...是抛物线c:y=ax^2的焦点,点A在抛物线c上则以AF为直径的圆与x轴...
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发布时间：2024-09-28 07:01
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时间：2024-10-24 07:19
解：
抛物线焦点坐标F(1/(4a)，0)
设抛物线上一点A(x0，ax0²)
设圆心坐标(x，y)
x=[1/(4a)+x0]/2=1/(8a) +x0/2
y=(0+ax0²)/2=ax0²/2
圆心到x轴距离的平方d²=(ax0²/2)²=¼a²x0⁴
|FA|²=(ax0²-0)²+[x0- 1/(4a)]²
=a²x0⁴+x0² -x0/(2a) +1/(16a²)
以AF为直径的圆半径的平方r²=¼|FA|²
=¼[a²x0⁴+x0² -x0/(2a) +1/(16a²)]
=¼a²x0⁴+(1/)(16x0²- 8x0/a +1/a²)
=¼a²x0⁴+(1/)(4x0 -1/a)²
4x0=1/a时，即x0=1/(4a)时，(1/)(4x0 -1/a)²=0
d²=r²，d=r，圆与x轴相切。
4x0≠1/a时，即x0≠1/(4a)时，(1/)(4x0 -1/a)²>0
¼a²x0⁴+(1/)(4x0 -1/a)²>¼a²x0⁴
d²<r²，d<r，圆与x轴相交。
综上，得：
圆与x轴相交或相切。
当且仅当x0=1/(4a)时，圆与x轴相切，其余情况下，圆均与x轴相交。
