已知函数 f(x)= 1 2 x 2 -mlnx ,其中m>0.(1)若m=1,求函数y=f(x)的单 ...
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发布时间：2024-09-28 07:19
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时间：9分钟前
（1）由已知得，函数的定义域为（0，+∞）．
当m=1， f ′ (x)=x- 1 x = x 2 -1 x ，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
函数y=f（x）的单调递减区间 （0，1）．
（2） f ′ (x)=x- m x = x 2 -m x ≤2 对任意的x∈（0，3]恒成立，
∴m≥x 2 -2x对任意的x∈（0，3]恒成立∴m≥（x 2 -2x） max
而当x=3时，x 2 -2x取最大值为3，∴m≥3．
（3） f ′ (x)=x- m x = x 2 -m x = (x- m )(x+ m ) x ，且m＞0 f ′ (x)=0?x= m ；
f ′ (x)＞0?x＞ m ， f ′ (x)＜0?0＜x＜ m ，
∴y=f（x）在 (0， m ) 上递减；
而在 ( m ， +∞) 上递增．
∴y=f（x）在（0，+∞）上有极小值（也就是最小值） f( m )= 1 2 m-mln m = 1 2 m(1-lnm) ，
若函数y=f（x）在[1，e]上有两个零点，
而 f(1)= 1 2 ， f(e)= 1 2 e 2 -mlne= 1 2 e 2 -m ，
∴ f(1)≥0 f(e)≥0 f( m )＜0 1＜ m ＜e 解得 e＜m≤ 1 2 e 2 ，
实数m的取值范围 e＜m≤ 1 2 e 2 ．
