2020.04北京四中高三年级统练数学(2020.4.21)

高三数学2020.4.21

试卷满分150分 考试时间120分钟

一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．tan570 （A）33 （B）33 （C）3 （D）

32

2．等比数列{an}满足a13，a1a3a521，则a3a5a7 （A）21 （B）42 （C）63 （D）84

3．下列选项中，说法正确的是

（A）“xR,x200x00”的否定是“xR,x2x0”

（B）若向量a,b满足ab0，则a与b的夹角为钝角 （C）若am2bm2，则ab

（D）“x(AB)”是“x(AB)”的必要条件

4．已知a0，b0，ab1，若a1a，b1b，则的最小值是 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6

5．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是

（A）8 （B）8 3

（C）4 （D）

4

3

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ππ6．函数ytan(x)的部分图象如图所示，则(OAOB)AB

42（A）6 （C）4

（B）5

（D）3

7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为

1（A）

5

（D）

2 5（B）

6 25（C）

8 25

x2y28．已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于

abA, B两点，O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2， △AOB的面积为3，则p = （A）1

19．ABC中，三边的长为a,b,c，若函数f(x)x3bx2(a2+c2ac)x1有极值点，则B3（B）

3 2（C）2 （D）3

的取值范围是

π（A）(0,)

3π（B）(0,]

3π（C）[,π]

3π（D）(,π)

3

10单位正方体ABCDA1B1C1D1，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1A1D1，黑蚂蚁爬行的路线是ABBB1，

它们都遵循如下规则：所爬行的第i2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是 （A）1

（B）2 （C）3 （D）0

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二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次 阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均 数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则xy的值为 ．

112．在(2x2)5的二项展开式中，x的系数为 ．（用数值作答）

x

13．直线xsiny20的倾斜角的取值范围是 ．

2114．已知x0,y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是 ．

xy

15．函数f(x)Acos2(x)1（A0,0,0π）的最大值为3，若f(x)的图象与 2y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，

则f(1)f(2)f(2015) ．

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三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）

已知如图1，在RtABC中，ACB30，ABC90，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示． （Ⅰ）求证：AE平面BCD； （Ⅱ）求二面角ADCB的余弦值；

（Ⅲ）求三棱锥BAEF与四棱锥AFEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．

图1 图2

17．（本小题满分14分）

π已知函数f(x)sin(x)(0,)恰好满足下列三个条件中的两个条件：

2① 函数f(x)的最小正周期为π；

π是函数f(x)的对称轴； 6πππ③f()0且在区间(,)上单调，

462（Ⅰ）请指出这两个条件，说明理由，并求出函数f(x)的解析式；

②xπ（Ⅱ）若x[0,]，求函数f(x)的值域．

3

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18．（本小题满分14分）

某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：

日期 元件A个数 1日 9 11日 12 2日 15 12日 24 3日 12 13日 15 4日 18 14日 15 5日 12 15日 15 6日 18 16日 12 7日 9 17日 15 8日 9 18日 15 9日 24 19日 15 10日 12 20日 24 日期 元件A个数 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数． （Ⅰ）求X的分布列与数学期望；

（Ⅱ）若a,bN，且ba6，求P(aXb)最大值；

（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）

19．（本小题满分14分）

已知点P1,2到抛物线C：y22pxp0准线的距离为2． （Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；

（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A,B，直线PA,PB分别交x轴于M,N两点，求MFNF的值．

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20．（本小题满分15分）

设函数f(x)ax2alnx，g(x)（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x1时，g(x)0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间(1,)内恒成立．

21．（本小题满分14分）

如图，设A是由nn个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i,j1,2,3,行第j列的实数，且aij{1,1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合．

对于AS(n,n)，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令

nn1ex，其中aR，e2.718xe为自然对数的底数．

,n)表示位于第il(A)ri(A)cj(A)．

i1j1a11 a12 … … a1n a2n … （Ⅰ）请写出一个AS(4,4)，使得l(A)0； （Ⅱ）是否存在AS(9,9)，使得l(A)0？说明理由；

a21 …a22 …… … an1 （Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n,n)，求l(A)的取值集合．

an2 ann