双曲线的基础知识与基本类型题(原创)

双曲线基础知识

一 基础知识

1。双曲线的定义式: ;

2.（1）双曲线的标准方程：焦点在x轴上: ； 焦点在y轴上： ； (2）双曲线的一般方程（不能确定焦点位置时）: ； 3．双曲线的标准方程中焦点位置的判断: ； 4.（1）双曲线的实轴长为 ;虚轴长为 ；焦距为 ； （2）双曲线中a,b,c的大小关系： ； （3）双曲线中a,b,c的等量关系: ;

5.双曲线焦点在x轴上：顶点坐标为 ；焦点坐标为 ； 焦点在y轴上：顶点坐标为 ；焦点坐标为 ； 6. 离心率：(1）定义式：e ；

（2）e与a,b关系为

b ; a（3）范围： e ;

7。双曲线的渐近线：

（1）渐近线方程为:焦点在x轴上: ； 焦点在y轴上： ； (2）焦点到渐近线的距离为 ；

x2y2（3）以直线220为渐近线的双曲线方程可设为 ；

abx2y2(4）与双曲线221a0,b0有共同渐近线的双曲线方程

ab可设为 ；

8.等轴双曲线：①满足的条件: ；②方程的设法： ； ③离心率e ； ④渐近线方程: ； 9。结论:

(1)双曲线过中心的最短弦长为 ；

（2)双曲线过焦点的最短弦长（弦的两个端点在同一支上）为 ；

（此时最短弦长称为通径）

双曲线过焦点的最短弦长（弦的两个端点在两支上）为 ;

（3）双曲线上任一点P到焦点的最短距离(点P与焦点在同一支）为 ；

此时点P的位置为 ;

1

双曲线上任一点P到焦点的最短距离（点P与焦点在两支)为 ； 此时点P的位置为 ；

x2y2（4）P为双曲线221(a0,b0)上一点，A为双曲线内一定点,F1,F2 为

ab双曲线的左右焦点，

① 若A在右支内，则PF2+PA的最小值为 ； ② 若A在左支内,则PF2+PA的最小值为 ；

x2y2（5）P为双曲线221(a0,b0)上一点， F1,F2 为双曲线的左右焦点，

ab则PF1PF2的最小值为 ；

（6)双曲线焦点为F1,F2,过F1的弦与双曲线交于A,B两点，且ABm,

则ABF2的周长为 ；

（7）双曲线焦点为F1,F2，P为双曲线上任一点，且F1PF2，则SF1PF2 ； (8)双曲线的一条弦的斜率为k1,弦的中点与原点连线的斜率为k2,

x2y2①若双曲线方程为221a0,b0，则k1k2 ；

aby2x2②若双曲线方程为221a0,b0，则k1k2 abx2y2（9）点Px0,y0在双曲线221a0,b0内,则有 ；

aby2x2点Px0,y0在双曲线221a0,b0内，则有 。

ab二 基本类型题： （一）双曲线的标准方程

y2x21 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）。

164则双曲线C的方程为 ．

12 过点（1,3）且渐近线为yx的双曲线方程是 2

2

3 以(23,0)为双曲线的焦点,且两条渐近线是x3y0的双曲线方程为________________.

x4 已知双曲线的渐近线方程是y,焦点在坐标轴上且焦距是10，

2则此双曲线的方程为 。

（二） 最值问题：

x2y25. 已知双曲线1，F1,F2为其左右焦点，A为双曲线内一定点，P为双曲线上一点，169 ）若点A5,1，则PF+PA的最小值为；（12 （2 ）若点A-5,1，则PF2+PA的最小值为。x2y2

6.已知双曲线1，F1,F2为其焦点，P为双曲线上一点， 54 则PFPF的最小值为。 12 22xy7. 已知双曲线1，直线l:xy30，在双曲线上找一点P，259 使它到直线l的距离最短，求点P的坐标及最短距离。

（三） 点差法（与弦中点有关的问题）

2y2 8.已知双曲线x1，3

（1）求以P2,1为中点的弦所在直线方程；

（2）以Q1,1为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线方程； 若不存在，请说明理由。

3

（四) 对称问题

2y21，试确定m的取值范围，使得对于直线ymx4, 9.已知双曲线x3

双曲线上总有不同的两点关于该直线对称。

(五） 直线与曲线相交

10.已知双曲线x2y24，直线l:ykx1,求实数k的取值范围.

（1）直线l与双曲线有两个公共点；

（2）直线l与双曲线右支有两个公共点； （3）直线l与双曲线有且只有一个公共点； （4）直线l与双曲线没有公共点.

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（六）离心率问题

11.双曲线的虚轴端点和一个焦点是一个等边三角形，求双曲线的离心率.

x212。双曲线C:2ay2b21(a0,b0)的左右焦点为F1,F2，点P在右支上,

且有|PF1|:|PF2|3:2，求双曲线离心率的范围

13双曲线中心在原点，一条渐近线方程为x2y0，求它的离心率

x214已知点F,A分别为双曲线C:2ay2b21(a0,b0)的左焦点和右顶点,点

B(0,b)在以F,A为直径的圆上,求双曲线的离心率。

x2y215已知双曲线221（a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°

ab的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围

x216 双曲线2ay21(a0)与直线xy1相交于不同的两个点,求双曲线的

离心率的范围

x217 双曲线C:2ay2b21(a0,b0)的左右焦点为F1,F2，过F1作垂直于x轴的

直线交双曲线于A,B两点，若ABF2为钝角三角形，求双曲线离心率的取值范围

x218 已知双曲线C:2ay2b21(a0,b0)的左右焦点为F1,F2,P为双曲线右支

上任意一点,当

PF1PF22取得最小值时,求该双曲线离心率的最大值

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