开阳县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 下列命题中的说法正确的是（ ）

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1” B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”

D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题

2． 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，，，已知8b5c，C2B，则cosC（ ） A．

77724 B． C.  D．

252525253． 下列命题正确的是（ ）

A．很小的实数可以构成集合.

B．集合y|yx21与集合x,y|yx21是同一个集合. C．自然数集 N中最小的数是. D．空集是任何集合的子集.

4． 设集合

，集合

，则

（ ）

A． B．C． D．

5． 过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ）

A．3条 B．2条 C．1条 D．0条

26． 已知集合Ax|x10，则下列式子表示正确的有（ ）

①1A；②1A；③A；④1,1A．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7． 现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙两个社区每个社区至少2台，其它社区允许1台也没有，则不同的分配方案共有（ ） A．27种

B．35种

C．29种

D．125种

8． 阅读右图所示的程序框图，若m8,n10，则输出的S的值等于（ ） A．28 B．36 C．45 D．120

9． 已知函数f(x)的定义域为a,b，函数yf(x)的图象如图甲所示，则函数f(|x|)的图象是

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图乙中的（ ）

10．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．

B．

C．

，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成

D．

11．已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x22y上运动，若x轴截圆M所得的弦为|PQ|，则弦长

|PQ|等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.

12．已知命题p:x0,xA．x0,x12，则p为（ ） x112 B．x0,x2 xx11C．x0,x2 D．x0,x2

xx二、填空题

13．已知fx12x8x11,则函数fx的解析式为_________.

2214．若函数f(x1)x1，则f(2) ．

15．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）

【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.

16．已知数列an的首项a1m，其前n项和为Sn，且满足SnSn13n22n，若对nN，anan1

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恒成立，则m的取值范围是_______．

【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．

17．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2，2

k

k+1

）”；其中所有正确

结论的序号是 ．

三、解答题

18．（本小题满分12分）设f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x（a≠0）． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a＞0，使f（x）∈[e－1，e2]对于x∈[1，e]时恒成立，若存在求出a的值，若不存在说明理由．

19．（本小题满分12分）

一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；

（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．

20．已知：函数f（x）=log2

，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．

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（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点； （2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

21．已知定义域为R的函数（1）求f（x）；

（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）； （3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．

22．（本小题满分12分）

数列{bn}满足：bn12bn2，bnan1an，且a12,a24. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前项和Sn.

是奇函数．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．

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（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

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开阳县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

22

【解析】解：A．命题“若x=1，则x=1”的否命题为“若x≠1，则x≠1”，故A错误，

B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误， C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，

D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确 故选：D．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．

2． 【答案】A 【解析】

考

点：正弦定理及二倍角公式.

【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如sin理

2cos21,cos2cos2sin2,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定

abc2R，余弦定理a2b2c22bccosA， 实现边与角的互相转化. sinAsinBsinC3． 【答案】D 【解析】

试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.

考点：集合的概念；子集的概念. 4． 【答案】B

【解析】【知识点】集合的运算 【试题解析】

所以

。

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故答案为：B 5． 【答案】C 设直线l的方程为：则

．

【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，

，

即2a﹣2b=ab

直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8， 即ab=﹣16， 联立

，

，

解得：a=﹣4，b=4． ∴直线l的方程为：即x﹣y+4=0， 故选：C

即这样的直线有且只有一条，

【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．

6． 【答案】C 【解析】

试题分析：A1,1，所以①③④正确.故选C. 考点：元素与集合关系，集合与集合关系． 7． 【答案】 B

【解析】 【专题】计算题．

排列、组合及简单计数问题．

【分析】根据题意，可将7台型号相同的健身设备看成是相同的元素，首先分给甲、乙两个社区各台设备，再将余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论分配方案，①当三台设备都给一个社区，②当三台设备分为1和2两份分给2个社区，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案．

【解答】解：根据题意，7台型号相同的健身设备是相同的元素，

首先要满足甲、乙两个社区至少2台，可以先分给甲、乙两个社区各2台设备，

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余下的三台设备任意分给五个社区， 分三种情况讨论：

①当三台设备都给一个社区时，有5种结果，

②当三台设备分为1和2两份分给2个社区时，有2×C52=20种结果， ∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果； 故选B．

③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区时，有C53=10种结果，

【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意型号相同的健身设备是相同的元素． 8． 【答案】C

【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．Sm82CnC10C1045，选C．

nn1n2123nm1mCn,n10时，，当m8m9． 【答案】B 【解析】

试题分析：f(|x|)的图象是由fx这样操作而来：保留y轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关于y轴对称翻折过来，故选B． 考点：函数图象与性质．

【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性、数形结合的数学思想方法.由fx加绝对值所得的图象有如下几种，一个是fx——将函数fx在轴下方的图象翻折上来，就得到fx的图象，实际的意义就是将函数值为负数转化为正的；一个是f于y轴对称翻折过来.

10．【答案】D 【解析】解：双曲线

x，这是偶函数，所以保留y轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关

（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x

联立方程组，解得A（，），B（，﹣），

设直线x=与x轴交于点D

∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）

∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA

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∴c﹣＜

222222

，b＜a，c﹣a＜a∴c＜2a，e＜2，e＜又∵e＞1

∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D

【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．

11．【答案】A

【解析】过M作MN垂直于x轴于N，设M(x0,y0)，则N(x0,0)，在RtMNQ中，|MN|y0，MQ为圆的半径，NQ为PQ的一半，因此

222|PQ|24|NQ|24(|MQ|2|MN|2)4[x0(y01)2y0]4(x02y01)

222又点M在抛物线上，∴x02y0，∴|PQ|4(x02y01)4，∴|PQ|2.

12．【答案】D 【解析】

考

点：全称命题的否定.

二、填空题

13．【答案】fx2x4x5

2【解析】

22试题分析：由题意得，令tx1，则xt1，则ft2(t1)8(t1)112t4t5，所以函数fx的解析式为fx2x4x5.

2考点：函数的解析式.

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14．【答案】0 【解析】111]

考点：函数的解析式． 15．【答案】48 【

解

析】

16．【答案】(15,) 43

17．【答案】 ①②④ ．

【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x． ∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0． ∵f（2x）=2f（x），

kk

∴f（2x）=2f（x）．

①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确； ②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．

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若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0． …

mm+1

一般地当x∈（2，2），

则∈（1，2]，f（x）=2

m+1

﹣x≥0，

从而f（x）∈[0，+∞），故正确；

③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，

nn+1nnn

∴f（2+1）=2﹣2﹣1=2﹣1，假设存在n使f（2+1）=9， nn

即2﹣1=9，∴2=10，

∵n∈Z，

n

∴2=10不成立，故错误；

④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数， ∴若（a，b）⊆（2，2

k

k+1

）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．

故答案为：①②④．

三、解答题

18．【答案】

a2

【解析】解：（1）f（x）＝－x＋ax＋aln x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）＝－2x＋a＋

x

a

－2（x＋）（x－a）

2

＝. x

a

①当a＜0时，由f′（x）＜0得x＞－，

2

a

由f′（x）＞0得0＜x＜－. 2a

此时f（x）在（0，－）上单调递增，

2

a

在（－，＋∞）上单调递减；

2

2

2

②当a＞0时，由f′（x）＜0得x＞a， 由f′（x）＞0得0＜x＜a，

此时f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减． （2）假设存在满足条件的实数a， ∵x∈[1，e]时，f（x）∈[e－1，e2]， ∴f（1）＝－1＋a≥e－1，即a≥e，① 由（1）知f（x）在（0，a）上单调递增， ∴f（x）在[1，e]上单调递增，

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∴f（e）＝－e2＋ae＋e2≤e2，即a≤e，② 由①②可得a＝e， 故存在a＝e，满足条件．

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，

22C4C416∴所求概率为P122（6分）

C5C525112C323C2C3C231（Ⅱ）0,1,2, P(0)2，P(1)，，（9分） P(2)22C510C55C510故的分布列为：

 P 0 1 2 3 103 51 10 （10分）

∴E0331412 （12分） 105105

+2x，

20．【答案】

【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2=log2（1﹣∵y=1﹣

）+2x；

在（1，+∞）上是增函数，

故y=log2（1﹣

）在（1，+∞）上是增函数；

又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数； ∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增； 而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0， h（2）=﹣log23+4＞0；

同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；

故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点， 故函数h（x）有两个零点；

（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为

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1﹣故a=

=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；

；

的图象可得，

＜a＜0；

结合函数a=

即﹣1＜a＜0．

【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．

21．【答案】

【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数， 所以f（0）=0，即从而有

经检验，符合题意；… （2）由（1）知，f（x）=

x

=0，解得b=1； ；…

=﹣+；

由y=2的单调性可推知f（x）在R上为减函数； …

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（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式 f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x）， 即f（1+|x|）＜f（﹣x）； … 又因f（x）是R上的减函数， 由上式推得1+|x|＞﹣x，…

解得x∈R．…

22．【答案】（1）bn2n12；（2）Sn2n2(n2n4)． 【解析】

试题分析：（1）已知递推公式bn12bn2，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得bn，变形形式为bn1x2(bnx)；（2）由（1）可知anan1bn2n2(n2)，这是数列{an}的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由an(anan1)(an1an2)

(a2a1)a1求得．

试题解析：（1）bn12bn2bn122(bn2)，∵又b12a2a124，

bn122，

bn2∴an(222232n)2n22(21)2n22n12n.

21n

4(12n)n(22n)2n2(n2n4). ∴Sn122考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式．

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23．【答案】

，0）

，设

， ，

，

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则

，

，0），B（1，0，0），C（0，

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角P（0，﹣，2），A（0，﹣ 所以=（1，，﹣2），

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则则所以

=0， 令

设平面PBC的法向量=（x，y，z）

平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0，即﹣6+．

=0，解得t=

，

，因为平面PBC⊥平面PDC，

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

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