电磁场的基本方程及边界条件
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发布时间：2022-04-24 21:08
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时间：2023-10-11 07:41
（一）麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是电磁场必须遵从的微分方程组，在国际单位制中的表达式为
地电场与电法勘探
式中：E为电场强度，V·m-1；B为磁感应强度或磁通密度，T；D为电通量密度或电位移，C·m-2；H为磁场强度，A·m-1；j为电流密度，A·m-2；ρ为自由电荷密度，C·m-3。▽称为哈密顿算符，它是矢量微分算符，在直角坐标系中为：
地电场与电法勘探
▽和矢量场的点积和叉积，分别表示矢量场的散度和旋度。例如：
地电场与电法勘探
方程组的物理意义是：电场可以是电荷密度q引起的有散场，也可以
是由变化磁场引起的涡旋场，磁场H是由传导电流j和位移电流
图1-2-7 地球磁层结构
激励产生的涡旋场，空间并无的磁荷存在。
电磁场四个基本量通过物性参数ε和μ联系起来，在各向同性介质中它们的关系是：
地电场与电法勘探
ε和μ分别为介质的介电常数和磁导率。介质的这些参数在一般表册中都以相对介电常数εr和相对磁导率μr的形式给出，它们是介质的参数ε或μ和真空中相应的参数ε0和μ0的比值：
地电场与电法勘探
εr和μr是量纲为一的，但ε和μ在国际单位制中都有量纲，真空中ε0和μ0分别为
地电场与电法勘探
电磁场中电流密度j和E的关系为
地电场与电法勘探
式中σ为介质的电导率：
地电场与电法勘探
实际工作中磁场B的测量单位用nT，电场的单位用mV·km-1，长度单位用km，电阻率单位用Ω·m。
（二）谐变场的麦克斯韦方程组
利用傅立叶变换可将任意随时间变化的电磁场分解为一系列谐变场的组合，通常我们以e-iωt表示谐变场的时间因子（即以负谐时表示），根据欧拉公式可知：
地电场与电法勘探
可见它的实部和虚部都表示场随时间是谐变的。
大地电磁测深所讨论的电磁场频率是极低的，一般研究周期T＞1 s的振动，这时导电介质中的位移电流相对于传导电流j=σE可以忽略不计（ωε≪σ）。于是，导电介质低频谐变场的麦克斯韦方程组为
地电场与电法勘探
式中·E=0是因为导电介质内部体电荷密度实际上为零，公式中时间因子都隐含在场E和H之中，方程组（1-2-1a）～（1-2-4a）是大地电磁测深理论研究的出发点。
（三）电磁场的波动方程和边界条件
交变电磁场在互相激励，互相转化的过程中，将以波的形式在介质中传播。电磁波的波动方程描述了电场或磁场随空间和时间变化的规律，谐变场的波动方程称为赫姆霍兹方程，它可以由麦克斯韦方程组导出。
对1-2-1a式两边取旋度：
地电场与电法勘探
根据矢量分析公式，等式左边
地电场与电法勘探
等式右边用（1-2-2a）式代入，得：
地电场与电法勘探
或写成
地电场与电法勘探
其中
地电场与电法勘探
k称为传播常数，它是一个复数，亦称复波数或［复］角波数。
用类似的方法可以求得：
地电场与电法勘探
式（1-2-11）和（1-2-13）称为赫姆霍兹方程，它们是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。
▽2 称为普拉斯算符，它在笛卡尔坐标系中为
地电场与电法勘探
矢量场的拉普拉斯算符运算，按矢量加法分别对其分量进行，例如：
地电场与电法勘探
其中
地电场与电法勘探
用赫姆霍兹方程求解介质中电磁场分布和一般求偏微分方程的定解问题一样，它必须满足给定的边界条件。两种介质分界面处的边界条件，可以利用麦克斯韦方程组的积分形式导出下列一组对应的关系式：
麦克斯韦方程组
边界条件
地电场与电法勘探
即场E和H在分界面两侧的切线分量是连续的，而D和B在分界面两侧的法线分量是连续的。另外，根据电荷守恒原理可以导出分界面两侧电流密度j的法向分量也是连续的，即
地电场与电法勘探
而在无穷远处所有电磁场各量均应为零。
