群论:1.1 群的基本性质
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发布时间：2024-09-26 17:46
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时间：1天前
群是一个集合，其中元素通过一个运算相互关联，满足特定条件。当群的元素个数有限时，称之为有限群。群的定义包括封闭性、结合律、单位元和每个元素的逆元，这四个条件定义了群的基本性质。若群的乘法运算满足交换律，称之为Abel群。
重排定理指出，在有限群中，任意元素与群中的其他元素进行乘积后，可以得到群中所有元素的不同排列，且每个元素只出现一次。证明此定理采用反证法，假设存在两个不同元素乘积相同，根据群的性质，会与假设矛盾，从而证明每个元素只给出一次。
子群定义为群的子集，若它自身满足群的性质，则为群的子群。对于有限群，可以定义循环子群，它是通过群中元素的幂操作得到的子群。陪集是群元与子群的结合，生成的集合，可以分为左陪集和右陪集。陪集定理指出，两个不同的陪集要么完全相同，要么没有公共元素。
利用陪集，可以将群分解为子集，形成陪集分解。如果群G有子群H，可以将G写为H的不同陪集的并集。Lagrange定理指出，有限群子群的阶必须是群阶的因子。
综上所述，群的基本性质、有限群与无限群的定义、Abel群的概念、重排定理、子群与循环子群、陪集与陪集定理，以及陪集分解和Lagrange定理，共同构成了群论的基础。通过这些理论，可以深入研究群的结构与性质。
