设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1),(a≥0).(1)如果a=1,求函数f(x)的单调递...
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发布时间：2024-09-28 07:19
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时间：2024-10-04 16:28
（1）解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）（1分）
f′（x）=1-aln（x+1）-a（2分）
当a=1时，f′（x）=-ln（x+1）
当a＞0时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（4分）
（2）解：①当a=0时，f′（x）=1＞0
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数 （5分）
②当a＞0时，令f/(x)＝0，得x＝e1?aa?1，
当f′（x）＞0时，得?1＜x＜e1?aa?1
所以f（x）的递增区间为(?1，e1?aa?1]（7分）
又因为f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增
所以e?1≤e1?aa?1，由此得a≤12（8分）
综上，得0≤a≤12（9分）
（3）要证：（1+m）n＜（1+n）m
只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证ln(1+m)m＜ln(1+n)n
设g(x)＝ln(1+x)x，(x＞0)，（10分）
则g′(x)＝x1+x?ln(1+x)x2＝x?(1+x)ln(1+x)x2(1+x)（11分）
由（1）知：即当a=1时，f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减，
即x＞0时，有f（x）＜f（0），-------（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的减函数，（13分）
即当m＞n＞0时，g（m）＜g（n），
故原不等式成立． （14分）
