北京理工大学2010学年第一学期《概率论与数理统计》期末试题及详细参考答案

2010-2011-1

概率统计与数理分析试题

一（12分）一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率

为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为。

（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。

（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

P2二、（14分）1、设随机变量X的密度函数

lnx12,x0e2fx2x

0,x02求 YlnX 的密度函数.

2、设随机变量 X~N,2 ，

试问：随着 的增大，概率 PX 是如何变化的?

三、（18分）设二维连续型随机变量（X,Y）服从区域

G(x,y)|1x3,1y3

上的均匀分布。

求（1）（X,Y）的联合概率密度函数； （2）X和Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y)； （3）判断X和Y的独立性，并说明理由；

（4）ZXY，UXY的概率密度函数fZ(z)和fU(u)

四、（18分）随机变量X, Y相互独立，它们的密度函数分别为

x112e,x0fX(x)20,x0,ey,y0fY(y)y00,.

令Zmax(X,Y).

求(1) Z的密度函数fZ(z)。

(2) Z的数学期望E(Z)和方差Var(Z).

五、（8分）某大型商场每天接待顾客10000人,设每位顾客的消费

额(元)服从[200, 2000]上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独 立的。试求该商场的销售额(元)在平均销售额上、下浮动不超过 30000元的概率。

六、（18分）设X1,X2,,Xn为来自总体X的一个样本，x1,x2,,xn为相

应的样本观测值.已知总体X的概率密度函数为

x111e, x0f(x)1

0, x0其中1为未知常数。 求 (1)参数的矩估计；

(2)参数和E(X)的最大似然估计.

七、设某基础课程的考试成绩服从正态分布。现在从参加该课程考试

的学生中随机抽取36位考生，算得样本平均分数为64，样本标准差为15。能否据此认为该课程的平均成绩为70，方差大于210？ (=0.05)

2010-2011年概率论与数理统计1答案

一,

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2/A1) （1）B={至少有一次及格}

所以B{两次均不及格}A1A2 ∴

PB()1PB()11P(AA)1P(AP(A2|A1)-------------------------------------4分 21)P 2 1[1P(A1)][1P(A2|A1)]

P31 1(1P)(1)PP2-----------------------------------------2分

222（2）由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2 -------------------------2分

由全概率公式，有P(A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)

PP1(P)

P2PP222

------------------------------2分 得P(A1|A2)P2P2P222P ----------------------2分 P1二、

解： 1、YlnX 的可取值范围是,

由 ylnx 得 y10 x故 ylnx 在 0, 上严格单增，

其反函数 xhyey ，且 hyey ………(6分) 所以 YlnX 的密度函数

fY(y)fXeyey ………(2分)

 2、因为

12ey12eelney222eyy222 ………(2分)

,yPXPX

11211 所以，随着 的增大，概率 PX 是不变的

………(4分) 三、 解：（1）（X,Y）的联合概率密度函数为

1,4 f(x,y)0,1x3,1y其它3

………(4分)

311dy,1x3,1x3= （2）fX(x)=4210,其它0,其它31dx, fY(y)=140,11y3,=20,其它1y3 ………(6分) 其它（3）因为f(x,y)fX(x)fY(y) 所以X和Y独立。………(2分)

z11dx,2z41(z2),2z4414311f(x,zx)dxdx,4z6(6z),4z6

4z34其它0,0,其它（4）fZ(z) 先求U的分布函数：

0,421(2u2)2, FU(u)41,求导数得U的密度函数为

u00,10u21-(2u4u21,u02),u0 2u21(2u),0u2fU(u)2 ………(6分)

0,其它四、

解：(1) 由X,Y的密度函数易知

x0;0,1 FX(x)P(Xx)x21e,x0.0,FY(y)P(Yy)y1e,y0; y0.从而

FZ(z)P(Zz)P(max(X,Y)z)P(Xz,Yz)0,z0;1P(Xz)P(Yz)z2(1e)(1ez),z0.故

0,z0;d3zzfZ(z)FZ(z)11 3z22eee,z0.dz22

(2) 由指数分布的期望与方差易知

12x2xxedx,xedx. 因此 2001z3zE(Z)zfZ(z)dzz(e2eze2)dz0221312z32zz zedzzedzzedz000222721.3313又

1z3zE(Z)zfZ(z)dzz(e2eze2)dz02213zz3212z2 ze2dzzedzze2dz000222822222122()2.3922213最终 Var(Z)E(Z2)E2(Z)五、

827211(). 933解 设第k位顾客的消费额为Xk(k1,2,...,10000)，商场日销售额为X，则

10000XXk1k，由已知

E(Xk)20020001100， 2(2000200)218002D(Xk)270000； ---------- 2分

121210000E(X)10000E(Xk1k)10000110011106，

D(X)D(Xk1k)1000027000027108。 --------- 2分

进而，由中心极限定理，

P{11106-30000X11106+30000}30000X1110630000P{}

180018001800100100100121212300002()13000032(1)12(0.58)10.44 ---------- 4分 3六、

解：(1)由于

EX1 ……………3分

令EXXn 即 1Xn ……………3分 解得的矩估计为

ˆX1 ……………3分 n(2) 似然函数为 L()f(xi)i1i1nn1e11x1i(1)en1x1i1in ……………2分

对数似然函数为 lnL()n1nln(1)xi ……………2分

1i1对求导并令其为零，得

n1dlnLn x0 ……………1分 2i1(d1)i1解得的最大似然估计为

ˆx1 ……………2分 n 由于EX1，因此EX的最大似然估计为

ˆ1x ……………2分 n七、

解：（1）检验该门成绩的平均分是否为70。 假设H0：70； H1：70。 选取检验统计量 tX70Sn，

构造拒绝域： |t|t0.025(n1)t0.025(35)2.030 ------4分 计算得：t64702.4 故拒绝H0，可以认为这门课程的平均成绩与70156分有显著性差异。 ------2分

（2）检验该门课程成绩的方差是否低于210。 假设 H0:2210,2H1:2210

S2， 选取检验统计量 (n1)21022构造拒绝域： 20.05(n1)0.05(35)49.802 ------4分

22537.50. 故不拒绝H0，可以认为该成绩的方差210没有显著地大于210。 ------2分

由样本计算得：235