开州区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知函数f（x）=2ax3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，0）

D．（﹣∞，﹣1）

2． 函数f（x）=

，则f（﹣1）的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（

A． B．（4+π） C． D．

4． 已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ A．

B．

C．

D．

5． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（ ）

A．{， } B．{，， } C．{V|≤V≤} D．{V|0＜V≤}

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）

）

6． 已知集合M{x|2x25x0,xZ}，N{0,a}，若MN，则a（ ） A．1 B． C．1或 D．1或2 7． 抛物线y=﹣8x2的准线方程是（ ） A．y=

8． 如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（﹣

），∠AOC=α，若|BC|=1，则

cos2

﹣sin

cos

﹣

的值为（ ）

，

B．y=2 C．x=

D．y=﹣2

A． B． C．﹣ D．﹣

9． 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ） A．

B．

C．

D． =0.08x+1.23

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若面积的最大值为4A．等腰三角形

，则此时△ABC的形状为（ ） B．正三角形 C．直角三角形

（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的

D．钝角三角形

11．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l⊥m，（2）α⊥β⇒l∥m， （3）l∥m⇒α⊥β，（4）l⊥m⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）

A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（2）与（4） D．（3）与（4）

12．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（ ） A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

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二、填空题

13．设MP和OM分别是角

的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：

①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）． 14．幂函数f(x)（m23m3)xm15．函数f（x）=

22m1在区间0,上是增函数，则m ．

（x＞3）的最小值为 ．

16．已知条件p：{x||x﹣a|＜3}，条件q：{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．

2

317．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数fxx2x，若曲线fx在点1,f1处的切线经2过圆C:xya2的圆心，则实数a的值为__________．

18．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有 个直角三角形．

三、解答题

19．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点． （1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；

（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．

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20．∠ABC=如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点． （Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD； （Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．

OA⊥底面ABCD，OA=2，，

21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]

如图，点C为圆O上一点，CP为圆的切线，CE为圆的直径，CP3.

16，求CE的长； 5（2）若连接OP并延长交圆O于A,B两点，CDOP于D，求CD的长.

（1）若PE交圆O于点F，EF第 4 页，共 19 页

x2y222．（本小题满分12分）已知F1,F2分别是椭圆C：221(ab0)的两个焦点，且|F1F2|2，点

ab6(2,)在该椭圆上．

2（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆上相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两

点，问F2PF2QPQ是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．

23．已知条件p:的取值范围．

41，条件q:x2xa2a，且p是的一个必要不充分条件，求实数 x1第 5 页，共 19 页

24．已知函数f（x）=

，求不等式f（x）＜4的解集．

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开州区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

2

【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x+1，有两个零点，不满足条件． 2

若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax﹣6x=6ax（x﹣），

若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，

若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，

故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件． 若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增， 由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，

即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（）， 若存在唯一的零点x0，且x0＞0，

32

则f（）＞0，即2a（）﹣3（）+1＞0， 2

（）＜1，即﹣1＜＜0，

解得a＜﹣1， 故选：D

【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．

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2． 【答案】A

【解析】解：由题意可得f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1 故选：A

【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．

3． 【答案】 D

【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形， 四棱锥的高与圆锥的高相同，高是∴几何体的体积是故选D．

=

，

=

，

【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．

4． 【答案】A

【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， ∴设双曲线的方程为

，（a＞0，b＞0）

由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x， 得=，设b=4t，a=3t，则c=∴该双曲线的离心率是e==． 故选A．

=5t（t＞0）

【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．

5． 【答案】D

【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；

2

当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×1×2=；

当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；

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所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}． 故选：D．

【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．

6． 【答案】D 【解析】

试题分析：由Mx2x25x0,xZx5x0,xZ2,1，集合N0,a， 2又MN，a1或a2，故选D． 考点：交集及其运算． 7． 【答案】A

2

【解析】解：整理抛物线方程得x=﹣y，∴p=

∵抛物线方程开口向下， ∴准线方程是y=故选：A．

【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．

8． 【答案】 A 【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（

又∠AOC=α，∴∠AOB=∴sin（

﹣α）=

﹣（

=﹣（=﹣sin

cos．

﹣α）]=cos

，

﹣α）]=sin

． ﹣

=

（2cos

2

，

，﹣ ﹣α）=

），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，﹣sin（

﹣α）=﹣

sin（

﹣α）

sin（

，

，

﹣α，∴cos（

∴cosα=cos[=

+

cos（﹣α）+sin

∴sinα=sin[=∴

﹣cos2

cos（﹣α）﹣cos

﹣α）

﹣1）﹣sinα=cosα﹣sinα

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=

故选：A．

﹣

=，

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．

9． 【答案】C

【解析】解：法一：

由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5）， 法二：

将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B 因为回归直线方程一定过样本中心点，

将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，

故选C

【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．

10．【答案】A 【解析】解：∵∴∴

（acosB+bcosA）=2csinC，

2

（sinAcosB+sinBcosA）=2sinC，

sinC=2sin2C，且sinC＞0，

，

，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）

=4

，

∴sinC=

∵a+b=8，可得：8≥2

∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤∴a=b=4，

则此时△ABC的形状为等腰三角形． 故选：A．

11．【答案】B

【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确； ∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；

∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；

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∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误； 故选B．

【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．

12．【答案】A

2

【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y=zx，∴充分性成立，

2

因为y=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，

故选：A．

【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 ②

【解析】解：由MP，OM分别为角∵

∴OM＜0＜MP． 故答案为：②．

的正弦线、余弦线，如图， ，

【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．

14．【答案】

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【解析】

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂数yxR在0,上单调递增，则0，若在0,上单调递减，则0；（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1 15．【答案】 12 ．

【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0 由题意知：

=﹣

=t﹣3t2

函数yxR是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函

令t=∈（0，），h（t）=

2

因为 h（t）=t﹣3t 的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；

故h（t）∈（0，由h（t）=

]

≥12

⇒f（x）=

故答案为：12

16．【答案】 [0，2] ．

【解析】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；

2

命题q：x﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．

∵q是p的充分不必要条件， ∴q⊊p， ∴

解得0≤a≤2， 故答案为：[0，2]．

，

则实数a的取值范围是[0，2]．

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【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

17．【答案】2

3

【解析】结合函数的解析式可得：f11211，

2对函数求导可得：f'x3x2，故切线的斜率为kf'13121，

2则切线方程为：y11x1，即yx2，

22圆C：xya2的圆心为0,a，则：a022.

18．【答案】 4

△PAB是直角三角形，∠ACB=90°【解析】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，又由已知△ABC是直角三角形，所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形， 所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB． 故答案为：4

【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．

三、解答题

19．【答案】

22

【解析】解：（1）设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0

22

圆的方程为x+y﹣8y﹣9=0…

（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点 则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD， 又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD 又OC=OB，所以△BOD≌△COD ∴∠OCD=∠OBD=90°

即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切． … （其他方法亦可）

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20．【答案】

【解析】解：方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE ∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角） 作AP⊥CD于P，连接MP ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP ∵，∴

，

∴

所以AB与MD所成角的大小为．

（3）∵AB∥平面OCD，

∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，∵AP⊥CD，OA⊥CD， ∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，第 14 页，共 19 页

，

∵

，

，

∴

，所以点B到平面OCD的距离为．

方法二（向量法）

作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系： A（0，0，0），B（1，0，0），，

O（0，0，2），M（0，0，1），

（1）

，

，

设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，

•

=0 即

取，解得 ∵

•

=（

，

，﹣1）•（0，4，

）=0，

∴MN∥平面OCD．

（2）设AB与MD所成的角为θ， ∵∴， ∴

，AB与MD所成角的大小为

．

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量

=（0，4，

）上的投影的绝对值，由

，得d=

=

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，

所以点B到平面OCD的距离为．

【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．

21．【答案】（1）CE4；（2）CD【解析】

试题分析：（1）由切线的性质可知ECP∽EFC，由相似三角形性质知EF:CECE:EP,可得CE4；（2）由切割线定理可得CPBP(4BP)，求出BP,OP,再由CDOPOCCP,求出CD的值. 1 试题解析：

（1）因为CP是圆O的切线，CE是圆O的直径，所以CPCE，CFE90，所以ECP∽EFC,

0613. 132设CEx，EP所以x2x29，又因为ECP∽EFC，所以EF:CECE:EP，

162x9，解得x4. 5第 16 页，共 19 页

考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质. 22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．

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23．【答案】1,2． 【解析】

试题分析：先化简条件p得3x1，分三种情况化简条件，由p是的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.

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14xa10a，当时，q:；1得p:3x1，由x2xa2a得xa2x111当a时，q:a1,a；当a时，q:a,a1

22由题意得，p是的一个必要不充分条件，

111当a时，满足条件；当a时，a1,a3,1得a1,，

22211当a时，a,a13,1得a,2 综上，a1,2．

22试题解析：由

考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.

【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断p是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件，二是由条件能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的. 24．【答案】

【解析】解：函数f（x）=

当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0； 当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1． 综上x∈（﹣3，0）．

不等式的解集为：（﹣3，0）．

，不等式f（x）＜4，

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