圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

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圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线ykxb代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标Ax1,y1,Bx2,y2,利用韦达定理及弦长公式(1k2)[(x1x2)24x1x2]求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长 x2y2 若椭圆方程为221(ab0)，半焦距为c>0，焦点F1(c,0),F2(c,0)，设过abF1的直线l的倾斜角为,l交椭圆于两点Ax1,y1,Bx2,y2,求弦长AB. 解：连结F2A,F2B，设F1Ax,F1By，由椭圆定义得F2A2ax,F2B2ay，由余弦定理得x2(2c)22x2ccos(2ax)2，整理b2b2可得x，同理可求得y，则accosaccosb2b22ab2ABxy22； accosaccosaccos22ab2同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为AB2（a为长半轴，b为ac2sin2短半轴，c为半焦距）. 2

2ab2(焦点在x轴上),a2c2cos2结论：椭圆过焦点弦长公式： AB 22ab(焦点在y轴上).222acsin二、双曲线的焦点弦长 x2y2设双曲线221a0,b0,其中两焦点坐标为F1(c,0),F2(c,0)，过F1的直线lab的倾斜角为，交双曲线于两点Ax1,y1,Bx2,y2,求弦长|AB|. 解： （1）当arctanbbarctan时，（如图2） aa 直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连F2A,F2B，设F1Ax,F1By,，由双曲线定义可得F2Ax2a,F2By2a，由余弦定理可得x2(2c)22x2ccos(x2a)2,y2(2c)22y2ccos()(y2a)2 b2b2整理可得x，y，则可求得弦长 accosaccosb2b22ab2ABxy; accosaccosa2c2cos2（2）当0arctanbb或arctan时，如图3， aa 3 直线l与双曲线交点Ax1,y1,Bx2,y2在两支上，连F2A,F2B,设F1Ax,F1By, 则F2Ax2a,F2By2a，由余弦定理可得x2(2c)22x2ccos(x2a)2,y2(2c)22y2ccos(y2a)2, b2b2,y,则 整理可得，xccosaccosab2b22ab2AByx. ccosaccosac2cos2a2因此焦点在x轴的焦点弦长为 2ab2bb(arctanarctan),222accosaaAB 22abbb(0arctan或arctan).222aaccosa同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 2ab2bb(0arctan或arctan),a2c2sin2aaAB 22abbb(arctanarctan).c2sin2a2aa其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角. 三、 抛物线的焦点弦长 p若抛物线y22px(p0)与过焦点F(,0)的直线l相交于两点Ax1,y1,Bx2,y2，2若l的倾斜角为，求弦长|AB|.（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线AA1、BB1，A1、B1为垂足，设FAx,FBy，则点A的横坐标为ppxcos，点B横坐标为ycos，由抛物线定22pppp义知xcosx,ycosy,即x2222pp,y, 1cos1cos4

则xypp2p2p, 221cos1cos1cossin2p, 2sin同理y22px(p0)的焦点弦长为ABx22py(p0)的焦点弦长为AB2p,，所以抛物线的焦点弦长为2cos2psin2(焦点在x轴上)， AB2p2(焦点在y轴上).cos由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握. 圆锥曲线的弦长公式 一、椭圆： 设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则 |P1P2|=|x1-x2|(1K2)或|P1P2|=|y1-y2|(11/K2){K=(y2-y1)/(x2-x1)} =(1k2)[(x1x2)24x1x2] 二、双曲线： 设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则 |P1P2|=|x1-x2|(1K2)或|P1P2|=|y1-y2|(11/K2){K=(y2-y1)/(x2-x1)} =(1k2)[(x1x2)24x1x2] 三、抛物线： (1)焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则 |AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin2）{为弦AB的倾斜角} k2或AB2P(k为弦AB所在直线的斜率) 1k2(2)设直线与抛物线交于P1( x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则 |P1P2|=|x1-x2|(1K2)或|P1P2|=|y1-y2|(11/K2){K=(y2-y1)/(x2-x1)} 5 =(1k2)[(x1x2)24x1x2] 6