乃东县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 若当xR时，函数f(x)a|x|（a0且a1）始终满足f(x)1，则函数y（ ）

loga|x|的图象大致是 x3

【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等． 2． 下列说法正确的是（ ）

A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；

B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体； C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥； D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.

x2y23． F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3 C. 21 D. 31

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

4． 已知集合A{2,1,0,1,2,3}，B{y|y|x|3,xA}，则A【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 5． 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）

B（ ）

A．{2,1,0} B．{1,0,1,2} C．{2,1,0} D．{1,,0,1}

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A． B． C． D．

6． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ） A．10米

B．100米

C．30米

D．20米

7． 已知f（x）=4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A．（1，5） B．（1，4） C．（0，4） D．（4，0） 8． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A．xR,xx2

B．“对任意的xR，x2x10”的否定是“存在x0R，x02x010 C．R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数

D．已知m，n表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且m，n，则“”是 “m//n”的必要不充分条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 9． 已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（ ） A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i A．1

B．2

C．3

C．1﹣2i D．1+2i D．4

10．数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+2，a5+3构成公比为q的等比数列，则q=（ ）

211．设x，y满足线性约束条件的值为（ ） A．2

B．

C．

D．3

，若z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a

12．随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空题

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13．下列命题：

①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，Sn最大值为S5； ④在△ABC中，A＞B的充要条件是cos2A＜cos2B；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．

14．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是 ．

15．下列命题：

，k∈Z}；

①终边在y轴上的角的集合是{a|a=

②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点； ③把函数y=3sin（2x+④函数y=sin（x﹣

）的图象向右平移

个单位长度得到y=3sin2x的图象；

）在[0，π]上是减函数

其中真命题的序号是 ．

16．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．

17．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣2x]=6，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于 ．

18．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期为T的周期数列．已知数列{an}满足：a1＞=m （m＞a ），an+1=

，现给出以下三个命题：

①若 m=，则a5=2；

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②若 a3=3，则m可以取3个不同的值； ③若 m=

，则数列{an}是周期为5的周期数列．

其中正确命题的序号是 ．

三、解答题

19．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得关，试求点M的坐标．

20．（本小题满分12分）

与k的取值无

x的焦点，离心率是

．

如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．

（1）求证：BD⊥MC1；

（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．

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21．已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)xa(aR).

（1）当a1时，解不等式f(x)2x11；

（2）当x(2,1)时，x12xa1f(x)，求的取值范围.

23．已知函数fxxbxalnx.

2

（Ⅱ）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

（1）当函数fx在点1,f1处的切线方程为y5x50，求函数fx的解析式； （2）在（1）的条件下，若x0是函数fx的零点，且x0n,n1,nN，求的值；

*（3）当a1时，函数fx有两个零点x1,x2x1x2，且x0

x1x2，求证：fx00． 2第 5 页，共 18 页

24．已知函数（Ⅰ）求

的解析式；

，都有

的图象在直线

，求

的最小值；

的下方．

（Ⅱ）若对于任意（Ⅲ）证明：函数

，且

．

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乃东县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】由f(x)a|x|始终满足f(x)1可知a1．由函数yloga|x|是奇函数，排除B；当x(0,1)时，x3loga|x|0，此时y2． 【答案】C 【解析】

loga|x|0，排除A；当x时，y0，排除D，因此选C． 3x考

点：几何体的结构特征. 3． 【答案】D

2222【解析】∵PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF1PF2F1F24c，1PF20，∴PF|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)，

(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径 rPF1PF2F1F2312c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2cc，整理，得

22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D. a4． 【答案】C

【解析】当x{2,1,0,1,2,3}时，y|x|3{3,2,1,0}，所以A5． 【答案】C

【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱， 底面是一个边长是侧棱长是

，

×2=6+

，

的等边三角形，

B{2,1,0}，故选C．

∴三棱柱的面积是3×故选C．

【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．

6． 【答案】C

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【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，

设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米 Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=在△BCD中，BC=30米，BD=30由余弦定理可得：

AB=30

米

米，∠CBD=30°，

CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去） 故选：C

【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．

7． 【答案】A

【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a则函数f（x）过定点（1，5）． 故选A．

8． 【答案】D

x﹣1

得，f（1）=5，

9． 【答案】A

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【解析】解：由z•i=2﹣i得，故选A

10．【答案】A

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d， 由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，

2

得：（a3+2）=（a1+1）（a5+3）， 2

整理得：a3+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3

2

即（a1+2d）+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3． 2

化简得：（2d+1）=0，即d=﹣．

，

∴q===1．

故选：A．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．

11．【答案】B

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z， ∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0． 平移直线y=ax﹣z，

由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．

当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件． 此时a=． 故选：B．

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12．【答案】C

【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称， 因为P（x1＜3）=P（x2≥a）， 所以3﹣2=4﹣a， 所以a=3， 故选：C．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

二、填空题

13．【答案】 ②③④⑤

【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=

，

，

，但是

，因此不是单调递增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，∴

=11a6＜0，

∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此Sn最大值为S5，正确；

④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．

=5（a6+a5）＞0，

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【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

14．【答案】0 【解析】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点， ∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），

=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），

=﹣1+0+1=0，

∴A1E⊥GF，

∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0． 故答案为：0．

15．【答案】 ③ ．

【解析】解：①、终边在y轴上的角的集合是{a|a=②、设f（x）=sinx﹣x，其导函数y′=cosx﹣1≤0， ∴f（x）在R上单调递减，且f（0）=0， ∴f（x）=sinx﹣x图象与轴只有一个交点．

，k∈Z}，故①错误；

∴f（x）=sinx与y=x 图象只有一个交点，故②错误； ③、由题意得，y=3sin[2（x﹣

）+

]=3sin2x，故③正确；

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④、由y=sin（x﹣故答案为：③．

）=﹣cosx得，在[0，π]上是增函数，故④错误．

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．

16．【答案】 12 ．

【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3， 所以15﹣x=12， 即所求人数为12人，

故答案为：12．

17．【答案】 6 ．

x

【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，

xx

∴f（x）﹣2=a，即f（x）=a+2，

∴当x=a时，

x

∴f（x）=2+2，

a

又∵a+2=6，∴a=2，

xxxx

∴f（x）+f（﹣x）=2+2+2+2﹣=2+2﹣+4

≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，

∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6， 故答案为：6．

【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

18．【答案】 ①② ．

【解析】解：对于①由an+1=所以，

＞1，

，

，且a1=m=＜1，

，∴a5=2 故①正确；

对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．

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若，则．

若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意． 所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个． 故②正确； 若a1=m=故在a1=

＞1，则a2=

，所a3=

＞1，a4=

时，数列{an}是周期为3的周期数列，③错；

故答案为：①②

【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=c=e•a=故b=

×

==

，

=

，…4分

，即x2+3y2=5…6分

，…1分

所以，椭圆E的方程为

（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则 x1+x2=﹣∴∴

，x1x2=

；…8分

=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；

=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），

=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2

，

=m2+2m﹣﹣

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣； ∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．

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20．【答案】

【解析】解：（1）证明：如图，连接AC，设AC与BD的交点为E， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，

又AA1⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD； 又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1， 又MC1⊂平面A1ACC1，∴BD⊥MC1.

（2）∵AB＝BD＝2，且四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AE＝2

AB2－BE2＝23，

又△BMC1为等腰三角形，且M为A1A的中点， ∴BM是最短边，即C1B＝C1M. 则有BC2＋C1C2＝AC2＋A1M2，

C1C2

即4＋C1C2＝12＋（），

2

46

解得C1C＝，

3

所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝S菱形ABCD×C1C

1146＝AC×BD×C1C＝×23×2×＝82. 223即四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为82. 21．【答案】

【解析】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．

2

∴1+d=q，2（1+2d）﹣q=1，解得

或

．

∴an=1，bn=1；

n1

或an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3﹣．

（II）当时，cn=anbn=1，Sn=n．

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当n1

时，cn=anbn=（2n﹣1）3﹣，

2n1

∴Sn=1+3×3+5×3+…+（2n﹣1）3﹣，

3Sn=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，

2n1n

∴﹣2Sn=1+2（3+3+…+3﹣）﹣（2n﹣1）3=n

∴Sn=（n﹣1）3+1．

nn

﹣1﹣（2n﹣1）3=（2﹣2n）3﹣2，

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．【答案】（1）xx1或x1；（2）(,2]. 【解析】

试

题解析：（1）因为f(x)2x11，所以x12x11， 即x12x11，

当x1时，x12x11，∴x1，∴x1，从而x1；

1x1时，1x2x11，∴3x3，∴x1，从而不等式无解； 21当x时，1x2x11，∴x1，从而x1；

2综上，不等式的解集为xx1或x1.

当

（2）由x12xa1f(x)，得x1xa2xa1， 因为x1xaxax12xa1，

所以当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1； 当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1

记不等式(x1)(xa)0的解集为A，则(2,1)A，故a2， 所以的取值范围是(,2].

考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.

23．【答案】（1）fxxx6lnx；（2）n3；（3）证明见解析.

2【解析】

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题解析： （1）f'(x)2xbaf'(1)2ba5bx，所以1f(1)1b0a6，∴函数f(x)的解析式为f(x)x2x6lnx(x0)；

f(x)x2x6lnxf'(x)2x162x2（2）x6xx，

因为函数f(x)的定义域为x0，

令f'(x)(2x3)(x2)x0x32或x2， 当x(0,2)时，f'(x)0，f(x)单调递减，

当x(2,)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增， 且函数f(x)的定义域为x0，

（3）当a1时，函数f(x)x2bxlnx，

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试

2f(x1)x12bx1lnx10，f(x2)x2bx2lnx20，

lnx1lnx222两式相减可得x1(x1x2)． x2b(x1x2)lnx1lnx20，bx1x2xx11f'(x)2xb，f'(x0)2x0b，因为x012，

x2x0xx2lnx1lnx22所以f'(x0)21 (x1x2)2x1x2x1x2x221lnx2lnx12(x2x1)211x2x1 lnxlnxln12x2x2x1x1x2x2x1x1x2x2x1x11x12(t1)x设2t1，h(t)lnt，

t1x114(t1)24t(t1)2∴h'(t)0， 222t(t1)t(t1)t(t1)所以h(t)在(1,)上为增函数，且h(1)0，

1∴h(t)0，又0，所以f'(x0)0．

x2x1考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.

【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 24．【答案】

【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性 【试题解析】（Ⅰ）对所以所以（Ⅱ）由因为所以对于任意设令

，则 ，解得

．

，

，都有

．

．

求导，得，解得． ，得

，

，

，

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当x变化时，与的变化情况如下表：

所以当

时，

，都有．

的图象在直线”，

， ．

，即时，

，

， ，解得，得

． ，所以，即．

的图象在直线

的下方．

在

．

上为增函数．

（当且仅当即可．

时等号成立）． 的下方”

．

成立，

因为对于任意所以 ． 所以的最小值为（Ⅲ）证明：“函数等价于“即要证所以只要证由（Ⅱ），得所以只要证明当设所以令由所以所以故函数

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