解析几何中的轨迹方程的求解方法
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发布时间：2022-04-24 14:03
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时间：2023-10-15 14:18
轨迹方程
一,直法译(也称坐标法)
建立适当的坐标系,设动点坐标,找几何等量关系,转化为代数关系即可.
直法译的关键是:找到动点所满足的几何等量关系.
例:已知线段AB在直线x=3上移动,O为原点,∠AOB=120°.
求△AOB的外心轨迹方程.
解:如图
设△AOB的外心O'(x,y)
作O'DAB于D
则D(3,y) |DO'|=x-3
∵∠AOB=120°
则∠AO'B=120°, ∠AO'D=60°
∵r=|O'A|=|O'B|=|OO'|=x2+y2
又在Rt△AO'D中
cos∠AO'D===
整理得3x2-y2-24x+36=0(x>3).
【注】
这里的几何关系就是cos∠AO'D=.
二,定义法
如果动点所满足的几何等量关系符合某曲线的定义,就可直接写出其标准方程.
例:已知双曲线的两个焦点分别为M(-2,-12)和N,点S(-7,0)和T(7,0)在双曲线上,求N的轨迹方程.
解:
设点N的坐标为(x,y),它不同于点M(-2,-12)
由双曲线的定义知
||SM|-|SN||=||TM|-|TN||≠0
∵S(-7,0),T(7,0)
∴|SM|=13, |TM|=15
①当|SM|-|SN|=|TM|-|TN|时
有|TN|-|SN|=2<14=|ST|
∴点N轨迹是中心在ST中点(0,0),焦点为S,T的双曲线的左支,除去M(-2,-12)和P(-2,12)两点
∴点N的轨迹方程为
x2-=1 (x14=|ST|
∴点N轨迹是中心在ST中点(0,0),焦点为S,T的椭圆,除去M(-2,-12)和P(-2,12)两点
∴点N的轨迹方程为
+=1 (y≠±12)
综合①②知点N的轨迹方程为
x2-=1 (x0,b>0)两焦点为F1,F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹[ ].
椭圆的一部分 B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分 D.圆的一部分.
解:
①如图,设动圆M(x,y)与圆C1及圆C2分别外切于A和B,根据两圆外切的条件得
|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|
∵|MA|=|MB|
∴|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|
即|MC2|-|MC1|=2
∴动点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支,这里a=1,c=3,b2=8
∴所求轨迹方程为x2-=1(x<0).
②如图,延长F1P交QF2于R
则|QF1|=|QR|
∵|QF2|-|QF1|=2a
∴|QF2|-|QR|=2a=|RF2|
又|OP|=|RF2|
∴|OP|=a. 故选D.
三,相关点代换法
1.所求动点的变化是由已知曲线上的动点运动引起的,这两点就是相关点.可利用两点坐标关系及曲线方程得到轨迹方程.
2.掌握"相关点代换法"的步骤:
在原曲线上任取一点P(x,y);
设其相关点为P'(x',y');
由几何特征建立x,y ,x',y'之间的等量关系,并把x,y分别表示成x',y'的表达式;
把x,y代入到已知曲线的方程f(x,y)=0中,就得x',y'所满足的等量关系g'(x',y')=0,这就是所求曲线的方程.
例:若A1,A2为椭圆+=1的长轴的两个端点,P为椭圆上异于A1,A2的任一点,作A1QA1P, A2QA2P,求直线A1Q和A2Q交点Q的轨迹方程.
解:
设P(x1,y1),Q(x,y) 由题意得
=-1………①
=-1………②
①×②得 =1……③
又P(x1,y1)在+=1上
∴y12=-(x12-a2)
代入③得a2x2+b2y2=a4.
练习:
若A1,A2为椭圆+=1的长轴的两个端点,P1,P2是垂直于A1A2的弦的端点,求直线A1P1与AP2的交点的轨迹方程.
解:
设交点P(x,y), A1(-3,0), A2(3,0)
P1(x0,y0) , P2(x0,-y0)
∵A1,P1,P共线
∴=
∵A2,P2,P共线
∴=
解得x0=, y0=
代入+=1化简得
-=1.
四,参数法
动点的变化是由某个量的变化引起的,可设这个量为参数,把动点的两个坐标分别表示成参数的函数,最后消去参数,可得轨迹方程.
例:如图,过定点A(a,b)任作互相垂直的两直线L1与L2,且L1与x轴交于M点,L2与y轴交于N点,求线段MN中点P的轨迹方程.
解法一:(参数法)
当L1不平行于y轴时,
设L1的斜率为k1
∵L1 L2
∴L2的斜率为-
L1的方程为y-b=k1(x-a)………①
L2的方程为y-b=-(x-a)………②
在①中令y=0
得M点的横坐标x0=a-
在②中令x=0
得M点的纵坐标y0=b+
设MN中点P的坐标为(x,y)
则
消去k1得
2ax+2by-a2-b2=0 (x≠)
当L1平行于y轴时
MN中点(,)也满足方程
∴所求点的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.
解法二:(直译法)
当直线AM斜率存在时
设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y)
于是kAM= ,kAN=
∵L1L2
∴ =-1
化简得2ax+2by-a2-b2=0 (x≠)
当直线AMx轴时,此时MN中点(,)也满足方程
∴所求点的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.
解法三:(几何法)
易知OMAN四点共圆,MN是直径,P是圆心
故|OP|=|PA|
设P(x,y)
∴x2+y2= (x-a)2+(y-b)2
化简得2ax+2by-a2-b2=0.
五,交轨法
求两动曲线交点的轨迹问题,先把两动曲线的方程用某个参数表示出来,消去参数就得交点的轨迹方程.
例:已知向量i=(1,0),j=(0,1),经过点M(0,3t)且以i+tj(t∈R且t≠0)为方向向量的直线L1与经过点N(0,)且以-i+j为方向向量的直线L2相交于P点,问是否存在两个定点F1,F2,使|PF1|+|PF2|为定值 若存在,求出点F1,F2的坐标,若不存在,说明理由.
解:
由i+tj知L1的斜率为k1=
∴L1:y=3t(x+1)…………①
由-i+j知L2的斜率为k2=-
∴L2:y=-(x-1)………②
由①×②得
P点的轨迹方程为+=1
故存在F1(0,-5 ),F2(0,5 )使|PF1|+|PF2|=6为定值.
六,代点相消法
