(0)0,得 （18）【答案】 由limxu,(C1,C2为任意常数) 4(n2)(n4)1，得R1 n(n1)(n3)当x1时，(n1)(n3)发散，当x1时，(1)(n1)(n3)发散， nn0n0故收敛域为(1,1)。 x0时， n(n1)(n3)x((n3)(n1)xdx)nn0n00x((n3)xn0n11)((n3)xn2)xn0。

1x1n3n2(((n3)xdx))((x))xn00xn01x33x2x23x(())()s(x)23x1x(1x)(1x)x0时，s(x)3，故和函数s(x)17.【答案】

3x，x(1,1) 3(1x)xxx证明：1）因为0g(x)1，所以有定积分比较定理可知，

a0dtg(t)dt1dt，即

aa精心整理

0g(t)dtxa。

ax2）令 由1）可知所以axag(t)dtxa，

xag(t)dtx。

由f(x)是单调递增，可知

由因为0g(x)1，所以F(x)0，F(x)单调递增，所以F(b)F(a)0，得证。 k12k26k312k12k32k1T123k,k,kR （20）【答案】①1,2,3,1②B3k113k243k31123kkk123（21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。 0,y0,3y,0y1,4（22）【答案】（1）FYy 111y,1y2,221,y2.（2）3 40 1 （23）【答案】（1） YX 0 1 4 9 2015年考研数学三真题与解析

（2）一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设x是数列，则下列命题中不正确的是（）

n（A）若limxnna，则limxn2nlimx2n1an（B）若limxn2nlimx2n1an，

精心整理 则limxnna

nn（C）若limxlimxa

nna，则limxn3nlimx3n1an(D)若limxn3nlimx3n1an，则

2．设函数f(x)在(,)上连续，其二阶导数f(x)的图形如右图所示，则曲线yf(x)在(,)的拐点个数为 （A）0（B）1（C）2（D）3 3．设D(x,y)|xy2x,xy2y，函数f(x,y)在D上连续，2222则f(x,y)dxdy D（A）（B）40dd12cos0f(rcos,rsin)rdrd242sin0f(rcos,rsin)rdr 402sin0f(rcos,rsin)rdr2d42cos0f(rcos,rsin)rdr2xx2（C）2dx0x11x2f(x,y)dy（D）2dx10xf(x,y)dy 4．下列级数发散的是（） （A）５．设矩阵

nnn13（B）n111ln(1)nn（C）(1)n1lnnn2n!（D）n

nn11111A12a,bd14a2d2，若集合1,2，则线性方

程组Axb有无穷多解的充分必要条件是

（A）a,d（B）a,d （C）a,d（D）a,d

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6．设二次型f(x,x,x)在正交变换xPy下的标准形为2yyy，其中Pe,e,e，若Qe,e,e，则f(x,x,x)在xQy下的标准形为

（A）2yyy（B）2yyy （C）2yyy（D）2yyy

7．若A,B为任意两个随机事件，则（） （A）P(AB)P(A)P(B)（B）P(AB)P(A)P(B) 123212223123132123212122232122232223212223P(B)P(A)P(B)P(AB)（C）P(AB)P(A)（D） 228．设总体X~B(m.),X,X,,X为来自总休的简单随机样本，X为样本均值，则EXX 12nn2i1i（A）(m1)n(1)（B）m(n1)(1) （C）(m1)(n1)(1)（D）mn(1) 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） x) 9．limln(cosxx0210．设函数f(x)连续，(x)x20xf(t)dt，若(1)1,(1)5，则f(1)．

(0,0)11．若函数zz(x,y)由方程exyz1确定，则dz|． 12．设函数yy(x)是微分方程yy2y0的解，且在x0处y(x)取极值3，则y(x)． 13．设三阶矩阵A的特征值为2,2,1，其中E为BAAE，三阶单位矩阵，则行列式B．

x2y3z2精心整理

14．设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则PXYY0．

三、解答题

g(x)kx15．（本题满分10分）设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，

在x0时为等价无穷小，求常数a,b,k的取值． 16．（本题满分10分） 3计算二重积分x(xy)dxdy，其中D(x,y)|xD2y22,yx2 17．（本题满分10分） 为了实现利润最大休，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC为边际成本，为需求随意性(0)． （1）证明定价模型为pMC； 112（2）若该商品的成本函数为C(Q)1600Q，需求函数Q40p，试由（1）中的定价模型确定此的价格． 18．（本题满分10分） 设函数yf(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的xI，曲线yf(x)在点(x,f(x))处的切线与直线xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)2，求f(x)的表达式． 19．（本题满分10分）

（1）设函数u(x),v(x)都可导，利用导数定义证明(u(x)v(x))u(x)v(x)u(x)v(x)；

0000精心整理

（2）设函数u(x),u(x),,u(x)都可导，f(x)u(x)u(x)出f(x)的求导公式． 20．（本题满分11分）

12n12un(x)，写

设矩阵

a10A1a101a，且A30．

（1）求a的值； （2）若矩阵X满足XXAAXAXA位矩阵，求X． 21．（本题满分11分） 22E，其中E为三阶单设矩阵023A13312a相似于矩阵120B0b0031． （1）求a,b的值； （2）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为2ln2,x0f(x) 0,x01x对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为次数． 求Y的分布函数； （1） 求Y的概率分布； （2） 求数学期望EY. 23．（本题满分11分） 设总体X的概率密度为

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其中为未知参数，X,X,,X是来自总体的简单样本． （1）求参数的矩估计量；

（2）求参数的最大似然估计量．

12n试题解析

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)【答案】(D) 【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列xan对任意的子列x均有xak,所以A、B、C正确；D错(D选项缺少x的敛散性),故选D (2)【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是f(x)不存在的点或f(x)0的点处产生.所以yf(x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数f(x)符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.

(3)【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域

nnknk3n2精心整理

所以， 故选B.

(4)【答案】(C)

【解析】A为正项级数，因为所以根据正项级数的比值判别法级数，因为n1n1n1n113limlim1nn3nn33n，

nnn13收敛；B为正项11ln(1)nn1n32，根据P级数收敛准则，知，根据莱布尼茨11ln(1)nn收敛；C，(1)nn1lnn(1)n1(1)n1lnnn1n1lnnn1lnn判别法知义知，收敛，1n1lnn发散，所以根据级数收敛定(1)n1lnnn1发散；D为正项级数，因为，所以根据正项级数的(n1)!n(n1)!nnn(n1)n11limlimlim1n1nnnn!n!(n1)n1enn比值判别法n!nn1n收敛，所以选C. 11111d01a1d12d00(a1)(a2)(d1)(d2)(5)【答案】(D) 【解析】

111(A,b)12a14a2，

由r(A)r(A,b)3，故a1或a2，同时d1或d2.故选（D） (6)【答案】(A)

【解析】由xPy，故fxAxy(PAP)y2yyy.

TTT212223精心整理

且

200PTAP010001.

23又因为故有100QP001PC010200QTAQCT(PTAP)C010001TTT2122所以fxAxy(QAQ)y2yyy.选（A） (7)【答案】(C) 【解析】由于ABA,ABB，按概率的基本性质，我们有P(AB)P(A)且P(AB)P(B)，从而P(AB)选(C). (8)【答案】(B) 【解析】根据样本方差E(S)D(X)2P(A)P(B)P(A)P(B)2，1nS(XiX)2n1i12n2的性质2，而D(X)m(1)，从而E[(XX)](n1)E(S)m(n1)(1)，

ii1选(B). 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

(9)【答案】

【解析】原极限

(10)【答案】2

【解析】因为f(x)连续，所以(x)可导，所以

limln(1cosx1)cosx11limx0x0x2x2212精心整理

(x)f(t)dt2x2f(x2)0x2；

因为(1)1，所以(1)f(t)dt1

又因为(1)5，所以(1)f(t)dt2f(1)5 故f(1)2

1010(11)【答案】x2y3z12dxdy33y0 ex2y3zxyz1【解析】当，时带入，得z0. 对exyz1求微分，得 把x0，y0，z0代入上式，得dx2dy3dz0 12dzdxdy 所以33(12)【答案】y(x)e2e 【解析】yy2y0的特征方程为20，特征根为2，1，所以该齐次微分方程的通解为y(x)CeCe，因为y(x)可导，所以x0为驻点，即 y(0)3，y(0)0，所以C1，C2，故y(x)e2e (13)【答案】21 【解析】A的所有特征值为2,2,1.B的所有特征值为3,7,1. 所以|B|37121.

x0(0,0)2xx22xx122xx12(14)【答案】1 2【解析】由题设知，X~N(1,1),Y~N(0,1)，而且X、Y相互独立，从而

11111P{X1}P{Y0}P{X1}P{Y0}22222.

精心整理

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过．．．程或演算步骤.

(15)【答案】a1,b21,k31 【解析】法一： 因为x2x3ln(1x)xo(x3)23，x3sinxxo(x3)3!， 则有，， 可得：1a0ab02a13k，所以，a11b21k3． 法二： 由已知可得得 由分母lim3kxx020a，得分子lim(11bsinxbxcosx)lim(1a)0，xx0x0求得c； f(x)于是1limglim(x)x01x01bsinxbxcosx1x3kx2 由分母lim6kx0，得分子

x0lim[1bsinx2b(1x)cosxbxcosxbx(1x)sinx]lim(12bcosx)0x0x0，求得

b12；

精心整理

进一步，b值代入原式

126k，求得k1. 32(16)【答案】 45【解析】x(xy)dxdyxdxdy

2DD(17)(本题满分10分) 【答案】(I)略(II)P30. 【解析】(I)由于利润函数L(Q)R(Q)C(Q)PQC(Q),两边对Q求导，得 dLdPdPPQC(Q)PQMCdQdQdQ. dLPdQ0时，利润L(Q)最大，又由于当且仅当dQ,QdPdP1P, 所以dQQ故当PMC时，利润最大. 11PdQP(II)由于MCC(Q)2Q2(40P),则Q代入(I)中dP40PP)的定价模型，得P2(40,从而解得P30. 40P1P8(18)【答案】fx4 x【解析】曲线的切线方程为yfxfxxx，切线与x轴的交点为xffxx,0

000000精心整理

1fx故面积为：S2fx4.

200故fx满足的方程为fx8fx,此为可分离变量的

微分方程,

8解得fxx，又由于带入可得从而C4，f0=2，C2fx84x 12(19)【答案】f(x)[u(x)u(x)h0un(x)] 【解析】（I）[u(x)v(x)]limu(xh)v(xhh)u(x)v(x) （II）由题意得 (20)【答案】【解析】(I)312a0,X111211 0a0a110aa1a30a0a101A3OA01a11a2

(II)由题意知 011EA2A111112， 231a4,b5,P101011(21)【答案】 【解析】(1)A~Btr(A)tr(B)3a1b1

C的特征值0,4

0时(0EC)x0的基础解系为(2,1,0);(3,0,1) 5时(4EC)x0的基础解系为(1,1,1)

123TT12T3精心整理

A的特征值令

A1C:1,1,5

231P(1,2,3)101011，

1n1(22)【答案】(I)P{Yn}C17p(1p)n2p(n1)()2()n288，n2,3,；

(II)E(Y)16. 【解析】(I)记p为观测值大于3的概率，则pP(X3)2xln2dx318， 17p(1p)n2p(n1)()2()n288从而P{Yn}C布； 1n1，n2,3,为Y的概率分(II)法一:分解法: 将随机变量Y分解成Y=MN两个过程,其中M表示从1到n(nk)次试验观测值大于3首次发生，N表示从n1次到第k试验观测值大于3首次发生. 则M~Ge(n,p)，NGe(kn,p)(注：Ge表示几何分布)

所以E(Y)E(MN)E(M)E(N)112216ppp18. 记

n2法二:直接计算 127n2777E(Y)nP{Yn}n(n1)()()n(n1)[()n22()n1()n]88888n2n2n2S1(x)n(n1)xn2n21x1，则S(x)n(n1)x1n2n2n2(nxn2n1)(xn)2(1x)3，

S2(x)n(n1)xn2n1xn(n1)xn2xS1(x)2x(1x)3，

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S3(x)n(n1)xxnn22n(n1)xn2n22x2xS1(x)(1x)32， ，

所以

24x2x22S(x)S1(x)2S2(x)S3(x)(1x)31x从而E(Y)S(7)16. 8(23)【答案】(I)2X1,(II)min{X,X,121nXXini1； ， 为的矩估,Xn}. 【解析】(I)E(X)令E(X)X，即计量； xf(x;)dxx111dx121X2，解得2X1,1nXXini1(II)似然函数L()ni1n1n,xi1f(xi;)1其他0,n， 11()，则lnL()nln(1). 当x1时，L()11ii1L()n从而dlnd，关于单调增加， 1所以min{X,X,12,Xn}为的最大似然估计量. 2016考研数学三真题及超详细答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下

列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设函数yf(x)在(,)内连续，其导数如图所示，则（）

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（A）函数有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点 （B）函数有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点 （C）函数有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点 （D）函数有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点 【答案】（B） 【解析】【解析】由图像易知选B 2、已知函数xyexf(x,y)xy，则 xyxyxy（A）f'f'0（B）f'f'0（C）f'f'f（D）f'f'【答案】（D） xy1)ef'f'f f'【解析】f'e(x，所以yxyxxxf

2y2xy（3）设TiDi3xydxdy(i1,2,3)，其中D(x,y)0x1,0y1，1D2(x,y)0x1,0yx,D3(x,y)0x1,x2y1，则 （A）TTT （B）TTT （C）TTT （D）TTT 【答案】B

【解析】由积分区域的性质易知选B.

123312231213（4）级数为n111sin(nk)nn1，（K为常数）

（A）绝对收敛

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（B）条件收敛 （C）发散

（D）收敛性与K有关 【答案】A

【解析】由题目可得，

sin(nk)1因为nn1(n1n)nn1(n1n)1n，由正项级数的比n较判别法得，该级数绝对收敛。 （5）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（） （A）A与B相似 （B）A与B相似 （C）AA与BB相似 （D）AA与BB相似 【答案】（C） 【解析】此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得PAPB，则 此外，在（C）中，对于P(AA)PPAPPAP，若PAP=B，则PA(P)B，而PAP未必等于B，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。

（6）设二次型f(x,x,x)a(xxx)2xx2xx2xx的正负惯性指数分别为1,2，则（） （A）a1

TT11TT1111T11T1TTT1T1TT123212223122313精心整理 （B）a2 （C）2a1 （D）a1或a2 【答案】（C） 【解析】考虑特殊值法，当a0时，f(x,x,x)2xx2xx2xx，

123122313其矩阵为011101110，由此计算出特征值为2,1,1，满足题目已知条件，故a0成立，因此（C）为正确选项。

7、设A,B为随机事件，0P(A)1,0P(B)1,若P(AB)1则下面正确的是（） （A）P(BA)1 （B）P(AB)0 （C）P(AB)1 （D）P(BA)1 【答案】（A） 【解析】根据条件得P(AB)P(B) 8、设随机变量X,Y独立，且XN(1,2),Y(1,4)，则D(XY)为 （A）6 （B）8 （C）14 （D）15 【答案】（C）

【解析】因为X,Y独立，

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则D(XY)E(XY)(EXY)EXEY(EXEY)

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

22222(9)已知函数f(x)满足limx01f(x)sin2x123xe1，则limf(x)____

x0【答案】6 【解析】因为所以limf(x)6 x01f(x)sin2x1f(x)sin2x1f(x)xf(x)2limlimlimlim2x0x0x0x0e3x13x3x3

12sin2sin(10)极限limn1nnx02nsinn____n．

【答案】sin1cos1 【解析】定，则dz112lim2sin2sinx0nnn1n1niinsinlimsinxsinxdxsin1cos10nx0ni1nn(11)设函数f(u,v)可微，zz(x,y)有方程(x1)zy0,12x2f(xz,y)确

____． x【答案】dz0,1dx2dy2【解析】(x1)xy

x2f(xz,y)12z(x1)zx2xf(xz,y)x(x1)zy2yx2(f1(xz,y)(zy)f2(xz,y))dz0,1两边分别关于x,y求导得 f(xz,y)(1z)x0,y1,z1代入得，，将dx2dy(12)

精心整理 （13）行列式【答案】【解析】41001004320011____________.

322341010

101001004+3+22+3+4.10040320=013+12411+4（-1）

+114、设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率为 2【答案】9 【解析】21111P(A)C2C33933232 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程．．．或演算步骤. 15（本题满分10分）求极限limcos2x2xsinx 1x4x0【解析】limcos2x2xsinx 1x4x016、（本题满分10分）

设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数QQ(p)，需求弹性120pp(0)，p为单价（万元） (1)求需求函数的表达式

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(2)求p100万元时的边际收益，并说明其经济意义。 【解析】（1）由弹性的计算公式得

pdQQdpppdQ可知Q dp120pdp分离变量可知dQ Qp120两边同时积分可得lnQln(p120)C 解得QC(p120) 由最大需求量为1200可知 Q(0)1200，解得C10 故Q10(p120)120010p （2）收益RQp(120010P)P dRdRdp边际收益：dQ(120020p)(10)200p12000 dpdQdR已知dQ8000p100 经济学意义是需求量每提高1件，收益增加8000万元. （17）（本题满分10分） 设函数fxt102x2dtx0,求f'x，并求fx的最小值。

x20【解析】当1x1时，fxx当x1时，fxx102t2dtt2x2dtx1431xx233

t2dtx213

精心整理 则

21x34x3x2133fx4x3x21331x23x11x00x1x1

由导数的定义可知，f'12,f'00,f'12 故

2x24x2xf'x24x2x2xx11x00x1x1 上的最小值。由于fx是偶函数，所以只需求它在0，

易知f'x0,x0,1;f'x0,x1,; 可知fx的最小值为f12。 3（18）（本题满分10分）设函数fx连续，且满足x0fxtdtxtftdtex10x，求fx x0【解析】令uxt，则代入方程可得 两边同时求导可得 由于fx连续，可知x0fxtdtfudufudux00x ftdt可导，从而fx也可导。

故对上式两边再求导可得 在(1)式两边令x0可得 解此微分方程可得 （19）（本题满分10分）求幂级数n1x2n1的收敛

2n2n0精心整理 域和和函数。

【解析】令S(x)n1x2n1

2n2n0两边同时求导得 两边同时求导得 两边积分可得 xln(1x)ln(1x) 由S'(0)0可知，S'(x)ln11x两边再积分可知 易知，S(x)n1x2n1的收敛半径为1， 2n2n0且当x1,x1时级数收敛，可知幂级数的收敛域为[-1,1] 因此，S(x)(1x)ln(1x)(1x)ln(1x)，x[-1,1] （20）（本题满分11分）设矩阵11a10A10a,1a11a12a2，

且方程组Ax无解， （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求方程组AAxA的通解 【解析】

（Ⅰ）由方程组Ax无解，可知r(A)r(A,)，故这里有

TTA0，A1111a0a0a0或a2。由于当a0时，r(A)r(A,)，

a11a1而当a2时，r(A)r(A,)。综上，故a0符合题目。

精心整理 （Ⅱ）当a0时，

3221ATA222,AT22222，故

，

,其中k为任32211001(ATA,AT)222 2011 222220000因此，方程组AAxA的通解为TT01xk1210意实数。 （21）（本题满分11分） 已知矩阵011A23000099. （Ⅰ）求A； （Ⅱ）设3阶矩阵B(,,)，满足BBA，记B(,,)，将,,分别表示为,,的线性组合。 【解析】 （Ⅰ）利用相似对角化。 由EA0，可得A的特征值为0,1,2，故21231001231231231230A~121. 1当0时，由(0EA)x0，解出此时A的属于特征值0的特征向量为当23122;

21时，由(EA)x0，解出此时A的属于特征值1精心整理 的特征向量为

31210;

当2时，由(2EA)x0，解出此时A的属于特征值

32的特征向量为

1320.

可得APP，1设

311P(1,2,3)212200，由0P1AP12A99P99P1， ，利用初等变换，可求出1002P12121112对于311P212200，

故 （Ⅱ）BBABBBABABAABAB(,,)，B(,,)，故2322100B100BA99，由于12312322991299(1,2,3)(1,2,3)A99(1,2,3)221001210000229822990，因此， （22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域Dx,y0x1,x2yx上服从均匀分布，令

（I）写出(X,Y)的概率密度；

（II）问U与X是否相互独立？并说明理由； （III）求ZUX的分布函数F(z). 【答案】

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3,0x1,x（I）fx,y0,其他2yx 1111PU,XPUPX2222（II）U与X不独立，因为（III）Z的分布函数

；

【解析】（1）区域D的面积s(D)(10xx2)13，因为f(x,y)服

从区域D上的均匀分布，所以 （2）X与U不独立. 11111U,X=PU=0,X=PXY,X因为P 2222121111所以PU,XPUPX,故X与U不独立。 2222又

0,z03P{Xz,XY}z2z3,0z121,z12，0,z133P{X1z,XY}2(z1)2(z1)2,1z221,z22 所以0,z0323zz,0z12F(z).312(z1)23(z1)2,1z2221,z2 3x2,0xfx,30,其他（23）设总体X的概率密度为

0，123，其中

X,X,X为来自总体X的简单随机样为未知参数，本，令TmaxX,X,X。 （1）求T的概率密度

123精心整理

（2）当a为何值时，aT的数学期望为 【解析】（1）根据题意，X,X,X独立同分布，T的分布函数为

当t0时，F(t)0；

3xt当0t时，F(t)； d123Tt239T039当t0时，F(t)1， T所以9t8,0tfT(t)90,others。 9t89（2）E(aT)aETat0dt9a10， 109根据题意，E(aT)10a，即a 92017年考研数学三真题 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数1cosx,x0f(x)axb,x0在x0处连续，则 1（A）ab1（B）ab（C）ab0（D）ab2 22【详解】

1x1cosx12limf(x)limlimx0x0x0axax2a，limf(x)bf(0)，要使函

x0数在x0处连续，必须满足21abab1．所以应该选（A） 22．二元函数zxy(3xy)的极值点是（） （A）(0,0)（B）(0,3)（C）(3,0)（D）(1,1)

精心整理

zz【详解】y(3xy)xy3y2xyy，3xxyx222xy，

解方程组

2z23y2xyy0xz3xx22xy0y，得四个驻点．对每个驻点验

2证ACB，发现只有在点(1,1)处满足ACB30，且AC20，

所以(1,1)为函数的极大值点，所以应该选（D） 3．设函数f(x)是可导函数，且满足f(x)f(x)0，则 （A）f(1)f(1)（B）f(1)f(1)（C）f(1)f(1)（D）f(1)f(1) 【详解】设g(x)(f(x))，则g(x)2f(x)f(x)0，也就是f(x)是单调增加函数．也就得到f(1)f(1)f(1)f(1)，所以应该选（C） 222211sinkln(1)收敛，则k（） 4．若级数nnn2（A）1（B）2（C）1（D）2 【详解】ivn时11111111k11sinkln(1)ko(1k)o n2nnnnnn2nn2222显然当且仅当(1k)0，也就是k1时，级数的一般项是关于1的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C）． n5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

（A）E不可逆（B）E不可逆 （C）E2不可逆（D）E2不可逆

TTTT精心整理

【详解】矩阵的特征值为1和n1个0，从而

E,E,E2,E2的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1；3,1,1,,1．显然只有E存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）．

TTTTTT6．已知矩阵200A021001，210B020001，100C020002，则 （A）A,C相似，B,C相似（B）A,C相似，B,C不相似

（C）A,C不相似，B,C相似（D）A,C不相似，B,C不相似 【详解】矩阵A,B的特征值都是2,1．是否可对解化，只需要关心2的情况． 123对于矩阵A，0002EA001001，秩等于1，也就是矩阵A属

于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是A~C． 对于矩阵B，0102EB000001，秩等于2，也就是矩阵A属

于特征值2只有一个线性无关的特征向量，也就是

不可以对角化，当然B,C不相似故选择（B）．

7．设A,B，C是三个随机事件，且A,C相互独立，B,C相互独立，则AB与C相互独立的充分必要条件是（）

（A）A,B相互独立（B）A,B互不相容

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（C）AB,C相互独立（D）AB,C互不相容 【详解】

显然，AB与C相互独立的充分必要条件是

． P(ABC)P(AB)P(C)，所以选择（C）

8．设X,X,,X(n2)为来自正态总体N(,1)的简单随机样

12n本，若1nXXini1n，则下列结论中不正确的是（） 22（A）(X)服从分布（B）2Xii1nX12服从分

2布

（C）(XX)服从分布（D）n(X)服从分布

n2222ii1解：（1）显然(X)~N(0,1)(X)ii2~2(1),i1,2,n且相互独立，所以(X)服从(n)分布，也就是（A）结论是正确n22ii1的； （2）(XX)nii12(n1)S2(n1)S22~2(n1)，所以（C）结论也是，所以（D）

正确的； （3）注意X~N(,1)nn(X)~N(0,1)n(X)2~2(1)结论也是正确的； （4）对于选项（B）：

(XnX1)~N(0,2)XnX11~N(0,1)(XnX1)2~2(1)22，所以（B）结论是

错误的，应该选择（B）

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二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） 9．(sin3x2x2)dx．

解：由对称性知t1(sinxx)dx2t3220xdx223． 2x10．差分方程y2y2的通解为． 【详解】齐次差分方程y2y0的通解为yC2； tt1t设yt12yt2t的特解为yat2，代入方程，得a1； 2tttt12yt2所以差分方程y的通解为yC21t2. 2ttQ11．设生产某产品的平均成本C(Q)1e，其中产量为Q，则边际成本为. 【详解】答案为1(1Q)e． 平均成本C(Q)1e，则总成本为C(Q)QC(Q)QQe，从而边际成本为 12．设函数f(x,y)具有一阶连续的偏导数，且已知df(x,y)yedxx(1y)edy，f(0,0)0，则f(x,y) 【详解】df(x,y)yedxx(1y)edyd(xye)，所以f(x,y)xyeC，由f(0,0)0，得C0，所以f(x,y)xye．

QQQyyyyyyy13．设矩阵

101A112011123,,为线性无关的三维列向量，，

123则向量组A,A,A的秩为．

【详解】对矩阵进行初等变换

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101101101A112011011011011000，知矩阵A的秩为2，由于,,121233为线性无关，所以向量组A,A,A的秩为2． 14．设随机变量X的概率分布为PX21，PX1a，2PX3b，若EX0，则DX． 【详解】显然由概率分布的性质，知ab11 21EX21a3ba3b102EX22a9b921，解得a1,b 4492，DXEX2E2(X)． 三、解答题 15．（本题满分10分） 求极限limx0x0xtetdtx3 x0【详解】令xtu，则txu,dtdu，16．（本题满分10分） 计算积分y3dxdy242(1xy)Dxtetdtx0uexudu ，其中D是第一象限中以曲线yx与x轴为边界的无界区域．

【详解】 17．（本题满分10分）

k1求limnkln nnnk12【详解】由定积分的定义

精心整理 18．（本题满分10分）

k在区间(0,1)内有实根，确定常数k的已知方程ln(11x)1x取值范围．

,x(0,1)，则 【详解】设f(x)ln(11x)1x令g(x)(1x)ln(1x)x，则g(0)0,g(1)2ln22221 g(x)2(ln(1x)x)0,x(0,1)1x，所以g(x)在(0,1)上单调减少， 由于g(0)0，所以当x(0,1)时，g(x)g0)0，也就是g(x)g(x)在(0,1)上单调减少，当x(0,1)时，g(x)g(0)0，进一步得到当x(0,1)时，f(x)0，也就是f(x)在(0,1)上单调减少． 11xln(1x)1limf(x)limlimx0x0x0ln(1x)xxln(1x)2111kln22，f(1)ln121，也就是得到． ，S(x)为幂级数ax的和函nnn019．（本题满分10分） 设

1a01,a10,an1(nanan1)(n1,2,3),n1数

（1）证明ax的收敛半径不小于1． nnn0（2）证明(1x)S(x)xS(x)0(x(1,1))，并求出和函数的表达式．

【详解】（1）由条件a也就得到(n1)(an11(nanan1)(n1)an1nanan1n1a，也就得到aaan1nn

n1an)(anan1)n11,n1,2,n1精心整理 也就得到alimanlimnnnnn1n1an(1)1,n1,2,(n1)!

112!3!1nlime1n!n，所以收敛半径R1

nn（2）所以对于幂级数ax，由和函数的性质，可得

n0S(x)nanxn1n1，所以 CexS(x)1x也就是有(1x)S(x)xS(x)0(x(1,1))． 解微分方程(1x)S(x)xS(x)0，得C1

所以S(x)1ex． x，由于S(0)a1，得

020．（本题满分11分） 设三阶矩阵A,,有三个不同的特征值，且2. （1）证明：r(A)2； （2）若,，求方程组Ax的通解． 【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是r(A)1． 假若r(A)1时，则r0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A)2，又因为20，也就是,,线性相关，r(A)3，也就只有r(A)2．

（2）因为r(A)2，所以Ax0的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于20，所以基础解系为

123312123312123312精心整理

1x21；

123又由,，得非齐次方程组Ax的特解可取为； 方程组Ax的通解为11xk2111111，其中k为任意常数．

21．（本题满分11分） 设二次型f(x,x,x)2xxax2xx8xx2xx在正交变换xQy下的标准形为yy，求a的值及一个正交矩阵Q．

123212223121323211222【详解】二次型矩阵214A11141a211222 因为二次型的标准形为yy．也就说明矩阵A有零特征值，所以A0，故a2. 令EA0得矩阵的特征值为3,6,0． 通过分别解方程组(EA)x0得矩阵的属于特征值3123i1的特征向量量

112021111131，属于特征值特征值11326126的特征向，0的特征向量

3，

所以

131Q1,2,331312012162616为所求正交矩阵．

精心整理 22．（本题满分11分）

设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为

2y,0y11． PX0P{X2}，Y的概率密度为f(y)0,其他2（YEY）（1）求概率P；

（2）求ZXY的概率密度． 【详解】（1）EY所以2yfY(y)dy2y2dy.031 224PYEYPY32ydy.309 （2）ZXY的分布函数为 故ZXY的概率密度为 23．（本题满分11分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果X,X,,X相互独立且均服从正态分布N(,).该工程师记录的是n次测量的绝对误差ZX,(i1,2,,n)，利用Z,Z,,Z估计参数． （1）求Z的概率密度； （2）利用一阶矩求的矩估计量； （3）求参数最大似然估计量． 【详解】（1）先求Z的分布函数为 当z0时，显然F(z)0；

Xzz2当z0时，F(z)PZzPXzP1； 12n2ii12niiZiZii精心整理

所以Z的概率密度为

iz22e2,z0fZ(z)FZ(z)20,z02． ，

Zi1ni（2）数学期望EZi0zf(z)dz02ze2z222dz22令

1nEZZZini112，解得的矩估计量

,Zn22Z22ni．

（3）设Z,Z,的观测值为z,z,12,zn．当z0,i1,2,n时 似然函数为L()ni12f(zi,)e(2)nn122zi2i1n， zi1n2i取对数得：令n1lnL()nln2ln(2)nln222dlnL()n1n23zi0di1，得参数最大似然估计量为1n2zini1．