15 广义逆的计算及应用

第十五讲 广义逆的计算及应用

一、 由Hermite标准形求{1}-逆

mnmmACECrm任何矩阵都可由初等变换化为Hermite标准形。设，存在满秩矩阵，

是EAB（Hermite标准形）,采用置换矩阵P：

Pel1el2|其它einn

EAPIKr00 AE1IrK00P1

1. 求{1}-逆的方法

A1PIrMEKN0NLnm （取阶数合适的M、XPIrM[证明]令

NLE，则 AXAE1IKKrP1PI00rM1IrNLEE00P1

128

）

L

IrKNMKLIrE000

1K1P0

IrKN(IrKN)K1EP00

1IE1r0

A 2. {1,2}-逆

K1P0

当

XA1时，由定理可知：rankXrankA是

XA1,2的充要条件。

IMXPrENL，P、E为满秩方阵

IrMrankXrankrankArNL IrMIrNL~0MLNM0LNM

IrMA1,2PEKN0,LNMNLnm 

129

二、 由满秩分解求广义逆

对A进行满秩分解：AFG，ACr，FCr，GCr

mnmrrnmnACr[定理] 设，其满秩分解为AFG，则

（1）

G(i)F(1)Ai i1,2,4

（2）

G(1)F(i)Ai i1,2,3

（3）

G(1)FA1,2,3，

GF(1)A1,2,4

(1,3)(1,4)AGFGF （4）

HH1H1HHHH1HAGFG(GG)(FF)FG(FAG)F （5）

证明思路：（1）（2）代入相应的Penrose方程即可证之，

由（1）（2）（3）（4）（5）

三、 矩阵方程AXBD的相容性条件及通解

(1)(1)定理1. 矩阵方程AXBD相容（有解）的充要条件：AADBBD

在相容情况下矩阵方程的通解为：

130

A(1)DB(1)YA(1)AYBB(1)|Y为阶数合适的任意矩阵

[证明] 相容性条件的充分性：

(1)(1)(1)(1)已知AADBBD，显然有解XADB

相容性条件的必要性：已知AXBD有解，设某个解为X，即

(1)(1)(1)(1) DAXBAAAXBBBAADBB

现在证明通解：“通解”有两个含义：（1）解集合中的任何元素为方程的解；（2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。

(1)(1)(1)(1)（1） 令XADBYAAYBB，代入AXBD

AXBDAYBAYBD

 集合中的元素为方程的解

（2） 设X为方程的解，即AXBD

XA(1)DB(1)XA(1)DB(1)A(1)DB(1)XA(1)AXBB(1)

对应于集合中YX的情况。

[得证]

131

由上述证明可见：（1）通解中两个A及两个B完全可以不同。

(1)(1)（2）通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解。

(1)AAbb AXb推论1. 线性方程组有解的充要条件为：

A且通解为

(1)b(InA(1)A)y|y为列向量

推论2.

A1(AXAA的解)为如下集合：

A(1)AA(1)YA(1)AYAA(1) （四个A(1)可互不相同）

四、 极小范数解

在方程有解时，完全可能是具有无穷多个解，实际中常常希望研究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。

引理1. 方程AXb若有解，则必存在唯一的极小范数解（对2-范数），且该解在

R(AH)中。

[证明] 设x是方程AXb的解，可将其分解为xx0y，其中

x0R(AH)N(A)x0N(A)，yN(A)

222222x2x0y2(x0y)(x0y)xx0yyx02y2x0

132

HH0H

而AxAx0AyAx00Ax0b

HxR(A)中存在AXb的解。 即：0也是方程的解，也就是

HR(A)中存在方程AXb的两个解x1和x2，即Ax1Ax2b 假设

AxAx0(xx)N(A)(xx)N(A) 12122 同时1 

(x1x2)N(A)N(A)0x1＝x2

HR(A)中方程AXb只有唯一的解（若方程有解） 也就是说在

 方程的任何其它解的2-范数均大于x0的2-范数

 x0是极小范数解

[得证]

HR(A)的解必定是极小范数解。 AXb由证明可知，方程在

引理2. 逆。

A1,4由如下方程的通解构成XAA(1,4)A，其中A(1,4)是A的某一个{1,4}-

133

[证明]一方面：上述方程的解一定是A的某一个{1,4}-逆,设X为其解

(1,4) (ⅰ) AXAAAAA

(1,4) (ⅳ) XAAA 是厄米矩阵

另一方面：A的任何{1,4}-逆均满足上述方程，设X是A的{1,4}-逆，A定的{1,4}-逆，X满足(ⅰ) (ⅳ)Penrose方程

(1,4)是某个给

A(1,4)AA(i)(1,4)AXAA(1,4)A(iv)HXAXAA(1,4)AHHXAXAH

[得证]

以上引理说明，对于

XA1,4，XA是个不变量。

(1,4)XAb是方程的极小范数解；反之，若对任意Axb定理2. 设方程相容，则

bR(A)，存在X使得Xb成为该方程的极小范数解，则XA1,4。

(1)[证明] 先证前半部分。推论1Ab是Axb的解

(1,4)(1,4)AA1xAb是方程的解(1,4)(1,4)(1,4)(1)(1,4)AA4xAbAAAbAA

HA(1)b

H(1,4)H(1)HA(A)AbR(A)

134

由引理1知，A(1,4)b是极小范数解。

(1,4)后半部分：，存在对于任意bR(A)，均有Xb为Axb的极小范数解，即Xb＝A为极小范数解。

因为bR(A)，上式都成立，将b依次取为A的各列，合起来得

bXAA(1,4)A

由引理2知

XA1,4

定理3. 设ACmn，则

A1,4A(1,4)Z(IAA(1,4))|ZCmn

该定理的证明可由引理2结合定理1给出。

作业：P334 2 3(1)，3(2)

135