理发店与劳动者建立劳动关系不签劳动合同是违法的。根据《劳动合同法》规定，建立劳动关系必须签订书面劳动合同。如果已建立劳动关系但未签订书面劳动合同，应在一个月内补办。如果用人单位超过一个月不满一年未与劳动者签订书面劳动合同，应支付二倍工资。如果用人单位违反规定不签订无固定期限劳动合同，也应支付二倍工资。
法律分析
理发店与劳动者建立劳动关系不签劳动合同是违法的
《劳动合同法》第十条规定，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同
已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同
用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立
第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资
用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资
拓展延伸
理发店员工的劳动合同问题引发的法律争议
理发店员工的劳动合同问题引发的法律争议涉及到劳动法和雇佣关系的核心问题。根据劳动法规定，雇主与员工之间应当签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。如果理发店未与员工签订劳动合同，存在违法行为。未签劳动合同可能导致员工权益受损，如工资未按时支付、工时超标、无社会保险等。员工可以通过劳动仲裁或法院诉讼来维护自己的权益。此外，理发店也可能面临罚款、赔偿等法律责任。因此，理发店应当严格遵守劳动法规定，与员工签订合法的劳动合同，确保双方权益得到保障，避免法律争议的发生。
结语
理发店与员工之间的劳动合同问题是涉及劳动法和雇佣关系核心问题的法律争议。根据劳动法规定，雇主应与员工签订书面劳动合同，明确双方权利和义务。未签订劳动合同是违法行为，可能导致员工权益受损。员工可通过劳动仲裁或法院诉讼来维护权益。理发店也可能面临罚款、赔偿等法律责任。因此，理发店应严格遵守劳动法规定，与员工签订合法劳动合同，确保双方权益得到保障，避免法律争议的发生。
法律依据
《劳动合同法》第十条建立劳动关系，应当订立书面劳动合同
已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同
用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立
第八十二条用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资
用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资