谁能举个例子说明原函数可导但它的导数不一定连续
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发布时间：2022-04-24 14:46
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热心网友
时间：2023-10-17 03:23
f(x)=x^2,(x≥0),f(x)=-x^2,(x<0).
f(x)处处可导，f′(x)=2|x|,在x=0不可导。
至于更复杂的情况，如f(x)处处可导，f′(x)处处连续，但处处不可导，这种例子是有的，当然这种例子相当复杂，不是一个短帖能写清楚的。你可以先去找到处处连续，但处处不可导的函数，把这种函数积分一次，就可得到这种例子。
不好意思，昨天把题目看错了，今天改正。
f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时)，f(0)=0.
f′(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x),(x≠0时)，f′(0)=0.
f′(x)在x=0不连续。
热心网友
时间：2023-10-17 03:23
你的命题是错误的吧！
f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时)，f(0)=0。这个函数在x=0处不可导。常见错误就是先假设在x=0处可导，然后求出，左右导数相等（但“无法得出具体值？”）。按照求导公式得出的结果，导数在此处震荡，但不能说不连续！！！只能说这种方法有局限性……
那么我们用最根本的方法——定义法！！！
可导 等价于 左右导数存在且相等，值为零。
下面是关键！
连续的定义，就是左右极限相等，且与函数值相等！！！（该函数的左右导数就是导函数在x=x0处的左右极限）。
这下清楚了吧，两者原本就是等价的。
小结一下:数学里面遇到瓶颈时，不妨回过头来看看最原始的信息——定义。
PS:五年前的问题了，估计无人问津了。还是写出来让大家参考参考！！！
