【请教】学习数学归纳法过程中的一个疑惑
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发布时间：2022-04-24 16:37
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热心网友
时间：2022-04-27 06:10
有无穷多的人排成一个队列,有人已告诉我这一事实,在这队人中,凡是头戴红帽的人后面一定也紧跟着一个头戴红帽的人,我一眼看到排在最前面的人是头戴红帽的,我立即就能判定这队人全部戴红帽.
假设这队人不是全部戴红帽子,必有一个排在最前面的不戴红帽的人,当然他不会出现在第1个位置上,因为排在第1的人是头戴红帽的(我看见的),由于他是排在最前面的不戴红帽的人,他前面的人一定是戴红帽子的,这样就违背了凡是头戴红帽的后面的人也一定头戴红帽的人的事实,所以这队人全部头戴红帽.
一个有无穷个车厢组成的一列火车,火车头带动了第1节车厢已启动向前移动,经验告诉我们,前一个车厢只要启动,紧跟着它的后一个车厢也会启动,我立即就能判定这列火车任何一节车厢都会启动.
假设这列火车有一个车厢不动,必有一个在最前面的,它的前面的车厢是动的,这就违背了凡是前一个车厢只要启动,紧跟着它的后一个车厢也会启动的事实.
为了阐明数学归纳法,很多数学大师用了生动的比喻,上面介绍的一个是我国著名数学家华罗庚举的小红帽的例子,一个是英国著名哲学家和数学家罗素举的无穷列车的例子.
下面我给你一个比喻,我有一个盒子,里面装的全是自然数,(1)自然数1在盒子里,另一方面,(2)对任意的自然数k,凡是k在盒子里,则k+1也必在盒子里,那么由上面两点可以断定所有自然数都在我的盒子里.这是为什么呢?由(1)可知自然数1在盒子里再由(2)对任意的自然数k,凡是k在盒子里,则k+1也必在盒子里,那么就可推断自然数2也在盒子里,再由自然数2在盒子里的事实仍利用(2)可得自然数3也在在盒子里,..依次类推所有自然数都在我的盒子里.
这就是数学归纳法原理,所以用数学归纳法原理证明一个关于自然数的命题时,首先证明(验证)自然数1关于命题是成立的(即1在盒子里),下面再证明如果对任意的自然数k命题成立,则k+1命题也成立,(即证明对任意的自然数k,凡是k在盒子里,则k+1也必在盒子里),那么所有自然数关于命题都成立(所有自然数都在我的盒子里).
热心网友
时间：2022-04-27 07:28
看来你对数学归纳法有误解。
数学归纳法证明的是一种递推关系成立。在证明的第二步，证明的是“只要这个成立，那么下一个就成立”。或者说，它证明的是这一项与下一项的一种连接关系。
因此，第二步中，
“假设n=k时，命题成立”（若这一项成立）
“则n=k+1时，……，成立”（则下一项成立）
这与其它证明方法的目的不同。
上面的大虾举了一些例子，我在举例帮助你理解：
一列多米诺骨牌，怎样让它全部倒下呢？按照数学归纳法的方法，只要说明2点：
1、第一块倒下；
2、假设这一块倒下，那么下一块就倒下。
由说明2点可以知道，
只要第一块倒下，“下一块”就是第二块也倒下；
第二块倒下，“下一块”就是第三块也会倒下；
依此类推，不就会全部倒下吗？
是不是很有意思啊。
其实，这种看似笨拙的方法，其实很巧妙，它能解决“取值无限”问题，而我们看似简单的叙述，却很难说明。
热心网友
时间：2022-04-27 09:03
证明没错，假设是为了使用它，是一种递归。
在第二步中，在递推之前， 时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对 的正确性可以传递到 时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对 成立），就可以知道命题对 也成立，进而再由第二步可知 即 也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于 的正整数都成立.在这一步中， 时命题成立，可以作为条件加以运用，而 时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将 代入命题.
参考资料：http://ke.baidu.com/view/284458.htm
热心网友
时间：2022-04-27 10:54
数学归纳法是一种递推归纳法
就是在n=1时命题成立，假设在n=k，k>=2时成立
那么n=k+1时，如果由n=k，k>=2时的式子能推得n=k+1时成立
可以推得n=k+1时也成立，命题也成立
上面的式子如果得证，那么由n=1可得n=2时成立,n=2成立可得n=3时成立
n=3时成立可得n=4时也成立，一直递推下去
这么说你明白不
热心网友
时间：2022-04-27 13:02
数学归纳法的原则是：先验证一个初值成立，接着证明k成立则k+1成立，这样所有的整数都能成立了
这是因为，如果k成立则k+1成立的话，那么1成立推出n=2也成立，进一步由2又能推3，一直递推下去。。。
至于这个题，m=k时能被7整除是假设，而后面的6^(2k-1)+1能被7整除是根据数论知识，因为
（a+b）|(a^(2k-1) + b^(2k-1))
这里取a=6,b=1即有7整除6^(2k-1)+1
