分数裂差.学生版

分数裂差.学生版(总10页)

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分数裂差

考试要求

1、 2、

灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和

知识结构

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即前面，即ab，那么有

1111() abbaab1形式的，这里我们把较小的数写在ab2、对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：

1111[]

n(nk)(n2k)2kn(nk)(nk)(n2k)1111[]

n(nk)(n2k)(n3k)3kn(nk)(n2k)(nk)(n2k)(n3k)3、对于分子不是1的情况我们有：

k11

n(nk)nnkhh11

nnkknnk2

2k11

nnkn2knnknkn2k3k11

nnkn2kn3knnkn2knkn2kn3khnnkn2k2kh11

nnknkn2k11

nnkn2knkn2kn3khhnnkn2kn3k3k22n1111

22n12n12n12n1二、裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

重难点

1、 2、

分子不是1的分数的裂差变型； 分母为多个自然数相乘的裂差变型。

例题精讲

一、 用裂项法求分析：

1型分数求和

n(n1)1型（n为自然数）

n(n1)3

n1n111因为＝（n为自然数），所以有裂项公式：

nn1n(n1)n(n1)n(n1)111

n(n1)nn1

【例 1】 填空：

（1）1-（5）

11111= （2） （3）  （4） 2122323111111 （6） （7） （8）

59605960991009910011111 。 1223344556【巩固】

【例 2】 计算：

111 ......101111125960

【巩固】计算：

4

111985198619861987111

19951996199619971997

【例 3】 计算：

11224 ____。 26153577

【巩固】

【例 4】 计算：

11111111_______。 612203042567290111111111＝ 。 2612203042567290

【巩固】计算：123

5

12161141220201 420

【例 5】 计算：200811111= 。 20092010201120121854108180270

【巩固】计算：

二、用裂项法求分析：

1型分数求和

n(nk)125111929612203097019899 ． 970299001型。（n,k均为自然数）

n(nk)1111()1111nkn1)[]因为(，所以n(nk)knnk

knnkkn(nk)n(nk)n(nk)

6

【例 6】

1111335571

99101

【巩固】计算：

111【例 7】 计算：251335571 23251111111 315356399143195

【巩固】计算：(

7

181111111)128 244880120168224288

三、用裂项法求分析：

k型分数求和

n(nk)k型（n,k均为自然数）

n(nk)nknkk1111因为＝＝，所以＝

n(nk)n(nk)n(nk)n(nk)nnknnk

【例 8】 求

2222的和 ......1335579799 【巩固】

【例 9】 计算：

221099822 54433314473

7679

8

【巩固】332558381133235

【例 10】

444421771652021

【巩固】(222231535575)46

9

课堂检测

1、计算：1111223341 4950

2、计算：

3、计算：

118241481801120111682246411111577991111131315 10

4、

33144733 76797982111111115、计算：1357911131517

612203042567290

家庭作业

1、计算：

11111112、

6122030425672

11

1111111113、计算: 

2612203042567290 4、11014018811541238 。

5、(2822244829800)50

12