等差数列与等比数列综合题

例1 等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q；

（2）求a1－a3＝3，求sn

例2 在正项数列an中,令Sni1n1.

aiai1（Ⅰ）若an是首项为25,公差为2的等差数列,求S100； （Ⅱ）若Snnp（p为正常数）对正整数n恒成立,求证an为等差数列；

a1an1

例3 已知{an}是公比为q的等比数列，且am,am2,am1成等差数列. )

（1）求q的值；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试判断Sm,Sm2,Sm1是否成等差数列说明理由.

2例4 已知数列｛an｝的首项a1a（a是常数），an2an1n4n2（nN,n2）．（Ⅰ）an是否可能是等差数列.若可能，求出an的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅱ）设b1b，bnann2（nN,n2），Sn为数列bn的前n项和，且

Sn是等比数列，求实数a、b满足的条件．

例5 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，…. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式； ￥

(Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.

例

6

已知数列{an}中，a02,a13,a26，且对n≥3时有

an(n4)an14nan2(4n8)an3．

（Ⅰ）设数列{bn}满足bnannan1,nN，证明数列{bn12bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）记n(n1)21n!，求数列{nan}的前n项和Sn

例7 设数列an,bn满足a11,b10且

an12an3bn,bn1an2bn,n1,2,3,

（Ⅰ）求的值，使得数列anbn为等比数列； （Ⅱ）求数列an和bn的通项公式；

，求极限lim（Ⅲ）令数列an和bn的前n项和分别为Sn和SnSn的值．

nSn例8 数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN*，总有an,Sn,an2成等差数列.

、

(Ⅰ)求数列an的通项公式；

(Ⅱ)设数列bn的前n项和为Tn ，且bnlnnxan2，求证:对任意实数x1,e（e是常数，

e＝）和任意正整数n，总有Tn 2；

(Ⅲ) 正数数列cn中，an1cn

例9 设

n1,(nN*).求数列cn中的最大项.

an是公差不为零的等差数列，Sn为其前

n项和，满足

a22a32a42a52,S77。

（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得

例10 已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。 （1）

（2）

!

amam1为数列an中的项。 am2

*若an3n1，是否存在m、kN，有amam1ak?说明理由；

（3） 找出所有数列an和bn，使对一切nN,

*an1bn,并说明理由； an（4） 若a15,d4,b1q3,试确定所有的p，使数列an中存在某个连续p项的和是数列bn中的一项，请证明。