（2001?上海）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A

发布网友发布时间：2022-04-24 14:53

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热心网友时间：2023-10-17 09:55

证明：（1）如图，因为CB⊥平面A₁B，所A₁C在平面A₁B上的射影为A₁B
由A₁B⊥AE，AE?平面A₁B，得A₁C⊥AE，
同理可证A₁C⊥AF
因为A₁C⊥AF，A₁C⊥AE
所以A₁C⊥平面AEF
解：（2）过A作BD的垂线交CD于G，
因为D₁D⊥AG，所以AG⊥平面D₁B₁BD
设AG与A₁C所成的角为α，则α即为平面AEF与平面D₁B₁BD所成的角．
由已知，

＝

计算得DG＝

．
如图建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），G(

，3，0)，A1(0，0，5)，C(4，3，0)，AG＝{

，3，0}，A1C＝{4，3，?5}，
因为AG与A₁C所成的角为α
所以cosα＝

AG?A1C

|AG|?|A1C|

＝

α＝arccos

由定理知，平面AEF与平面CEF所成角的大小为arccos

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（2001?上海）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A