曲线与方程中求轨迹方程有哪几种方法?
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发布时间：2022-04-24 14:03
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热心网友
时间：2023-10-15 14:18
直接法由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫做直接法。例1
已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。解：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得
。（1）当x≤3时，方程变为
，化简得
。（2）当x>3时，方程变为
，化简得
。故所求的点P的轨迹方程是
或
。二、定义法由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，这种方法叫做定义法。例2
已知圆
的圆心为M1，圆
的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：
，
。。∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为
。三、待定系数法由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。例3
已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（
，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为
。将y=x－1代入方程整理得
。由韦达定理得
。又有
，联立方程组，解得
。∴此双曲线的方程为
。四、参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得到动点轨迹的参数方程，再消去参数，从而得到动点轨迹的普通方程，这种方法叫做参数法。例4
过原点作直线l和抛物线
交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程
，得
。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得
。设A（
），B（
），M（x，y），由韦达定理得
。由
消去k得
。又
，所以
。∴点M的轨迹方程为
我只有这四种，应付高中数学足够了
不懂得可以问我
热心网友
时间：2023-10-15 14:18
1.直接联立方程求解；
2.数形结合，由几何学的定理找到中间变量，进行替换，求解；
3.套式法，根据学过的固定曲线的函数，将已知条件代入，求解；
4.待定系数法，将不方便求解的参数先设为变量，代入问题求解，在求解的过程中得到参数的值，代入原来的参数方程得到结果。
