第2讲 函数及其表示方法、定义域、值域

一、函数的概念

①设A、B是两个 ，如果按照某种对应法则f，对于集合A中 x，在集合B中都有 f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:AB．

②函数的三要素: 、 、 ．

③同一函数 ．

二、函数的表示方法

函数的常用表示方法有： 、 、 ．

考点1：用图像法表示函数

1、 一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：

进水量 出水量 蓄水量 1 265010031时间46时间时间 甲 乙 丙 （1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正．．确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上)． ．

考点2：用列表法表示函数

1、已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x f(x) 1 1 2 3 3 1

x g(x) 1 3 2 2 ． 3 1 则f[g(1)]的值为

；满足f[g(x)]g[f(x)]的x的值是 考点3：求函数解析式

求函数解析式的常用方法有：

①换元法（注意新元的取值范围）；

②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）； ③整体代换（配凑法）；

④构造方程组（如自变量互为倒数、相反数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等）。 1、已知f（1-x）=x2+1，求f(x)的解析式为 ． 2、已知f（x＋1）＝x＋2x，则f（x）的解析式为 ． - 1 -

23、已知f(x)x1x1，则f(3)＝为 ． 2x

4、已知f(x)是一次函数，且满足：3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式．

5、二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1 ⑴求f(x)的解析式；

⑵在区间[1,1]上，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，试确定实数m的范围．

6、已知函数f(x)满足2f(x)3f(x)x2x，求f(x)的解析式．

7、已知f(x)满足：3f(x1)2f(1x)2x，求f(x)的解析式．

8、 已知f(x)2f()3x.

（1） 求f(x)的解析式，并标注定义域； （2）指出f(x)的单调区间，并用定义加以证明。

三、求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数．

②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤ytanx中，xk(kZ)．

21x⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由

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不等式ag(x)b解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 1、求下列函数的定义域：

11x210(1)f(x)x4;(2)f(x)(x1);(3)f(x);x3x1x23

11(4)f(x)(x1)x2;(5)f(x)log(2x3)(x2);(6)f(x)x21.

42x

2、若函数f(x)

3、函数ykx22kxk6的定义域为R，求k的取值范围．

4、函数f(x)mx26mxm8的定义域为R，求m的取值范围．

5、若函数y

6、已知函数y

7、若函数f(x)的定义域为（-2,6），求f(x1)的定义域．

8、已知函数yfx1定义域是1,3，求yf2x1的定义域．

x4的定义域为R，求实数m的取值范围． 22x(2m1)xm1kx2kx32的定义域为R，则实数k的取值范围．

x22xa的定义域为R，值域为[0,)，求实数a的取值集合．

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9、若数f(x)的定义域为[0,2],求函数g(x)

10、若数f(x1)的定义域为[-1,2],求函数g(x)f(x2)

四、求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．

求值域的几种常用方法：（1）配方法；（2）基本函数法；（3）分离常数法；（4）利用基本不等式求值域；（5）利用函数的单调性求求值域；（6）图象法。

求下列函数值域

f(2x)的定义域． x11的定义域．

3x7111x2y（1）y （2）y （3）

1x1x21x2

(4)y

3xx22y（5）()（6）fx=x-4x+6,x∈(1,5]22x4 x3x6

（7）f(x)=5x-1（8）f(x)=2x-x-1

4x+2

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