北大08自主招生数学的一道不等式题
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发布时间：2024-09-26 22:11
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时间：2024-10-04 06:58
证明：记
f(x)
=
(x-a1)(x-a2)(x-a3),
g(x)
=
(x-b1)(x-b2)(x-b3)
由题设易知
f(x)
-
g(x)
=
b1b2b3
-
a1a2a3
=
d
(记为d)
记
a
=
min{a1,a2,a3},
b
=
min{b1,b2,b3},
A
=
max{a1,a2,a3},
B
=
max{b1,b2,b3}
有
f(a)
=
0,
由
a≤b
易知
g(a)
=
(a-b1)(a-b2)(a-b3)
≤
0
从而有
d
=
f(a)-g(a)
≥
0
因为g(x)在x≥B时是个单调递增函数，而g(B)=0，从而有
g(x)
>
0,
任意
x>
B
因此x>B时，f(x)
=
g(x)+d
>
0
而f(A)
=
0，所以A不可能大于B，因此
A≤
B。
证毕。
